64+27=91
Equação reduzida da recta:
y=6427x−1024729
Equação reduzida da recta:
y=6427x−1024729
Proposta de resolução
(por Carlos Paulo A. Freitas)
A equação reduzida da recta tangente à parábola de equação y=x2 no ponto de coordenadas (a,a2) é y=2ax−a2
Uma equação da recta tangente ao gráfico da curva de equação y=f(x) no ponto de coordenadas (a,f(a)) é y−f(a)=f′(a)(x−a).
Considerando f(x)=x2, temos f′(a)=2a e então uma equação da recta tangente em (a,a2) é y−a2=2a(x−a) que é equivalente a y=2ax−a2
A equação reduzida da recta tangente à cúbica de equação y=x3 no ponto de coordenadas (b,b3) é y=3b2x−2b3
Uma equação da recta tangente ao gráfico da curva de equação y=f(x) no ponto de coordenadas (b,f(b)) é y−f(b)=f′(b)(x−b).
Considerando f(x)=x3, temos f′(b)=3b2 e então uma equação da recta tangente em (b,b3) é y−b3=3b2(x−b) que é equivalente a y=3b2x−2b3
Para que estas duas rectas sejam a mesma temos de ter
{2a=3b2a2=2b3
Vamos procurar a solução não nula deste sistema, por outras palavras a≠0 e b≠0 pois isso dar-nos-ia a solução conhecida no enunciado (o eixo Ox).
{2a=3b2a2=23b⇔{2a=3b2a=43b⇔{83b=3b2a=43b⇔{0=9b2−8ba=43b⇔{0=b(9b−8)a=43b⇒b≠0{b=89a=3227 Portanto o declive da recta é m=2a=6427 , logo a resposta ao problema original é 64+27=91; a ordenada na origem é −a2=−1024729
Ou seja, a equação reduzida da recta é y=6427x−1024729
A equação reduzida da recta tangente à parábola de equação y=x2 no ponto de coordenadas (a,a2) é y=2ax−a2
Uma equação da recta tangente ao gráfico da curva de equação y=f(x) no ponto de coordenadas (a,f(a)) é y−f(a)=f′(a)(x−a).
Considerando f(x)=x2, temos f′(a)=2a e então uma equação da recta tangente em (a,a2) é y−a2=2a(x−a) que é equivalente a y=2ax−a2
Uma equação da recta tangente ao gráfico da curva de equação y=f(x) no ponto de coordenadas (b,f(b)) é y−f(b)=f′(b)(x−b).
Considerando f(x)=x3, temos f′(b)=3b2 e então uma equação da recta tangente em (b,b3) é y−b3=3b2(x−b) que é equivalente a y=3b2x−2b3
{2a=3b2a2=23b⇔{2a=3b2a=43b⇔{83b=3b2a=43b⇔{0=9b2−8ba=43b⇔{0=b(9b−8)a=43b⇒b≠0{b=89a=3227 Portanto o declive da recta é m=2a=6427 , logo a resposta ao problema original é 64+27=91; a ordenada na origem é −a2=−1024729
Ou seja, a equação reduzida da recta é y=6427x−1024729