Comprimentos de curvas

 Suponhamos que temos uma curva, em $\R^n$ parametrizada pela função $$\gamma:I\subseteq \R \to \R^n$$ Rigorosamente, gosto de chamar a estas curvas linhas parametrizadas mas percebi que cada um chama o que lhe apetecer.
Se $I$ for um intervalo limitado e fechado $[a,b]$, chamamos à curva caminho e o comprimento do caminho é dado por

. \[ L\left( \gamma \right) = \int\limits_a^b {\left\| {\gamma '\left( t \right)} \right\|} dt \] Eu aprendi isto na licenciatura,mas isto encontra-se em vários livros de análise e cálculo em $\R^n$ (Com demonstrações correctas).
Por exemplo, a circunferência de centro $(a,b)$ e raio $r>0$ pode ser parametrizada por \[ \gamma \left( t \right) = \left( {a + r\cos t,b + r\sen t} \right),t \in \left[ {0,2\pi } \right] \] e o comprimento da circunferência (ou se preferirem, o perímetro da circunferência) é dado por: \[ \begin{eqnarray*} {L\left( \gamma \right)}&{ = }&{\int\limits_0^{2\pi } {\left\| {\gamma '\left( t \right)} \right\|} dt } \\ { }&{ = }&{\displaystyle\int\limits_0^{2\pi } {\left\| {\left( { - r\sen t,r\cos t} \right)} \right\|} dt } \\ { }&{ = }&{ \int\limits_0^{2\pi } {\sqrt {\left( { - r\sen t} \right)^2 + \left( {r\cos t} \right)^2 } } dt } \\ { }&{ = }&{ \int\limits_0^{2\pi } {\sqrt {r^2 \left( {\sen t} \right)^2 + r^2 \left( {\cos t} \right)^2 } } dt } \\ %{ }&{ = }&{ \int\limits_0^{2\pi } {\sqrt {r^2 \left( \senEL{2} t + \cos ^2 t} \right)} } dt }\\ { }&{ = }&{ \int\limits_0^{2\pi } {\sqrt {r^2 } } dt }\\ { }&{ = }&{ \int\limits_0^{2\pi } r dt }\\ { }&{ = }&{2\pi r} \end{eqnarray*} \] É óbvio que o centro não poderia interferir no perímetro da circunferência, e dada a definição história de $\pi$, este exercício é bem estúpido. Mas pronto, é uma verificação, e vou repetir a estupidez mais uma vez neste post.
O gráfico de uma função $f$ contínua no intervalo $[a,b]$ é um caminho que pode ser parametrizado pela parametrização canónica:
\[\gamma(t)=(t,f(t)),t\in[a,b]\] e o seu comprimento é, naturalmente \[ L\left( \gamma \right) = \int\limits_a^b {\left\| {\gamma '\left( t \right)} \right\|} dt = \int\limits_a^b {\left\| {\left( {1,f'\left( t \right)} \right)} \right\|} dt = \int\limits_a^b {\sqrt {1 + \left( {f'\left( t \right)} \right)^2 } } dt \] Fórmula que já usei aqui neste blog, no post $P$, o primo do $\pi$
(é por causa desse texto, que estou a escrever este... é que eu tenciono usar isto, para, bem, depois se tiverem curiosidade, virão cá ver)
Uma curva em coordenadas polares, $r=\rho\left(\theta\right), \theta\in\left[\theta_1,\theta_2\right]$ pode ser parametrizada por \[ \gamma \left( t \right) = \left( {\rho \left( t \right)\cos t,\rho \left( t \right)\sen t} \right),t \in \left[ {\theta _1 ,\theta _2 } \right] \] E o seu comprimento é então \[ \begin{array}{l} L\left( \gamma \right) = \displaystyle\int\limits_{\theta _1 }^{\theta _2 } {\left\| {\gamma '\left( t \right)} \right\|} dt = \displaystyle\int\limits_{\theta _1 }^{\theta _2 } {\left\| {\left( {\rho '\left( t \right)\cos t - \rho \left( t \right)\sen t,\rho '\left( t \right)\sen t + \rho \left( t \right)\cos t} \right)} \right\|} dt \\ = \displaystyle\int\limits_{\theta _1 }^{\theta _2 } {\sqrt {\left( {\rho '\left( t \right)\cos t - \rho \left( t \right)\sen t} \right)^2 + \left( {\rho '\left( t \right)\sen t + \rho \left( t \right)\cos t} \right)^2 } } dt \\ = \displaystyle\int\limits_{\theta _1 }^{\theta _2 } {\sqrt {\left( {\rho '\left( t \right)\cos t} \right)^2 - 2\rho '\left( t \right)\rho \left( t \right)\cos t\sen t + \left( {\rho \left( t \right)\sen t} \right)^2 + \left( {\rho '\left( t \right)\sen t} \right)^2 + 2\rho '\left( t \right)\rho \left( t \right)\cos t\sen t + \left( {\rho \left( t \right)\cos t} \right)^2 } } dt \\ = \displaystyle\int\limits_{\theta _1 }^{\theta _2 } {\sqrt {\left( {\rho '\left( t \right)\cos t} \right)^2 + \left( {\rho \left( t \right)\sen t} \right)^2 + \left( {\rho '\left( t \right)\sen t} \right)^2 + \left( {\rho \left( t \right)\cos t} \right)^2 } } dt \\ % = \displaystyle\int\limits_{\theta _1 }^{\theta _2 } {\sqrt {\left( {\rho '\left( t \right)} \right)^2 \cos ^2 t + \left( {\rho \left( t \right)} \right)^2 \sen ^2 t + \left( {\rho '\left( t \right)} \right)^2 \sen ^2 t + \left( {\rho \left( t \right)} \right)^2 \cos ^2 t} } dt \\ = \displaystyle\int\limits_{\theta _1 }^{\theta _2 } {\sqrt {\left( {\rho \left( t \right)} \right)^2 + \left( {\rho '\left( t \right)} \right)^2 } } dt \end{array} \] (Eu gosto do aspecto desta fórmula...)
Vamos a mais um exempo "estúpido"? Uma circunferência de raio $R$ ($R>0$), e centro na origem, tem como equação,em coordenadas polares, $r=R$, ou seja $\rho(\theta)=R$ com $\theta\in[0,2\pi]$ então, (risos) \[L(\gamma)=\int\limits_{0 }^{2\pi } {\sqrt {\left( {\rho \left( t \right)} \right)^2 + \left( {\rho '\left( t \right)} \right)^2 } } dt=\int\limits_{0 }^{2\pi } {\sqrt {R^2 + 0^2 }} =2\pi R \] Daqui a uns tempos uso isto para coisas mais engraçadas.

Um problema de geometria elementar (I)

As redes sociais são perda de tempo? Depende do que se faz nelas. O mesmo se pode dizer de muita coisa. Eu sigo páginas de muitos assuntos, e claro que não podia deixar de ser, muitas de Matemática. A imagem veio de uma página do facebook, "Mathematics is Poetry".
$m$ e $n$ são áreas, $x$ é o comprimento de um segmento de recta. Aquilo é um semi-circulo de diâmetro $20$, logo, o raio é $10$ e a área do semicírculo é \[A=\frac{\pi\times10^2}{2}=50\pi\]

portanto já sabemos que $m < 50\pi$
Se chamarmos $l$ á àrea do semicirculo que não faz parte de $m$, as coisas ficam mais simples.

Então $m+l=50\pi$ e $l+n$ é a área de um triângulo de base $20$ e altura $x$.
 Assim sendo $l+n=\frc{20x}{2}=10x$
Agora, o problema tem uma resolução simples.

\[ \left\{ {\begin{array}{c} {m = n + 47} \\ {m + l = 50\pi } \\ {l + n = 10x} \end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{c} {m - n = 47} \\ {m + l = 50\pi } \\ {l + n = 10x} \end{array}} \right. \] Subtraindo as duas últimas equações vem $m-n=50\pi-10x$, então, pela primeira equação, \[47=50\pi-10x\] que é equivalente a \[10x=50\pi-47\] e a \[x=5\pi-\frac{47}{10}\] Não é um problema complicado, mas também não é evidente à primeira vista, para quem nunca resolveu um problema destes.

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Esteréotipos e ideias pré-concebidas sobre qualquer coisa ou assunto, tornam-vos idiotas e péssimas pessoas.
Como o anormal que neste momento dá aulas de Teoria da Medida e da Probabilidade, e de Análise Funcional na Universidade da Madeira. Eu tenho legitimidade para chamar a esse imbecil o que me apetecer, e não é uma ideia pré-concebida. Há 26 anos que a Universidade da Madeira desce continuamente na minha consideração por manter esse anormal nos seus quadros, independentemente dos artigos que publica.
Quem discordar, ou pior, se atrever a tentar defender o #$#$#, deixou de ser bem vindo aqui.
Faça o favor de desaparecer e não voltar a qualquer blog meu.
[ Há uma razão para isto: sempre que eu tentei resolver coisas a bem, levei com prepotência ]

Há muito tempo atrás, antes de terem inventado os limites.

Introdução

 Hoje em dia, no secundário, e no ensino superior, nas várias variantes de disciplinas de Análise Matemática, quando se ensina "como deve ser", ensinam-se derivadas de funções reais de variável real, e derivadas de funções complexas de variável complexa pela sua definição como limite de um quociente.
Os integrais, no ensino superior quando se dá a sua construção, são construidos pelas definições de Riemann, Darboux, Stieltjges, ou Lebesgue.
 (Ainda conheço outras, mas nunca vi alguém atrever-se a ensiná-las em cadeiras introdutórias, e sim, há quem ensine o Integral de Lebesgue numa cadeira introdutória...)

Note-se, como eu digo na página "Notações e convenções" que eu não uso, e recuso-me a utilizar a palavra "integral" para referir-me a primitivas. Utiliza-se quase a mesma notação para integrais e primitivas, hipoteticamente por razões de vou falar abaixo.
Este post é diferente de todos os outros e vou classificá-lo de "ficção científica histórica", em primeiro lugar, porque não quero insultar, e muito menos ofender os historiadores, por quem tenho um grande respeito.

Em segundo lugar, porque depois de inúmeras leituras (de livros!) ao longo dos anos (e alguns documentários, nomeadamente da BBC), fiquei com esta ideia de como as coisas se passaram.
Não posso dar certezas. Não estive lá! (Será que estive?)

(divagação)

Pessoalmente considero criminoso ensinar integrais sem se ensinar (pelo menos) uma construcção, como se faz em muitas disciplinas de "cálculo" por este país fora (eu dei explicações por muitos anos e tive alunos de todo o país (Portugal), portanto, não estou a referir-me a nenhum sítio em particular, façam o favor de não se sentir atingidos).
A falta de tempo não pode servir de desculpa para tudo. Matemática não é uma religião, e não pode interessar só aos matemáticos. Quando se 'ensinam' coisas sem explicar porquês, está-se a pregar e não a ensinar. Que, pode não parecer, são coisas bem diferentes. Pregar leva as pessoas a perder tempo (que poderia ser útil noutra coisa), e até fazer afirmações e perguntas que não seriam bem pertinentes seriam estúpidas!

"Diferenciais"

Derivadas e integrais foram concebidos antes de se criarem os limites. Não me interpretem mal. Os limites são necessários por muito boas razões, e resolvem uma série de problemas que a abordagem que vou apresentar abaixo tem.

Hoje em dia o símbolo "$dx$" é visto pela "Matemática não-standard" como uma coisa, pela "Geometria Diferencial" como outra (eu gosto de ambas, mas vou tentar não falar delas neste texto ) e pelos físicos como outra.
Para a maioria dos matemáticos que desconhece aquelas três àreas, é só uma notação (!!!).

Originalmente $dx$, que vamos designar por "diferencial de $x$" era visto como uma variação infinitesimal de $x$, que está próxima da (se não é mesmo a) versão ainda utilizada pelo pessoal de Física.

Uma quantidade infinitamente pequena, mas que não é zero (!!! Se soubessem a quantidade de piadas que eu, e algumas pessoas fizemos com isto até ter visto o potencial da ideia...)
Portanto, vamos olhar para "$dx$" como sendo "o comprimento de um ponto" (repito: infinitamente pequeno mas não zero )

O comprimento do segmento de recta $[a,b]$ é então "o somatório integral de todos os comprimentos dos pontos pertencentes ao intervalo $[a,b]$" . E obviamente, esse comprimento é $b-a$ .

Esse somatório, vou representar, como Leibniz,  por

$$\int\limits_a^b dx$$O símbolo $\int$ é um elongamento da letra S, de summa (soma, em latim).Então a afirmação de há pouco resume-se a\[\int\limits_a^b {dx} = b-a\]

Integrais (integrais definidos)

Vou falar de integrais antes de falar de derivadas? Sim! O conceito de área, que está na origem do conceito de integral, é bem mais antigo.

Utilizando o tipo de raciocínio da secção anterior, "a área de um segmento de recta de comprimento c" será "$c\times dx$" . Estamos a olhar para um segmento de recta como se fosse um rectângulo de lados "c e dx" (Sim, eu sei, não digam nada, vamos lá respeitar o raciocínio)

Assim sendo, se pensarmos no gráfico de uma função $f$, positiva, (contínua, pelas definições actuais), a área entre o gráfico de $f$ e o eixo dos $x$, no intervalo $[a,b]$ é o "somatório integral" das áreas de todos os segmentos verticais que unem o eixo dos $x$ ao gráfico de $f$. 

Em cada ponto $x$, a área do segmento acima dele é $f(x)dx$.

Logo a área (a azul, na figura) 

é, como podem adivinhar, a soma de todos os produtos $f(x)dx$ quando $x$ percorre o intervalo $[a,b]$.
Utilizando a notação introduzida anteriormente, \[A=\int\limits_a^b {f(x)dx}\]

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$\int\limits_a^b {f(x)dx}$ designa-se por integral definido de $f$ entre $a$ e $b$

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Esta é uma notação para integrais que, como devem saber, se usa até hoje.

(Dá para brincar mais um pouco com estas ideias, por exemplo, se a função não for positiva ou se $a$ for maior do que $b$ como atribuir um significado, mas isso escapa ao objectivo deste texto, por isso deixo para outra oportunidade)

O cálculo de áreas já é uma coisa séria, e que na altura ainda tinha sérios problemas. Aqueles "$dx$" tiveram mesmo de ser estudados, e assim nasceu o "cálculo diferencial".

Arquimedes, já tinha um método para calcular áreas, Newton e Leibnitz simplesmente deram o passo seguinte sobre os trabalhos de muitos outros.

O próprio Newton reconheceu, em 1675, numa carta, 
"If I have seen further [than others], it is by standing on the shoulders of giants."

(embora a expressão shoulders of giants tenha sido popularizada muito antes dele)

Derivadas

Em cada ponto $x$ podemos desenhar aquele triângulo da figura abaixo. $dx$ é, como estabelecemos anteriormente "a espessura do ponto $x$", e $dy$ é o quanto variou $y$ do ponto de abcissa $x$ anterior para o 'actual'  (concordo que é uma bonita confusão, mas por favor, abstenham-se disso).

A taxa de variação, será então, o declive do segmento de recta a vermelho, ou seja, o quociente \[\frc{df(x)}{dx}\]
A este quociente, vamos chamar derivada de $f$ no ponto $x$.
(Não fiquem chocados, Leibniz concebeu mesmo as derivadas como quocientes de diferenciais).
Sem fugir a este tipo de raciocínio, o declive da recta tangente ao gráfico de $f$ no ponto $x$ é também $\frc{df(x)}{dx}$.
Consegue explicar porquê?

O comprimento de uma curva

Pela imagem anterior o comprimento $L$ da curva será a soma de todos os $dh$ correspondentes aos $dx$ no intervalo $[a,b]$.
Como estabelecido anteriormente, \[L=\int_a^b dh\]  $dh$ consegue calcular-se pelo teorema de Pitágoras, portanto $$dh=\sqrt{ (dx)^2+(dy)^2 }$$ pondo $(dx)^2$ em evidência, temos: $$dh=\sqrt{ (dx)^2+(dy)^2 }=\sqrt{ \left(1+\left(\frc{dy}{dx}\right)^2\right)(dx)^2 }=\sqrt{ \left(1+\left(\frc{dy}{dx}\right)^2\right)}dx $$ Então \[L=\int_a^b dh=\int_a^b\sqrt{ 1+\left(\frc{dy}{dx}\right)^2}dx \]

Conclusão

É engraçado, como com ideias hoje em dia consideradas erradas se chegam a resultados correctos. Algumas destas ideias ocorreram-me quando eu ainda estava no secundário, como piadas, que trocava com um colega de turma.
Este texto ocorreu-me depois de uma conversa com o Rafael Luís, que deixou um comentário no post anterior, a quem mando um abraço.
Podem perguntar-se se há forma de trazer estas ideias de volta para o mundo actual e de as tornar válidas outra vez.
Bem, para isso vou ter de falar-vos de números hiper-reais e de "Matemática não-standard". O assunto "Matemática não-standard" foi-me apresentado pelo professor Luis Canto Loura durante uma divagação numa aula de Análise Matemática III.
Eu acabei por investigar e adquirir material sobre o assunto. Posso garantir-vos que há forma de trazer estas ideias de volta ... Só que, o trabalho é hercúleo, e, será mesmo que compensa?

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Ah, esqueci-me de uma coisa: Porque é que tanbém se usa o símbolo $\int$ para primitivas?
Resposta: olhem com olhos de ver para o teorema fundamental do cálculo.

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PS:

• Como eu disse, isto é 'ficção científica histórica', no entanto a criação de um sistema de números que contemple de forma rigorosa 'infinitesimais' (os tais infinitamente pequenos que não são zero) faz-se em ANS (Análise não-standard). Não quero mesmo fazê-lo neste texto, nem sei ainda se consigo fazê-lo de forma aceitável e respeitável(!) neste blog.
• "Há muito tempo atrás"... aquele atrás precisa mesmo de estar ali? Eu acho que não, e o chatGPT também acha que não!
  
• Texto (ainda) em revisão, mas já pode ser lido. Nesta fase, (ainda) aceito sugestões.
• Sendo 'ficção', é uma estupidez eu expor bibliografia, mas vou acabar por mais cedo ou mais tarde deixar uma secção bibliográfica neste blog. Vou sugerir livros (!), não de História, mas de Matemática, em particular de análise não-standard [ Simpatizo com a Internet,mas nada bate um bom livro, até acho que a parte mais interessante da Wikipedia costuma ser a bibliografia contida nas referências ]

P, o primo do π

 Em https://www.facebook.com/share/r/1A5j8LkLf2/, a Inês Guimarães (Mathgurl) apresentou-nos esta propriedade:

Em qualquer parábola, se traçarmos uma paralela à tangente ao vértice que passa pelo foco, ela corta a parábola em dois pontos, $A$ e $B$.
O quociente entre o comprimento do arco de parábola que une os pontos $A$ e $B$ e o comprimento do menor segmento que une o foco à directriz é constante.
Vamos chamar $P$ a essa constante, e ainda temos que \[P=\ln \left(1+\sqrt{2})\right)+\sqrt{2}\]

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Este $P$ é designado por constante universal das parábolas.

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A afirmação de que $P$ é constante é gira... A primeira coisa que me ocorreu foi "eu acho que sei provar isso". E de facto, sei. E provei. Deixei o meu rascunho manuscrito na minha página do facebook . Hoje vou apenas reescrever essa prova aqui, com mais algum cuidado.
Sem perda de generalidade, vamos supor que a equação da parábola é \[y=ax^2+bx+c\] com $a>0$ e $b,c\in\R$. Na verdade, para a afirmação feita eu até podia considerar $b=c=0$, mas não o vou fazer.
Neste blog, no post do dia 22 de Agosto de 2024 eu mostrei que as coordenadas do foco desta parábola são \[\left(x_F,y_F\right)=\left(-\frac{b}{2a},\frac{1-\Delta}{4a}\right)\] onde $\Delta=b^2-4ac$

Então, para determinar as coordenadas dos pontos $A$ e $B$ apenas tenho de resolver a equação \[ax^2+bx+c=y_F\] Ou seja \begin{eqnarray*} {\Leftrightarrow}&{ }&{ax^2+bx+c = \frac{1-\Delta}{4a}}\\ {\Leftrightarrow}&{ }&{ax^2+bx+c = \frac{1-b^2+4ac}{4a}}\\ {\Leftrightarrow}&{ }&{4a^2x^2+4abx+4ac =1-b^2+4ac}\\ {\Leftrightarrow}&{ }&{4a^2x^2+4abx+b^2 =1}\\ {\Leftrightarrow}&{}&{(2ax+b)^2 =1}\\ {\Leftrightarrow}&{ }&{2ax+b =\pm 1}\\ {\Leftrightarrow}&{ }&{2ax =-b\pm 1}\\ {\Leftrightarrow}&{ }&{x =\frac{-b\pm 1}{2a}} \end{eqnarray*} Assim sendo temos \[A\left(\frac{-b- 1}{2a},y_F\right)\text{ ; }B\left(\frac{-b+ 1}{2a},y_F\right)\] O comprimento do arco de parábola é dado pela conhecida fórmula \[ l = \int\limits_{x_A}^{x_B} {\sqrt {1 + \left( {y'} \right)^2 } dx} \] Onde $x_A$ e $x_B$ são as abcissas dos pontos $A$ e $B$, respectivamente.
Portanto, vamos lá a isso \begin{eqnarray*} {l}&{=}&{\int\limits_{x_A}^{x_B} {\sqrt {1 + \left( {y'} \right)^2 } dx}}\\ { }&{=}&{\int\limits_{\frc{-b- 1}{2a}}^{\frc{-b+ 1}{2a}} {\sqrt {1 + \left( {2ax+b} \right)^2 } dx}} \end{eqnarray*} Para calcular este integral dá-me jeito usar a substituição $ \sh \gamma=2ax+b $ ou seja $\gamma=\argsh \left(2ax+b\right)$ e $x=\frac{\sh \gamma -b}{2a}$ que nos leva a \[\frac{dx}{d\gamma}=\frac{\ch \gamma}{2a}\] por outro lado \[ x=x_A \Rightarrow \gamma=\argsh(-1)=-\argsh 1\] \[ x=x_B \Rightarrow \gamma=\argsh 1\] Então \begin{eqnarray*} {\int\limits_{\frac{-b- 1}{2a}}^{\frac{-b+ 1}{2a}} {\sqrt {1 + \left( {2ax+b} \right)^2 } dx}}&{=}&{\frac{1}{2a}\int\limits_{-\argsh 1}^{argsh 1} {\sqrt {1 + \shq \gamma } \ch \gamma d\gamma}}\\ { }&{=}&{\frac{1}{2a}\int\limits_{-\argsh 1}^{\argsh 1} {\chq \gamma d\gamma}}\\ { }&{=}&{\frac{1}{2a}\int\limits_{-\argsh 1}^{\argsh 1} {\frac{ 1+\ch\left(2\gamma\right)}{2} d\gamma}}\\ { }&{=}&{\frac{1}{4a}\int\limits_{-\argsh 1}^{\argsh 1} {1+\ch\left(2\gamma\right) d\gamma}}\\ { }&{=}&{\frac{1}{4a}\left[ {\gamma + \frac{{\sh(2\gamma )}}{2}} \right]_{ - \argsh 1}^{\argsh 1} }\\ { }&{=}&{\frac{1}{4a}\left[ {\gamma + \sh \gamma \ch \gamma } \right]_{ - \argsh 1}^{\argsh 1} }\\ { }&{=}&{\frac{1}{4a}\left[ 2 \argsh 1 + 2\sh (\argsh 1) \ch (\argsh 1) \right] }\\ { }&{=}&{\frac{1}{2a}\left[ \ln(1+\sqrt{2}) + 1 \sqrt{1+1} \right] }\\ { }&{=}&{\frac{1}{2a}\left[ \ln(1+\sqrt{2}) + \sqrt{2} \right] } \end{eqnarray*} A distância entre o foco e a directriz, é o dobro da distância do foco ao vértice.
Assim\[d(F,V)=2\left(y_F-y_V\right)=2\left(\frac{1-\Delta}{4a}-\frac{-\Delta}{4a}\right)=\frac{1}{2a}\].

Notem que $b$ e $c$ desapareceram dos cálculos, portanto, eu podia mesmo ter desaparecido com eles logo no princípio.

Assim, finalmente \[P=\frac{\frc{1}{2a}\left[ \ln(1+\sqrt{2}) + \sqrt{2} \right]}{\frc{1}{2a}}=\ln(1+\sqrt{2}) + \sqrt{2}\]

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Será que existem "constantes" deste tipo para as hipérboles e elipses?
Eu tenho a resposta... mas vão ter de esperar, ou tentar chegar lá sozinhos.

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PS: Para quem ainda não sabe, em Setembro de 2024, durante uma crise convulsiva, eu parti uma vértebra. Sinto dores até hoje... Portanto os meus posts passaram a ser ainda mais irregulares. Podem ir passando por aqui.

Feliz 1³+2³+3³+4³+5³+6³+7³+8³+9³