O binómio de Newton é tão belo como a Vénus de Milo.
O que há é pouca gente para dar por isso.
óóóó---óóóóóó óóó---óóóóóóó óóóóóóóó
(O vento lá fora.)
Álvaro de Campos - Heterónimo de Fernando Pessoa
As imagens que se seguem são capturas de uma das minhas fichas usadas em explicações.
É um dos "exercícios tipo" (odeio esta designação e também exercícios que encaixam nesta definição), associados ao binómio de Newton.
Há mais de 20 anos, um bocadinho farto de resolver coisas destas, decidi "atacar" o caso geral e implementá-lo numa calculadora.
Hoje, vou mostrar como o fiz.
O caso geral destes exercícios, aplicado a binómios da forma \[\left(ax^s+bx^t\right)^n\] é:
- Escrever (uma das possíveis formas d)o desenvolvimento do binómio
- Determinar o coeficiente de um $x^p$, ou o termo de grau $p$
Assim sendo, é relativamente fácil resolver os casos gerais e implementar numa calculadora. \begin{eqnarray*} {\left( {ax^s + bx^t } \right)^n}&{=}&{ \sum\limits_{p = 0}^n {\combin{n}{p}\left( {ax^s } \right)^{n - p} } \left( {bx^t } \right)^p }\\ {}&{=}&{ \sum\limits_{p = 0}^n {\combin{n}{p}a^{n - p} x^{s(n - p)} } b^p x^{tp} }\\ {}&{=}&{ \sum\limits_{p = 0}^n {\combin{n}{p}a^{n - p}b^p x^{sn - sp+tp} } }\\ \end{eqnarray*}
- Para escrever o desenvolvimento, basta fazer $p$ percorrer o conjunto $\{0,1,\cdots, n\}$.
-
Para determinar o coeficiente de um $x^k$, começamos por resolver a equação $sn - sp+tp=k$.
A solução é: \[p=\frac{sn-k}{s-t}\] Se este $p$ não for um número inteiro do conjunto $\{0,1,\cdots, n\}$, ficamos a saber que esse coeficiente é zero. Caso contrário, o coeficiente é $ {\combin{n}{p}a^{n - p}b^p }$, (ou seja, o termo é $ {\combin{n}{p}a^{n - p}b^p x^k }$ ) . Este é um daqueles programas que já tenho há mais de 20 anos. Esteve implementado numa Casio Cfx 9950G, e TI83plus ... e também corre nas calculadoras actuais.
Exemplo, vamos resolver o exercício 19 do início deste texto, recorrendo a uma implementação destas ideias: Determine os coeficientes de $x$ e $x^2$ no desenvolvimento de \[ \left( {\sqrt x + \frac{1}{{\sqrt[3]{x}}}} \right)^{12} \]
Resolução \[ \left( {\sqrt x + \frac{1}{{\sqrt[3]{x}}}} \right)^{12} = \left( {x^{\frac{1}{2}} + x^{ - \frac{1}{3}} } \right)^{12} \] Coeficientes: $a=1$ e $b=1$
Expoentes: $s=\displaystyle\frac{1}{2}$; $t=-\displaystyle\frac{1}{3}$ e $n=12$
O coeficiente de x^2 é... zero!
Não me peçam o programa. (ainda tenho versões antigas, até ao ano 2001...)
Eu já dei a ideia...
Eventualmente um dia vai parar à secção "Material" deste blog.
