A foto é de um caderno meu de 1994. Um caderno de programas de calculadora.
O leitor não imagina a quantidade absurda de disparates que já ouvi sobre os meus programas. Como pode confirmar, ali não há informática1 . Apenas fórmulas... matemáticas.
Aquilo para mim era tão óbvio que nem escrevi as deduções (risos).
Escrevo este post porque algumas pessoas que começam a aprender a programar calculadoras (actualmente em python), de vez em quando pedem-me sugestões e eu costumo pedir as coordenadas do foco da parábola de equação $$y=ax^2+bx+c, \text{ }a\neq 0$$
Toda a gente dá-me as coordenadas do vértice, e não do foco.
Ó pessoal. Eu sou matemático! Eu sei o que pedi! Eu pedi O FOCO!
No meu tempo, as cónicas faziam parte do programa do ensino secundário, e ainda reapareciam no ensino superior.
Há várias formas fáceis de deduzir a fórmula do vértice. Deixo isso como exercício para o leitor interessado que ainda desconheça a fórmula.
Hoje só vamos deduzir a fórmula do foco, e já agora, uma fórmula para a directriz da parábola.
O que é uma directriz?
Vamos começar por rever a definição de parábola.
Considere-se uma recta $\mathcal{d}$ e um ponto $F$ exterior à recta.
Ao conjunto dos pontos $P$ do plano que são equidistantes do ponto $F$ e da recta $\mathcal{d}$ chamamos parábola.
O ponto $F$ chama-se foco e a recta $\mathcal{d}$ chama-se directriz.
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Vamos considerar $\mathcal{d}$ uma recta horizontal, com equação $y=y_d$ onde $y_d\in\R$, e $F$ o ponto de coordenadas $(x_F,y_F)$. $x_F$ e $y_F$ também são números reais, mas como pela definição não podemos ter $y_F=y_d$ vamos começar por considerar $y_F>y_d$.
De acordo com a definição, se $P(x,y)$ é um ponto da parábola então $$ d(P,F)=d(P,d)$$ Ou seja, \[\sqrt{(x-x_F)^2+(y-y_F)^2}=|y-y_d|\] Elevando ambos os termos da equação ao quadrado temos \[{(x-x_F)^2+(y-y_F)^2}=\left(y-y_d\right)^2\] que é equivalente a \[{(x-x_F)^2=\left(y-y_d\right)^2-(y-y_F)^2}\] e por sua vez, a \[{(x-x_F)^2=\left(y-y_d-y+y_F\right)\left(y-y_d+y-y_F\right)}\] e a \[{(x-x_F)^2=\left(y_F-y_d\right)\left(2y-y_d-y_F\right)}\] logo \[y=\frac{1}{2\left(y_F-y_d\right)}(x-x_F)^2+\frac{y_F+y_d}{2}\] ou, na versão que me vai dar mais jeito \[y=\frac{1}{2\left(y_F-y_d\right)}x^2-\frac{x_F}{\left(y_F-y_d\right)}x+\frac{x_F^2}{2\left(y_F-y_d\right)}+\frac{y_F+y_d}{2}\] Portanto, temos uma equação do tipo $y=ax^2+bx+c$ com \[ \left\{ {\begin{array}{*{20}l} {a = \frc{1}{{2\left( {y_F - y_d } \right)}}} \\ {b = - \frc{{x_F }}{{y_F - y_d }}} \\ {c = \frc{{x_F ^2 }}{{2\left( {y_F - y_d } \right)}} + \frc{{y_F + y_d }}{2}} \end{array}} \right. \] Agora é só resolver o sistema em ordem a $x_F,y_F$ e $y_d$. Como isto são só contas, vou colar aqui os meus cálculos, sem os explicar.
\[ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}l} {a = \frc{1}{{2\left( {y_F - y_d } \right)}}} \\ { - \frc{b}{{2a}} = x_F } \\ {c = \frc{{b^2}}{{4a}} + \frc{{y_F + y_d }}{2}} \end{array}} \right. \] \[ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}l} {y_F - y_d = \frc{1}{{2a}}} \\ {x_F = - \frc{b}{{2a}}} \\ {y_F + y_d = 2c - \frc{{b^2}}{{2a}}} \end{array}} \right. \] \[ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}l} {2y_d = 2c - \frc{{b^2}}{{2a}} - \frc{1}{{2a}}} \\ {x_F = - \frc{b}{{2a}}} \\ {2y_F = \frc{1}{{2a}} + 2c - \frc{{b^2}}{{2a}}} \end{array}} \right. \] \[ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}l} {y_d = \frc{{4ac - b^2 - 1}}{{4a}}} \\ {x_F = - \frc{b}{{2a}}} \\ {y_F = \frc{{1 + 4ac - b^2}}{{4a}}} \end{array}} \right. \] e fazendo \[\Delta=b^2-4ac\] temos \[ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}l} {y_d = - \frc{{1+\Delta}}{{4a}}} \\ {x_F = - \frc{b}{{2a}}} \\ {y_F = \frc{{1 - \Delta }}{{4a}}} \end{array}} \right. \] As fórmulas continuam válidas se $y_d>y_F$ (pode verificar como exercício)
Portanto, as coordenadas do foco são $$\left(-\frac{b}{2a},\frac{{1 - \Delta }}{{4a}}\right)$$ e uma equação da directriz é \[y = - \frac{{1 + \Delta}}{{4a}}\] Para a próxima que eu vos pedir um foco, é mesmo o foco! Está aqui a fórmula.
Como eu disse, há cerca de 30 anos, eu deduzi isto de uma forma (bem mais) simples, e correcta.
Alguém quer tentar chegar a essa dedução?
PS:
- Para ser mais preciso, o título devia ser 'uma fórmula para as coordenadas cartesianas do foco de uma parábola com uma equação do tipo $y=ax^2+bx+c$', mas permitam-me o abuso de linguagem
- Falta ali mais uma justificação no princípio do texto, que fica a cargo do leitor.
- Na foto do meu caderno, falta o ponto B. Isto porque um dia, há muitos muitos anos, o caderno, dentro da minha mochila, apanhou uma valente chuvada... alumas coisas ficaram borradas ou desapareceram. A cor verde parece ter sido a que mais sofreu.
- Por motivos a que sou alheio, alguns quadrados desapareceram das fórmulas durante a dedução (eu fiz a dedução directamente no LaTeX que escrevi aqui, e confirmei antes de postar, por isso não sei o que se passou). Já corrigi, mas é possível que ainda falte algum...
- Recentemente, alguém de Matemática perguntou-me o que é um foco. O que é que andam a ensinar nos cursos actuais?
- Texto escrito num Raspberry pi 4.
1 Nunca subestimem o poder da ignorância.
