O raio da circunferência circunscrita ao triângulo

"O que se aprende na juventude dura a vida inteira."(Francisco de Quevedo)

Este problema também veio do facebook, da página "Mathematics is poetry".
Tem uma resolução bastante simples, dependendo da matemática que se sabe, e várias outras mais trabalhosas.

Esta ocorreu-me porque eu conheço

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Num triângulo de lados $a$,$b$ e $c$ a área é dada por $$A_{\Delta}=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$$ onde $s$ é o semiperímetro $$s=\frc{a+b+c}{2}$$

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A demonstração desta fórmula não é complicada. Encontra-se online, mas deixo como exercício ao leitor interessado (eu sei que não é complicada porque eu próprio a fiz quando tinha 16 anos).

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Num triângulo de lados $a$,$b$ e $c$, se chamarmos $A$ ao lado oposto a $a$, $B$ ao lado oposto a $b$ e $C$ ao lado oposto a $c$.
A área é dada por qualquer uma das fórmulas:
$$\text{Área}=A_{\Delta}=\frc{1}{2}ab\sen{C}=\frc{1}{2}ac\sen{B}=\frc{1}{2}bc\sen{A}$$ Onde se comete o "abuso de linguagem" de confundir o vértice com o ângulo interno correspondente a esse vértice.

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A demonstração desta fórmula também não é complicada. É mais simples que a da fórmula de Herão, e também deixo como exercício.

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Num triângulo de lados $a$,$b$ e $c$, se chamarmos $A$ ao lado oposto a $a$, $B$ ao lado oposto a $b$ e $C$ ao lado oposto a $c$.
Temos $$\frc{\sen{A}}{a}=\frc{\sen{B}}{b}=\frc{\sen{C}}{c}$$ Eu aprendi isto no secundário, com outra demonstração. Mas poucos anos mais tarde (1996?) numa conversa com o professor Egídio Pereira, ele sugeriu esta demonstração, que, "recentemente" reencontrei em alguns livros do secundário, como exercício, no tempo das "Metas curriculares". Deixar algumas coisas como exercício em vez de mandar consultar livros é bem mais didáctico!
Sabem, odeio a expressão "conheço a demonstração", embora desta vez, conhecer esta demonstração tenha me permitido resolver este desta forma.

Seja $r$ o raio da circunferência circunscrita ao triângulo.
Se construirmos o ponto $A'$ como sendo a intersecção da recta que passa por $B$ e pelo centro da circunferência com a circunferência com a circunferência, o angulo interno $A'$ mede o mesmo que o ângulo interno $A$. Isto acontece porque são ângulos inscritos na mesma circunferência, correspondentes ao mesmo arco. O triângulo $[A'BC]$ é rectângulo. E então $$\sen{A}=\sen{A'}=\frc{a}{2r}$$ logo, $$2r=\frc{a}{\sen{A}}$$ Eu posso fazer "o mesmo" em qualquer um dos outros vértices. Daqui tiramos: $$2r=\frc{a}{\sen{A}}=\frc{b}{\sen{B}}=\frc{c}{\sen{C}}$$ de onde sai o resultado.

Se $r$ for o raio daquela circunferência, $a,b,c$ os lados do triângulo e $A,B,C$ os vértices opostos aos lados correspondentemente, temos que $$2r=\frc{c}{\sen C}$$ (utilizando o abuso de linguagem de identificar a medida do ângulo interno como o vértice correspondente) e que a área do triângulo é $A_{\Delta}=\frc{1}{2}ab\sen C$ logo $$r=\frc{c}{2\sen C}=\frc{c}{\frc{2\times2A_{\Delta}}{ab}}=\frc{abc}{4A_{\Delta}}$$ Assim sendo $$s = \frac{{9 + 10 + 11}}{2} = \frac{{10 + 20}}{2} = 5 + 10 = 15$$ e então $$r = \frac{{9 \times 10 \times 11}}{{4\sqrt {15\left( {15 - 9} \right)\left( {15 - 10} \right)\left( {15 - 11} \right)} }} =\frac{{9 \times 10 \times 11}}{{4\sqrt {15 \times 6 \times 5 \times 4} }} =$$ $$= \frac{{9 \times 5 \times 11}}{{2\sqrt {3 \times 5 \times 2 \times 3 \times 5 \times 2^2 } }} = \frac{{9 \times 5 \times 11}}{{2\sqrt {3^2 \times 5^2 \times 2 \times 2^2 } }} = \frac{{9 \times 5 \times 11}}{{2 \times 5 \times 3 \times 2\sqrt 2 }} = \frac{{33}}{{4\sqrt 2 }} = \frac{{33\sqrt 2 }}{8}$$

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Esta resolução, também vai com dedicatórias. Á professora Celina Andrade que me aturou no secundário, e me ensinou a lei dos senos, ao professor Orlando Freitas que no 9º ano me ensinou as relações entre arcos e ângulos numa circunferência e ao professor Egídio Pereira que me deu a conhecer aquela demonstração da lei dos senos.

Cónicas - Parte 1 : Três versões diferentes

Os próximos textos sobre cónicas vão ter dedicatórias.
Vou dedicar este post a duas pessoas. Ao meu pai (ontem foi dia do pai), e à professora Celina Andrade que em 1994/95 me apresentou as cónicas no ensino secundário.

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Como consequência do texto $P$ o primo do $\pi$ decidi escrever uma sequência de alguns posts dedicados a cónicas.

Neste primeiro texto vou apenas definir cónicas, de três formas diferentes.
Nesta sequência de textos não vou demonstrar algumas afirmações, não porque seja difícil, mas porque já tive nas mãos fichas de exercícios de algumas faculdades que propõem essas demonstrações como exercícios.
Não estou interessado que que este blog seja uma fonte de copianço, por isso, neste post, tudo o que eu não provar, deixo como exercício para o leitor interessado.
Curiosamentte, eu aprendi e foram-me feitas as demonstrações de muitas destas coisas em aulas quando eu estava no secundário.
Se calhar ainda escrevo as provas em $\LaTeX$ e guardo algures.

No final de cada texto haverá uma lista de exercícios, com soluções mas sem resoluções (pelo menos inicialmente). A ideia é resolvê-los recorrendo apenas ao conteúdo do texto.

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Em 1994, na Escola Secundária Francisco Franco, o grupo de estágio de professores de Matemática costumava propor problemas, e premiar as resoluções. Eu era aluno do 11º ano. Resolvi um problema, julgo que sobre transporte de soldados. Ganhei o prémio: a minha primeira calculadora gráfica programável. Uma Casio fx-6300G. Aprendi imenso com essa calculadora e com o manual. Por exemplo, foi lá que vi pela primeira vez o conceito de integral definido, e foi graças a essa calculadora que aprendi a integrar. Atenção: a calculadora não tem computação algébrica, nem sequer integrais, mas no capítulo onde ensina a programar tem como exemplo a regra de Simpson, e quem escreveu aquele manual fez um bom trabalho.
Em 1994, eu nem tinha computador.
Como eu disse, aprendi imenso com essa calculadora e com o manual. Escrevi alguns dos meus primeiros programas (e até jogos), que se revelaram ferramentas bem úteis na compreensão de alguns conceitos nomeadamente em Física e Matemática.
Sem a calculadora também chegaria lá, só levaria mais tempo (só por curiosidade... tanto antes como depois de ter calculadora, até ao fim do secundário sempre tive a nota máxima a Matemática)
Aquela calculadora tinha apenas 400 bytes de memória. Portanto o código era escrito de forma optimizada e sem comentários.
Um dos meus primeiros programas foi de cónicas.
Não pensem que fazia algo 'óbvio' que até já vem nas calculadoras actuais.
O que esse programa fazia (e se calhar, como fazia), será assunto de um texto futuro e de mais um documento para a secção de material deste blog.
Como sempre, é apenas Matemática.

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Versão 1: Secções de uma superfície cónica.

Com um título destes se calhar eu devia definir rigorosamente o que é uma superfície cónica, mas não o vou fazer.

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Como eu já disse algumas vezes, o excesso de rigor, não é didáctico, e acabamos a criar "monstros abstractos", que conseguem por pessoas a disparatar sem ter noção que estão a disparatar.
Assim sendo gerei e partilho uma animação feita com o auxílio do geogebra.
(Foi gerada a partir de equações paramétricas que deduzi "em cima do joelho", e isso não se faz sem saber definir as coisas rigorosamente...)

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A partir desta animação, quem estiver mesmo interessado consegue escrever uma definição rigorosa de superfície cónica.
Ou seja, é uma coisa destas:

Quem se atrever a utilizar um desenho/imagem como "definição rigorosa", está convidado a deixar de ler este texto e a não voltar...

Uma parábola é a curva que se obtém quando se intersecta um plano estritamente paralelo a uma geratriz (qualquer recta inscrita na superfície cónica) com a superfície cónica.

Uma elipse é a curva que se obtém quando se intersecta um plano não paralelo a uma geratriz (qualquer recta inscrita na superfície cónica) com apenas uma das folhas da superfície cónica.

(Assim, nesta definição, uma circunferência é um caso particular de uma elipse)

Se o plano intercectar as duas folhas (e não o fizer numa recta) obtemos uma hipérbole.

(As imagens de fundo cinzento vieram da Wikipedia, mas são facilmente geravei no Geogebra, no Wolfram Mathematica, etc...)

Versão 2: Propriedades focais.

Elipse

Elipse é o conjunto dos pontos de um plano tais que é constante a soma das suas distancias a dois pontos fixos, desse plano, chamados focos.

Na animação $\overline{PF_1}+\overline{PF_2}=\text{constante}$.

Hipérbole

Hipérbole é o conjunto dos pontos de um plano tais que é constante a diferença em módulo das suas diferenças a dois pontos fixos, desse plano, chamados focos
Essa diferença é inferior à distância entre os focos.

Na animação $|\overline{PF_1}-\overline{PF_2}|=\text{constante}$.

Parábola

Considere-se uma recta $\mathcal{d}$ e um ponto $F$ exterior à recta.
Ao conjunto dos pontos $P$ do plano que são equidistantes do ponto $F$ e da recta $\mathcal{d}$ chamamos parábola. O ponto $F$ chama-se foco e a recta $\mathcal{d}$ chama-se directriz.

Versão 3: Foco e directriz

Cónica

Considere-se uma recta $\mathcal{d}$ e um ponto $F$ exterior à recta.

Ao conjunto dos pontos $P$ do plano em que a razão entre a distância ao ponto $F$ e a distância à recta $\mathcal{d}$ é constante chamamos cónica.

O ponto $F$ chama-se foco a recta $\mathcal{d}$ chama-se directriz. e a tal razão constante chama-se excentricidade. Com esta definição faz sentido que a excentricidade seja estritamente maior do que zero.

• Se a excentricidade for inferior a $1$ a cónica designa-se elipse.
• Se a excentricidade for igual a $1$ a cónica designa-se parábola.(Coincide com a versão 2)
• Se a excentricidade for superior a $1$ a cónica designa-se hipérbole.

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Estes focos coincidem com os da versão 2.

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Estas três definições são "quase equivalentes" (permitam-me o abuso de linguagem).
Não é verdade que as 3 sejam equivalentes sem proceder a alguns ajustes.
As versões 1 e 2 permitem enquadrar a circunferência como uma elipse. A versão 3 precisa de algumas afinações para isso acontecer. A equivalência entre as versões 1 e 2 pode ser provada recorrendo às esferas de Dandelin . A primeira vez que a vi foi no livro Calculus vol I de Tom M. Apostol. (Sem querer ser mau, tenha em conta que o livro já tem alguns anos, e sugiro a quem o quiser consultar, se tiver hipótese, que evite traduções... recorra ao original).

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(Sugiro, sem recorrer a tecnologias, a quem estiver interessado no próximo post)

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Nota: eu sou o autor destes exercícios e das soluções.

1. A elipse da animação na versão 2 tem focos nos pontos de coordenadas $F_1(4,3)$ e $F_2(-4,-3)$, e a constante da definição (versão 2) é 12.
   Determine:
   1. As equações reduzidas as rectas a tracejado representadas na figura.

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      $$y=\frc{3}{4}x$$ e $$y=-\frc{4}{3}x$$

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   2. A excentricidade da elipse, e as equações das possíveis diretrizes.(Ver versão 3)

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      Directrizes: $y=-\frc{4}{3}x +\frc{304}{25}$ e $y=-\frc{4}{3}x -\frc{304}{25}$
      Excentricidade: $$e=\frc{5}{6}$$

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   3. Uma equação cartesiana da elipse na forma $Ax^2+Bxy+Cy^2+Dx+Ey+F=0$,
      ($A,B,C,D,E,F$ são números reais). Recorra apenas à distância euclidiana e às definições contidas neste texto.

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      $$20x^2-24xy+27y^2-396=0$$

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2. Agora, considere uma hipérbole que tem focos nos pontos de coordenadas $F_1(4,3)$ e $F_2(-4,-3)$, e a constante da definição (versão 2) é 8.
   Determine:
   1. As equações reduzidas das possíveis directrizes, e a excentricidade da hipérbole.(Ver versão 3)

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      Directrizes: $$y=-\frac{4}{3}x+\frac{16}{3}$$ e $$y=-\frac{4}{3}x-\frac{16}{3}$$ Excentricidade $$e=\frac{5}{4}$$

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   2. Uma equação cartesiana da hipérbole na forma $Ax^2+Bxy+Cy^2+Dx+Ey+F=0$,
      ($A,B,C,D,E,F$ são números reais). Recorra apenas à distância euclidiana e às definições contidas neste texto.

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      $$7y^2-24xy+144=0$$

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   3. As equações reduzidas das assímptotas. Note que esta hiperbole tem duas assimptotas (oblíquas).

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      $$y=0$$ e $$y=\frc{24}{7}x$$

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3. Continuando a não recorrer a informações sobre cónicas fora das dadas neste texto, determine as coordenadas dos focos. equações reduzidas das directrizes, e directrizes da hipérbole de equação $xy=1$.

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   Focos: $$\left(\sqrt{2},\sqrt{2}\right)$$ e $$\left(-\sqrt{2},-\sqrt{2}\right)$$ Excentricidade $$e=\sqrt{2}$$ Directrizes $$y=-x+\sqrt{2}$$ e $$y=-x-\sqrt{2}$$

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4. Considere a parábola de foco no ponto de coordenadas $(0,5)$ e directriz a recta de equação $y=0$.
   1. Escreva uma equação dessa parábola, na forma $y=ax^2+c$

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      $$y=\frac{1}{10}x^2+\frac{5}{2}$$

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   2. A partir da equação da alínea anterior, escreva, na forma $Ax^2+Bxy+Cy^2+Dx+Ey+F=0$ uma equação da parábola de foco no ponto de coordenadas $(4,3)$ e directriz de equação $y=-\frc{3}{4}x$. $A,B,C,D,E,F$ devem ser números inteiros.

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      $$16x^2-24xy+9y^2-150x-200y+625=0$$

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PS:

• Chamo à atenção que eu, propositadamente, nos exercícios pus soluções sem resoluções. Não é suposto usar 'equações reduzidas' de hiperboles nem de elipses nem 'reduções aos eixos principais', nem estudo algébrico de formas quadráticas... isso fica para textos futuros. Permito o uso de matrizes rotação (mas não obrigo). Para além de coisas elementares (distâncias euclidianas, quadrados de binómios, principio de equivalência de equações)...também podem (mas não precisam de) usar a fórmula da "distância de um ponto a uma recta" se souberem, se não souberem e tiverem curiosidade usem este botão:

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  Distância do ponto de coordenadas $\left(x_0,y_0\right)$ à recta de equação $ax+by+c=0$ $$d=\frac{|ax_0+by_0+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}$$

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  Não é para usar ferramentas 'não elementares', e eu tenho noção que com esta limitação, as resoluções podem ser bem chatas.
  Usem a imaginação.
  Já agora, as IAs a que eu recorri disparataram, por isso tenho mesmo curiosidade em saber se alguém chega a resoluções correctas. [Elas existem e não são únicas!]
• CarlosPaulices no século XXI:Descodificando um programa de um caderno com 30 anos - Parte I
• CarlosPaulices no século XXI: Tempo
• A applet geogebra foi inicialmente escrita para o post Cónicas: uma definição excêntrica, do blog Carlos Paulices no século XXI, e foi adicionada ao texto no dia 1 de Abril de 2025
• Applet Geogebra da versão 3 em https://www.geogebra.org/m/vk8wha34

Um problema de geometria elementar (II) : A altura de um cone

Enquanto esperam os textos sobre cónicas, tomem um exercício com cones.

Este tamém veio do facebook, mas não consigo descobrir a fonte original (se alguém souber que me envie)

Temos um cone. O volume azul da primeira figura é igual ao azul da segunda, e as duas representam o mesmo cone. Qual é a altura do cone?

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$$1+\sqrt{85} \text{ cm}$$

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Neste tipo de problemas, um esquema, e juntar algumas letras ajuda sempre. No esquema todas as medidas estão em centímetros.

Como consequẽncia da semelhança de triângulos (justifique essa semelhança) temos: $$\frac{H}{R} = \frac{8}{r} = \frac{{H - 2}}{a}$$ Portanto, $r = \frc{{8R}}{H}$ e $a = \left( {H - 2} \right) \cdot \frac{R}{H}$.
Por outro lado a igualdade de volumes escreve-se matematicamente desta forma: $$\begin{eqnarray*} {}&{}&{\frac{1}{3}\pi R^2 H - \frac{1}{3}\pi r^2 \cdot 8 = \frac{1}{3}\pi a^2 \left( {H - 2} \right)} \\ &\Leftrightarrow& \frac{1}{3}\pi R^2 H - \frac{1}{3}\pi \cdot 8^3 \frac{{R^2 }}{{H^2 }} = \frac{1}{3}\pi \left( {H - 2} \right)^3 \frac{{R^2 }}{{H^2 }} \\ &\Leftrightarrow& \frac{1}{3}\pi \frac{{R^2 }}{{H^2 }}\left( {H^3 - 8^3 } \right) = \frac{1}{3}\pi \frac{{R^2 }}{{H^2 }}\left( {H - 2} \right)^3 \\ &\Leftrightarrow& H^3 - 8^3 = \left( {H - 2} \right)^3 \\ &\Leftrightarrow& H^3 - 512 = H^3 - 6H^2 + 12H - 8 \\ &\Leftrightarrow& 6H^2 - 12H + 504 = 0 \\ &\Leftrightarrow& H^2 - 2H + 84 = 0 \\ &\Leftrightarrow& H = 1 \pm \sqrt {1 + 84} = 1 \pm \sqrt {85} \\ \end{eqnarray*}$$ Como $H$ é a altura do cone tem de ser positiva, logo $$H = 1 + \sqrt {85}$$

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