Pode-se proceder de forma análoga ao que se fez para a secante trigonométrica
Calculemos as primitivas da função secante hiperbólica, recorrendo à substituição \[t = \th \left(\displaystyle\frac{x}{2}\right)\].
Recorde-se que
\[
\ch x = \displaystyle\frac{{1 + t^2 }}{{1 - t^2 }}
\]
e
\[
\sh x = \displaystyle\frac{{2t}}{{1 - t^2 }}
\]
E portanto
\begin{eqnarray*}
\int {\sech x} dx & = & \int {\displaystyle\frac{1}{\ch x}} dx \\
& = & \int {\displaystyle\frac{1 - t^2 }{1 + t^2 } \times \displaystyle\frac{2}{1 - t^2 }}dt \\
& = & \int{\displaystyle\frac{2}{1 + t^2} } dt\\
& = & 2\arctg t + C_4\\
& = & 2\arctg \left[\th \left(\displaystyle\frac{x}{2}\right)\right] + C_4
\end{eqnarray*}
Resultado curioso...
Note-se que \[\left(\sech x\right)'=-\th x \sech x\] e \[\left(\th x\right)'=\sechq x\].
Portanto, multiplicar e dividir por $\th x + \sech x$ não nos conduz a algo como o simpático resultado que temos para a secante trigonométrica...
\begin{eqnarray*}
{\int \cosec x dx }&{=}&{\int \cosec x \times \frac{\cosec x +\cotg x }{\cosec x +\cotg x }dx}\\
{}&{=}&{\int \frac{\cosec^2 x +\cotg x \cosec x}{\cosec x +\cotg x }dx}\\
{}&{=}&{-\int \frac{-\cosec^2 x -\cotg x \cosec x}{\cosec x +\cotg x }dx}\\
{}&{=}&{- \ln \left| \cosec x +\cotg x \right| + C}
\end{eqnarray*}
Exercício: E qual é a primitiva da secante hiperbólica?
Resoluções aqui: http://zonaexacta.blogspot.com/2017/09/a-primitiva-da-secante-hiperbolica.htmlNota: Por abuso de linguagem costumamos dizer "a primitiva" de uma função. No entanto como existe uma primitiva para cada constante $C$, na verdade a designação correcta é "as primitivas" de uma função, ou, "a família de primitivas de...", e só por isso deixei o título no plural. Se calhar, até seria boa política escrever $C\in \R$ em cada linha. No entanto aprendi que o excesso de rigor não é didáctico, e torna as coisas visualmente "pesadas", por isso, no resto do blog, salvo um ou outro caso, manterei abusos de linguagem.
PS
Problema
Considere a sucessão $(a_n)$ de números reais definida por:
\[a_0 = 1\text{ e } a_{n + 1} = \frac{7a_n + \sqrt{45a_n^2 - 36}}{2}, n \in \N_0 \]
Mostre que $(a_n)$ é uma sucessão de números inteiros positivos e que $a_n\cdot a_{n + 1} - 1$ é, para cada $n \in \N_0$, um quadrado perfeito.
\[a_{n + 1} = \frac{7a_n + \sqrt{45a_n^2 - 36}}{2}>\frac{7a_n}{2}>a_n\]
logo \[a_{n + 2} >a_{n + 1}>a_{n}\] ou seja, $a_{n+2}-a_{n}>0$
\[\Leftrightarrow a_{n + 2} -7a_{n + 1}+ a_{n} = 0 \]
Façamos
\[b_n=a_{n + 1}\]
Então
\[
\left\{ {\begin{array}{l}
{a_{n + 1} = b_n } \\
{b_{n + 1} = 7b_n - a_n }
\end{array}} \right.
\]
Sabe-se que $a_0=1$; $b_0=a_1=5$ são inteiros positivos.
Então, por indução matemática consegue-se provar que o par $(a_n,b_n)$ é de inteiros positivos.
Considere-se a proposição:
O par $(a_n,b_n)$ é de inteiros positivos.
$a_n \leq b_n$
A proposição é verdadeira para $n=0$ como já se viu.
Vamos ver que a propriedade é hereditária:
Assumindo por hipótese que a propriedade é válida para $n$, a relação
\[
a_{n + 1} = b_n
\]
Mostra-nos imediatamente que $a_{n + 1}$ é inteiro positivo.
E a relação $b_{n + 1} = 7b_n - a_n$ diz-nos que $b_{n + 1}$ é inteiro.
Por outro lado $a_n\leq b_n \Leftrightarrow -a_n\geq -b_n$, logo
\[b_{n + 1} = 7b_n - a_n\geq 7b_n - b_n =6b_n\]
Ficando com isto provado que $b_{n + 1}$ é positivo.
Fica assim provada a proposição, e com isto a primeira parte do problema.
Para a segunda parte...
Acima vimos que
\[
a_{n + 1} ^2 + a_n ^2 + 9 = 7a_n a_{n + 1}
\]
isto é equivalente a
\[
\begin{array}{l}
a_{n + 1} ^2 + a_n ^2 = 7a_n a_{n + 1} - 9 \\
\Leftrightarrow a_{n + 1} ^2 + 2a_n a_{n + 1} + a_n ^2 = 9a_n a_{n + 1} - 9 \\
\Leftrightarrow \left( {\displaystyle\frac{{a_{n + 1} + a_n }}{3}} \right)^2 = a_n a_{n + 1} - 1
\end{array}
\]
Assim, para provar que \[ a_n a_{n + 1} - 1 \] é um quadrado perfeito, basta provar que ${a_{n + 1} + a_n }$ é múltiplo de 3.
Isso faz-se mais uma vez por indução em $n$
Para $n=0$ temos $a_1+a_0=5+1=6$ que é múltiplo de $3$
Partindo da hipótese que ${a_{n + 1} + a_n }$ é múltiplo de $3$ temos que
\[{a_{n + 2} + a_{n + 1} }=7a_{n + 1}-a_n+a_{n + 1}=9a_{n + 1}-(a_{n + 1}+a_n)\]
Que é múltiplo de $3$, pois $9a_{n + 1}$ é múltiplo de $3$ e $a_{n + 1}+a_n$ é múltiplo de $3$ por hipótese.
Assim, ficou provado que ${a_{n + 1} + a_n }$ é múltiplo de $3$, para todo o $n\in \N_0$, logo que $a_n a_{n + 1} - 1$ é quadrado perfeito, ficando com isto concluída a resolução do problema.
Nota do autor
Consegue-se reescrever a resolução da primeira parte para não ser necessário a sucessão auxiliar $b_n$.
Comparando ambas as resoluções conclui-se que
\[F_{4n+4}+F_{4n}=3F_{4n+2}\]
Mas isto na verdade, não é nada de especial:
\[F_{N+4}=F_{N+3}+F_{N+2}=F_{N+2}+F_{N+1}+F_{N+2}=F_{N+2}+F_{N+2}-F_{N}+F_{N+2}=3F_{N+2}-F_{N}\]
E portanto
\[F_{N+4}+F_{N}=3F_{N+2}\text{ }\forall N \in \N_0\]
em particular é válido para $N=4n$, sendo $n$ um número arbitrário em $\N_0$.
(O resultado é independente da versão da sucessão de Fibonacci $(F_n)$ utilizada).
A sucessão de Fibonacci é definida pela fórmula de recorrência \[ F_{n+2}=F_{n+1}+F_n \]
e por duas condições iniciais, que, cuidado, nem sempre são as mesmas.
A expressão geral para a recorrência é
\[ F_{n}=C_1\left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)^n+C_2\left(\frac{1-\sqrt{5}}{2}\right)^n\]
\[F_{n+2}-F_{n+1}-F_n=0\]
A equação característica associada é
\[r^2-r-1=0\]
Que tem como zeros
\[r=\frac{1\pm\sqrt{5}}{2}\]
Os valores de $C_1$ e $C_2$ dependem dos valores das condições iniciais.
Note-se que $\displaystyle\frac{1+\sqrt{5}}{2}=\Phi$ é o número de ouro, que também nos permite escrever a fórmula de outras formas
Por vezes até generalizam-se os números de Fibonacci a argumentos negativos, recorrendo a estas fórmulas ou à fórmula de recorrência.
Existindo várias fórmulas associadas a números de Fibonacci, é sempre conveniente saber a que versão da sucessão essas fórmulas estão associadas, por forma a evitar erros nos resultados.
Nota
Esta página poderá ser actualizada no futuro.
Problema
Considere todos os números naturais com quinze algarismos que são constituídos apenas por $3$ e/ou $8$ (por exemplo $333333338888888$ ou $333333333333333$)
Quantos destes números são divisíveis por $11$?
Nas condições do enunciado, o valor mínimo para $S_i$ obtem-se quando cada uma das oito parcelas desta soma vale $3$ e o valor máximo quando cada uma delas vale $8$.
Assim sendo:
\[
3\times 8\leq S_i \leq 8\times 8
\]
Ou seja
\[
24\leq S_i \leq 64
\]
Procede-se da mesma forma para $S_p$, ou seja, o valor mínimo para $S_p$ obtem-se quando cada uma das sete parcelas desta soma vale $3$ e o valor máximo quando cada uma delas vale $8$ . ( Digam lá que copy-paste não dá jeito a escrever Matemática )
Assim sendo:
\[
3\times 7\leq S_p \leq 8\times 7
\]
Ou seja
\[
21\leq S_p \leq 56
\]
O valor seguinte possível para $S_p$ é $26$ que corresponde a substituir um $3$ por um $8$ (observe-se que $21-3+8=26$)
O seguinte é $31$, pela mesma razão...
Vemos assim que $S_p=21+5n$ com $n\in \left\{0,1,2,3,4,5,6,7\right\}$ onde $n$ é o número de algarismos $8$ na soma dos algarismos de ordem par. Ou seja, os possíveis valores para $S_p$ são $21,26,31,36,41,46,51,56$.
Da mesma forma $S_i=24+5n$ com $n\in \left\{0,1,2,3,4,5,6,7,8\right\}$ onde $n$ é o número de algarismos $8$ na soma dos algarismos de ordem impar. Então, os possíveis valores para $S_p$ são $24,29,34,39,44,49,54,59,64$.
Se $S_p=21$, para que $S_i-S_p$ seja múltiplo de $11$, o único valor possível para $S_i$ de entre os valores disponíveis é $54$
(pois $54-21=33=3\times 11$)
As fórmulas que dão os $S_p$ e os $S_i$ são de progressões aritméticas de razão $5$. Então, partindo do par ordenado $(S_p,S_i)=(21,54)$ conseguem-se obter mais dois pares:
\[(26,59) \text{ e } (31,64)\]
Como $64$ é o valor máximo possível para $S_i$, para obter mais pares vamos repetir o processo, mas desta vez começando pelo valor mais baixo possível para $S_i$
Se $S_i=24$, o único valor possível para $S_p$ é $46$. E tal como anteriormente, partindo deste par ordenado de somas $(S_p,S_i)=(46,24)$ obtêm-se mais duas:
\[(51,29) \text{ e } (56,34)\] . Como $56$ é o valor máximo possível para $S_p$, obtivemos todos os pares possíveis de somas $(S_p,S_i)$.
Só falta calcular quantos números correspondem a cada par de somas, e somar
Nota do autor:
As contagens conseguem ser feitas sem ser necessário recorrer a combinatória...
Problema colocado originalmente no projecto Delfos. (ok... é melhor não resolver muitos problemas deles aqui..)
Teorema
Um número é divisível por $11$ se o módulo da diferença entre a soma dos algarismos de ordem ímpar e a soma dos algarismos de ordem par for divisível por $11$.
Seja \[N=\overline{a_{m}a_{m-1}...a_{3}a_{2}a_{1}}=\sum\limits_{k = 1}^m {\left( {a_k \cdot 10^{k - 1} } \right)}\] um número natural com $m$ algarismos divisível por $11$.
Considere-se o polinómio de grau $m-1$ na variável $x$.
\[
P(x) = \sum\limits_{k = 1}^m {a_k \cdot x^{k - 1} }
\]
então $N=P(10)$. Como $10\equiv (-1) \Mod{11}$, então
\[
P(10)\equiv P(-1) \Mod{11}
\]
Ora,
\[
P(-1)=\sum\limits_{k = 1}^m {a_k \cdot (-1)^{k - 1} }=S_i-S_p
\]
Onde $S_i=$ soma dos algarismos de ordem ímpar e $S_p=$ soma dos algarismos de ordem par.
Logo
\[
N\equiv (S_i-S_p) \Mod{11}
\]
Sendo $N$ divisível por $11$ temos então
\[
N\equiv 0 \Mod{11}
\]
e então
\[
S_i-S_p\equiv 0 \Mod{11}
\]
Que é naturalmente equivalente a
\[
|S_i-S_p|\equiv 0 \Mod{11}
\]
e equivalente a dizer que $|S_i-S_p|$ é divisível por $11$
$\blacksquare$
Notas :
Na verdade o módulo do teorema é dispensável!
Considera-se $0$ divisível por $11$ ... e por qualquer número diferente de $0$
Exercício
Calcular o integral
\[
\int\limits_1^{\sqrt 3 } {\frac{1}{x^2 \sqrt {1 + x^2 } }dx}
\]
Recorrendo à substituição: $x=\tg t$ ou $x=\sh t$
(Nota: $\sh$ é uma notação para seno hiperbólico ... também se representa por $\sinh$ )
Seja $i$ a unidade imaginária, e considere-se a função de variável real \[f(x)= e^{-ix}(\cos x + i \sen x)\]
Então
\begin{eqnarray*}
{f'(x)}&{=}&{-ie^{-ix}(\cos x + i \sen x)+e^{-ix}(-\sen x + i \cos x)}\\
{}&{=}&{e^{-ix}\left[-i(\cos x + i \sen x)+(-\sen x + i \cos x)\right]}\\
{}&{=}&{e^{-ix}\left(-i\cos x + \sen x -\sen x + i \cos x\right)}\\
{}&{=}&{e^{-ix}\times 0}\\
{}&{=}&{0}
\end{eqnarray*}
Como $f'(x)=0$ então $f(x)=\text{constante}$.
Mas uma vez que $f(0)=e^0(\cos 0+i\sen 0)=1\times 1=1$, ficámos a saber que $\text{constante}=1$, logo
\begin{eqnarray*}
{}&{}&{e^{-ix}(\cos x + i \sen x)=1}\\
{}&{\Leftrightarrow}&{(\cos x + i \sen x)=e^{ix}}\\
\end{eqnarray*}
Portanto
\[e^{ix}=\cos x + i \sen x\]
Nota: A 'dedução'/motivação está fora do âmbito do actual programa do ensino secundário em Portugal! Observação
Como qualquer 'dedução' da fórmula da exponencial complexa, esta tem os seus problemas.
Derivar funções com variáveis complexas, bem... vamos ter de assumir que a exponencial de variável complexa, da qual nada sabemos uma vez que estamos a tentar deduzir a expressão, deriva-se como a exponencial real.
Utilizar a conclusão derivada=0, implica $f$ constante requer algum cuidado! Antes da 'dedução' não sabemos sequer qual é o conjunto de chegada da função! Nestas condições teremos legitimidade para usar um corolário do teorema de Lagrange... para intervalos fechados?
Exercício
Determinar o valor exacto do integral:
\[
\int\limits_{ - 1}^1 {\sqrt {1 + x^2 } dx}
\]
Exprimir o valor na forma $\sqrt{m}+\arg\sinh{(n)}$, com $m,n\in \N$
\[
\left\{ {\begin{array}{l}
{x + \displaystyle\frac{1}{y} = 1} \\
{y + \displaystyle\frac{1}{z} = 2} \\
{z + \displaystyle\frac{1}{x} = 3}
\end{array}} \right.
\]
Determinar o valor de $xyz$.
Começarei por reescrever o sistema na forma
\[
\left\{ {\begin{array}{l}
{x + \displaystyle\frac{1}{y} = 1} \\
{y = 2 - \displaystyle\frac{1}{z}} \\
{z = 3 -\displaystyle\frac{1}{x}}
\end{array}} \right.
\]
Assim a primeira equação pode reescrever-se na forma
\begin{eqnarray*}
{x + \displaystyle\frac{1}{2 - \displaystyle\frac{1}{z}}}&{=}&{1}\\
{\Leftrightarrow x + \frac{1}{2 - \displaystyle\frac{1}{3 -\displaystyle\frac{1}{x}}}}&{=}&{1}\\
{\Leftrightarrow x + \displaystyle\frac{1}{2 - \displaystyle\frac{x}{3x -1}}}&{=}&{1}\\
{\Leftrightarrow x + \displaystyle\frac{3x -1}{5x-2}}&{=}&{1}\\
{\Leftrightarrow 5x^2-2x +3x -1}&{=}&{5x-2}\\
{\Leftrightarrow 5x^2-4x+1}&{=}&{0}\\
{x}&{=}&{\frac{4 \pm \sqrt{16-20}}{2\times 5}}\\
{}&{=}&{\frac{4 \pm 2i}{2\times 5}}\\
{}&{=}&{\frac{2 \pm i}{5}}\\
\end{eqnarray*}
Sabendo os possíveis valores de $x$, facilmente se determinam os de $y$ e $z$.
Aqui para poupar escrita, utilizarei a convenção seguinte: nos sinais do tipo $\pm$ as soluções correspondentes ao sinal "de cima" vão corresponder sempre a soluções com o sinal de cima, e o de baixo, aos de baixo.
Portanto:
\[
y = \frac{1}{{1 - x}} = \frac{1}{{1 - \frac{{2 \pm i}}{5}}} = \frac{5}{{5 - 2 \mp i}} = \frac{5}{{3 \mp i}} = \frac{{5\left( {3 \pm i} \right)}}{{3^2 + 1^2 }} = \frac{{3 \pm i}}{2}
\]
e
\[
z = 3 - \frac{1}{x} = 3 - \frac{1}{{\displaystyle\frac{{2 \pm i}}{5}}} = 3 - \frac{5}{{2 \pm i}} = 3 - \frac{{5\left( {2 \mp i} \right)}}{{2^2 + 1^2 }} = 3 - 2 \pm i = 1 \pm i
\]
Agora é só uma questão de calcular o produto...
\[xyz=\left(\frac{2 \pm i}{5}\right)\left(\frac{{3 \pm i}}{2}\right)\left(1 \pm i\right)=\left(\frac{1 \pm i}{2}\right)\left(1 \pm i\right)=\frac{\left(1 \pm i\right)^2}{2}=\pm i\]
PS: Uma vez que esta primeira resolução não tem nada de especial, assim que me fôr possível penso noutra e partilho
