Recentemente, uma explicanda trouxe-me o problema:
\[
\left\{ {\begin{array}{l}
{u_1 = 3} \\
{u_{n + 1} = u_n + 2n, \text{ se }n > 1}
\end{array}} \right.
\]
Qual o valor de $\displaystyle\sum\limits_{n = 1}^{100} {u_n}$?
Respondi imediatamente que esse problema estava fora do programa da disciplina dela, mas que podia resolvê-lo na boa, e sem calculadora!
Como estava fora de questão recorrer aos meus conhecimentos de equações com diferenças, tive de ser criativo.
\begin{eqnarray*}
{u_1}&{=}&{3}\\
{u_2}&{=}&{3+2}\\
{u_3}&{=}&{3+2+4}\\
{u_4}&{=}&{3+2+4+6}\\
{u_5}&{=}&{3+2+4+6+8}\\
{u_6}&{=}&{3+2+4+6+8+10}\\
{...}&{...}&{...}\\
{u_n}&{=}&{3+2\cdot\frac{(n-1)n}{2}=3+(n-1)n}
\end{eqnarray*}
Justifiquei-lhe o último passo com a fórmula da soma dos primeiros $n$ termos de uma progressão aritmética.
Para o passo sequinte, o cálculo do somatório, tive de ser um pouco mais criativo.
Comecei por escrever
\[\sum\limits_{n = 1}^{100} {u_n}=\sum\limits_{n = 1}^{100} {\left(3+(n-1)n\right)}=300+\sum\limits_{n = 1}^{100} {n^2}-5050\]
Justifiquei convenientemente os números $300$ e o $5050$, contando a famosa história de Gauss.
Mas para o somatório dos quadrados, não me lembrava da fórmula de cor, embora me apareça regularmente em exercícios de indução. Sabia deduzi-la com equações com diferenças, coisa que eu tinha de evitar porque a explicanda desconhecia.
Mas ao olhar para o papel quadriculado, ocorreu-me a fórmula:
\[\sum\limits_{n = 1}^{100} {n^2}=100\times1+99\times 3+98\times 5 + ... + 1 \times (200-1) = \sum\limits_{n = 1}^{100} {(101-n)(2n-1)}\]
Consegue percebê-la sem eu partilhar um desenho?
E agora, com este desenho?
Se fizermos $S=\displaystyle\sum\limits_{n = 1}^{100} {n^2}$, a fórmula anterior consegue reescrever-se na forma
\[S=-2S+\sum\limits_{n = 1}^{100} {203n}-101\times 100 \]
Que nos leva a $3S=1015050$ (número curioso) e portanto $S=338350$.
Logo
\[\sum\limits_{n = 1}^{100} {u_n}=300+338350-5050=333600\]
Ao que ela respondeu-me: "Percebi, mas não deve ser para resolver assim."
PS: Quando se foi embora, escrevi um programa na calculadora que confirmou a minha solução...
Como curiosidade... determine também a equação reduzida dessa recta tangente.
$64+27=91$
Equação reduzida da recta:
\[ y=\frac{64}{27}x-\frac{1024}{729}\]
Proposta de resolução
(por Carlos Paulo A. Freitas)
A equação reduzida da recta tangente à parábola de equação $y=x^2$ no ponto de coordenadas $(a,a^2)$ é $$y=2ax-a^2$$
Uma equação da recta tangente ao gráfico da curva de equação $y=f(x)$ no ponto de coordenadas $(a,f(a))$ é $$y-f(a)=f'(a) (x-a)$$.
Considerando $f(x)=x^2$, temos $f'(a)=2a$ e então uma equação da recta tangente em $(a,a^2)$ é \[y-a^2=2a(x-a)\]
que é equivalente a
\[y=2ax-a^2\]
A equação reduzida da recta tangente à cúbica de equação $y=x^3$ no ponto de coordenadas $(b,b^3)$ é $$y=3b^2x-2b^3$$
Uma equação da recta tangente ao gráfico da curva de equação $y=f(x)$ no ponto de coordenadas $(b,f(b))$ é $$y-f(b)=f'(b) (x-b)$$.
Considerando $f(x)=x^3$, temos $f'(b)=3b^2$ e então uma equação da recta tangente em $(b,b^3)$ é \[y-b^3=3b^2(x-b)\]
que é equivalente a
\[y=3b^2x-2b^3\]
Para que estas duas rectas sejam a mesma temos de ter
\[
\left\{ {\begin{array}{l}
{2a = 3b^2 } \\
{a^2 = 2b^3 }
\end{array}} \right.
\]
Vamos procurar a solução não nula deste sistema, por outras palavras $a\neq0$ e $b\neq0$ pois isso dar-nos-ia a solução conhecida no enunciado (o eixo $Ox$).
\[
\left\{ {\begin{array}{l}
{2a = 3b^2 } \\
{\displaystyle\frac{a}{2} = \displaystyle\frac{2}{3}b}
\end{array}} \right.
\Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{l}
{2a = 3b^2 } \\
{a = \displaystyle\frac{4}{3}b}
\end{array}} \right.
\Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{l}
{\displaystyle\frac{8}{3}b = 3b^2 } \\
{a = \displaystyle\frac{4}{3}b}
\end{array}} \right.
\Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{l}
{0 = 9b^2 - 8b} \\
{a = \displaystyle\frac{4}{3}b}
\end{array}} \right.
\Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{l}
{0 = b\left( {9b - 8} \right)} \\
{a = \displaystyle\frac{4}{3}b}
\end{array}} \right.\mathop \Rightarrow \limits_{b \neq 0} \left\{ {\begin{array}{l}
{b = \displaystyle\frac{8}{9}} \\
{a = \displaystyle\frac{32}{27}}
\end{array}} \right.
\]
Portanto o declive da recta é $m=2a=\displaystyle\frac{64}{27}$ , logo a resposta ao problema original é $64+27=91$;
a ordenada na origem é $-a^2=-\displaystyle\frac{1024}{729}$
Ou seja, a equação reduzida da recta é
\[ y=\frac{64}{27}x-\frac{1024}{729}\]
Esta demonstração é inspirada na resolução de um "problema tipo" do exame de Matemática A realizado no dia 25/06/2018... em todo o território português
Considere-se o ponto $P$ de coordenadas $(x_P,y_P,z_P)$ e o plano de equação $ax+by+cz+d=0$. Vamos assumir que o ponto não pertence ao plano e que $(a,b,c)$ é um vector não nulo
A recta perpendicular ao plano que passa em $P$ tem como possível equação vectorial:
\[(x,y,z)=(x_P,y_P,z_P)+k(a,b,c); k \in \R\].
Assim, um ponto genérico desta recta tem por coordenadas $( x_P+ka,y_P+kb,z_P+kc)$
Logo, o ponto $I (x_I,y_I,z_I)$ de intersecção da recta com o plano verifica a condição:
\begin{eqnarray*}
{a(x_P+ka)+b(y_P+kb)+c(z_P+kc)+d}&{=}&{0}\\
{\Leftrightarrow ax_P+by_P+cz_P+k(a^2+b^2+c^2)+d}&{=}&{0}\\
{\Leftrightarrow k}&{=}&{-\frac{ax_P+by_P+cz_P+d}{a^2+b^2+c^2}}
\end{eqnarray*}
Portanto \[(x_I,y_I,z_I)=(x_P,y_P,z_P)-\frac{ax_P+by_P+cz_P+d}{a^2+b^2+c^2}(a,b,c)\]
ou, equivalentemente
\[\frac{ax_P+by_P+cz_P+d}{a^2+b^2+c^2}(a,b,c)=(x_P-x_I,y_P-y_I,z_P-z_I)\]
Assim sendo,$\overline{IP}$, a distância de $P$ ao plano verifica:
\[\left\|\frac{ax_P+by_P+cz_P+d}{a^2+b^2+c^2}(a,b,c)\right\|=\left\|(x_P-x_I,y_P-y_I,z_P-z_I)\right\|\]
\[\Leftrightarrow \frac{\left|ax_P+by_P+cz_P+d\right|}{a^2+b^2+c^2}\left\|(a,b,c)\right\|=\overline{IP}\]
\[\Leftrightarrow \overline{IP}=\frac{\left|ax_P+by_P+cz_P+d\right|}{a^2+b^2+c^2} \sqrt{a^2+b^2+c^2}=\frac{\left|ax_P+by_P+cz_P+d\right| }{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}\]
Então a distância do ponto de coordenadas $(x_P,y_P,z_P)$ ao plano de equação $ax+by+cz+d=0$ é dada por:
\[\text{dist}=\frac{\left|ax_P+by_P+cz_P+d\right| }{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}\]
Note-se que a fórmula mantém-se válida se o ponto $P$ pertencer ao plano.
AVISO: Esta fórmula não está no actual programa de Matemática A, logo não pode ser usada nos exames do ensino secundário!
(Post originalmente publicado no blog cpmathexplicações)
Deixo aqui uma minha proposta de resolução do referido exame.
Seja $z=a+bi$ com $a$ e $b$ reais tais que $b\neq 0$ e $a^2+b^2\neq 0$, e $i$ a unidade imaginária.
As raízes quadradas de $z$ são os números complexos $w=x+yi$ tais que $w^2=z$, ou seja:
\begin{eqnarray*}
{(x+yi)^2}&=&{a+bi}\\
{\Leftrightarrow x^2-y^2+2xyi}&{=}&{a+bi}
\end{eqnarray*}
Portanto
\[ x^2-y^2=a \wedge 2xy=b\]
Sendo $b\neq 0$ temos que nem $x$ nem $y$ são nulos, portanto temos $y=\displaystyle\frac{b}{2x}$ e então
\[x^2-y^2=a \Leftrightarrow x^2-\left(\frac{b}{2x}\right)^2=a\Leftrightarrow 4x^4-4ax^2-b^2=0\]
que é uma equação biquadrada e portanto:
\[x^2=\displaystyle\frac{4a\pm\sqrt{(4a)^2-4\times4\times(-b^2)}}{2\times4}=\displaystyle\frac{a\pm\sqrt{a^2+b^2}}{2}\]
Note-se que sendo $b\neq0$ a solução com um sinal $-$ não faz sentido e portanto:
\[x=\pm\sqrt{\displaystyle\frac{a+\sqrt{a^2+b^2}}{2}}\]
E então
\[y=\frac{b}{2x}=\frac{b}{\pm2\sqrt{\displaystyle\frac{a+\sqrt{a^2+b^2}}{2}}}=\pm\frac{b\sqrt{2}}{2\sqrt{a+\sqrt{a^2+b^2}}}\]
Ou seja, as raizes quadradas de $z=a+bi$ são complexos da forma
\[w=\pm\left(\sqrt{\displaystyle\frac{a+\sqrt{a^2+b^2}}{2}}+\frac{b\sqrt{2}}{2\sqrt{a+\sqrt{a^2+b^2}}}i\right)\]
se $b=0$ as raízes são da forma $w=\pm \sqrt{a} $.
Note-se que não podemos dizer que a fórmula se mantém válida se $b=0$ pois, se $a<0$ e $b=0$,
\[\ReP{w}=2\sqrt{a+\sqrt{a^2+b^2}}=0\]
\\
\[\ImP{w}=\pm\displaystyle\frac{b\sqrt{2}}{2\sqrt{a+\sqrt{a^2+b^2}}}=\frac{0}{0} \]
Exemplos de aplicação:
As raízes quadradas de -8+6i são
\[w=\pm\left(\sqrt{\displaystyle\frac{-8+\sqrt{8^2+6^2}}{2}}+\frac{6\sqrt{2}}{2\sqrt{-8+\sqrt{8^2+6^2}}}i\right)=\pm(1+3i)\]
As raízes quadradas de 3+4i são
\[w=\pm\left(\sqrt{\displaystyle\frac{3+\sqrt{3^2+4^2}}{2}}+\frac{4\sqrt{2}}{2\sqrt{3+\sqrt{3^2+4^2}}}i\right)=\pm(2+i)\]
As raízes quadradas de 1+i são
\[w=\pm\left(\sqrt{\displaystyle\frac{1+\sqrt{1^2+1^2}}{2}}+\frac{1\sqrt{2}}{2\sqrt{1+\sqrt{1^2+1^2}}}i\right)=\pm\left(\sqrt{\frac{1+\sqrt{2}}{2}}+\frac{\sqrt{2}}{2\sqrt{1+\sqrt{2}}}i\right)\]
Note-se que estes são os valores de $\sqrt[4]{2}e^{i\frac{\pi}{8}}$ e $\sqrt[4]{2}e^{i\frac{9\pi}{8}}$
Para ter valores de $\cos \frac{\pi}{12}$ e $\sen \frac{\pi}{12}$ basta ver qual a raiz quadrada de $e^{i\frac{\pi}{6}}$ que tem afixo no primeiro quadrante, ou seja, com partes real e imaginária positivas. Ora $e^{i\frac{\pi}{6}}=\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{2}i$, logo a raíz que nos interessa é:
\begin{eqnarray*}
{w}& = &{\sqrt {\frac{{\frac{{\sqrt 3 }}{2} + 1}}{2}} + \frac{{\frac{1}{2}\sqrt 2 }}{{2\sqrt {\frac{{\sqrt 3 }}{2} + 1} }}i }\\
{}&=&{ \sqrt {\frac{{\sqrt 3 + 2}}{4}} + \frac{2}{{4\sqrt {\sqrt 3 + 2} }}i }\\
{}&=&{\frac{{\sqrt {\sqrt 3 + 2} }}{2} + \frac{1}{{2\sqrt {\sqrt 3 + 2} }}i}\\
{}&=&{\frac{{\frac{{\sqrt 6 + \sqrt 2 }}{2}}}{2} + \frac{1}{{2\left( {\frac{{\sqrt 6 + \sqrt 2 }}{2}} \right)}}i}\\
{}&=&{\frac{{\sqrt 6 + \sqrt 2 }}{4} + \frac{{\sqrt 6 - \sqrt 2 }}{4}i}
\end{eqnarray*}
Que nos indica que
\[\cos \left(\frac{\pi}{12}\right)=\frac{\sqrt 6 + \sqrt 2 }{4}\]
\[
\sen\left(\frac{\pi}{12}\right)= \frac{\sqrt 6 - \sqrt 2 }{4}\]
Foi feito o seguinte cálculo auxiliar:
\[
\sqrt {\sqrt 3 + 2} = \sqrt {\sqrt 3 + \frac{3}{2} + \frac{1}{2}} = \sqrt {\sqrt 3 + \left( {\sqrt {\frac{3}{2}} } \right)^2 + \left( {\sqrt {\frac{1}{2}} } \right)^2 } = \sqrt {\left( {\sqrt {\frac{3}{2}} } \right)^2 + 2\sqrt {\frac{3}{2}} \sqrt {\frac{1}{2}} + \left( {\sqrt {\frac{1}{2}} } \right)^2 } =
\]
\[
= \sqrt {\left( {\sqrt {\frac{3}{2}} + \sqrt {\frac{1}{2}} } \right)^2 }
= \sqrt {\frac{3}{2}} + \sqrt {\frac{1}{2}}
= \sqrt {\frac{{3 \times 2}}{{2 \times 2}}} + \sqrt {\frac{{1 \times 2}}{{2 \times 2}}} = \frac{{\sqrt 6 + \sqrt 2 }}{2}
\]
Actualização (10/12/2019): Está prevista uma nova edição deste post para breve...
Eu vou começar pela secante trigonométrica.
Sabe-se que
\[\sec(x)=\frac{1}{\cos\left(x\right)}\]
como a função cosseno é par, então a função secante é par.
(Caro leitor, se isto não é óbvio, recomendo-lhe que vá ler outra coisa)
Notação: $f^{(N)}(a)$ designa a derivada de ordem $N$ de $f$ no ponto $a$.
Se $f$ é uma função par, então \[f^{(2n+1)}(0)=0,\text{ } \forall n\in\N_0\]
Como $f$ é par, então $f(x)=f(-x)$, logo $f'(x)=-f'(-x)$.
Tomando $x=0$ temos
\begin{eqnarray*}
{}&{}&{f'(0)=-f'(0)}\\
{\Leftrightarrow}&{}&{2f'(0)=0}\\
{\Leftrightarrow}&{}&{f'(0)=0}
\end{eqnarray*}
Para $n\in \N_0$, sendo $f$ par, procede-se da mesma forma.
Temos que:
\begin{eqnarray*}
f^{(2n+1)}(-x)&=&(-1)^{2n+1}f^{(2n+1)}(x)\\
{}&=&{-f^{(2n+1)}(x)}
\end{eqnarray*}
toma-se $x=0$ e mais uma vez:
\begin{eqnarray*}
{}&{}&{f^{(2n+1)}(0)=-f^{(2n+1)}(0)}\\
{\Leftrightarrow}&{}&{2f^{(2n+1)}(0)=0}\\
{\Leftrightarrow}&{}&{f^{(2n+1)}(0)=0}
\end{eqnarray*}
Os números de Euler são uma sucessão $(E_n)$ de números inteiros definida pela série de Maclaurin da secante hiperbólica:
\[ \sech x=\sum\limits_{n = 0}^\infty \frac{E_n}{n!}x^n \]
Então, tendo em conta o que foi feito até agora neste texto:
Pode-se proceder de forma análoga ao que se fez para a secante trigonométrica
Calculemos as primitivas da função secante hiperbólica, recorrendo à substituição \[t = \th \left(\displaystyle\frac{x}{2}\right)\].
Recorde-se que
\[
\ch x = \displaystyle\frac{{1 + t^2 }}{{1 - t^2 }}
\]
e
\[
\sh x = \displaystyle\frac{{2t}}{{1 - t^2 }}
\]
E portanto
\begin{eqnarray*}
\int {\sech x} dx & = & \int {\displaystyle\frac{1}{\ch x}} dx \\
& = & \int {\displaystyle\frac{1 - t^2 }{1 + t^2 } \times \displaystyle\frac{2}{1 - t^2 }}dt \\
& = & \int{\displaystyle\frac{2}{1 + t^2} } dt\\
& = & 2\arctg t + C_4\\
& = & 2\arctg \left[\th \left(\displaystyle\frac{x}{2}\right)\right] + C_4
\end{eqnarray*}
Resultado curioso...
Note-se que \[\left(\sech x\right)'=-\th x \sech x\] e \[\left(\th x\right)'=\sechq x\].
Portanto, multiplicar e dividir por $\th x + \sech x$ não nos conduz a algo como o simpático resultado que temos para a secante trigonométrica...
\begin{eqnarray*}
{\int \cosec x dx }&{=}&{\int \cosec x \times \frac{\cosec x +\cotg x }{\cosec x +\cotg x }dx}\\
{}&{=}&{\int \frac{\cosec^2 x +\cotg x \cosec x}{\cosec x +\cotg x }dx}\\
{}&{=}&{-\int \frac{-\cosec^2 x -\cotg x \cosec x}{\cosec x +\cotg x }dx}\\
{}&{=}&{- \ln \left| \cosec x +\cotg x \right| + C}
\end{eqnarray*}
Exercício: E qual é a primitiva da secante hiperbólica?
Resoluções aqui: http://zonaexacta.blogspot.com/2017/09/a-primitiva-da-secante-hiperbolica.htmlNota: Por abuso de linguagem costumamos dizer "a primitiva" de uma função. No entanto como existe uma primitiva para cada constante $C$, na verdade a designação correcta é "as primitivas" de uma função, ou, "a família de primitivas de...", e só por isso deixei o título no plural. Se calhar, até seria boa política escrever $C\in \R$ em cada linha. No entanto aprendi que o excesso de rigor não é didáctico, e torna as coisas visualmente "pesadas", por isso, no resto do blog, salvo um ou outro caso, manterei abusos de linguagem.
PS
Problema
Considere a sucessão $(a_n)$ de números reais definida por:
\[a_0 = 1\text{ e } a_{n + 1} = \frac{7a_n + \sqrt{45a_n^2 - 36}}{2}, n \in \N_0 \]
Mostre que $(a_n)$ é uma sucessão de números inteiros positivos e que $a_n\cdot a_{n + 1} - 1$ é, para cada $n \in \N_0$, um quadrado perfeito.
\[a_{n + 1} = \frac{7a_n + \sqrt{45a_n^2 - 36}}{2}>\frac{7a_n}{2}>a_n\]
logo \[a_{n + 2} >a_{n + 1}>a_{n}\] ou seja, $a_{n+2}-a_{n}>0$
\[\Leftrightarrow a_{n + 2} -7a_{n + 1}+ a_{n} = 0 \]
Façamos
\[b_n=a_{n + 1}\]
Então
\[
\left\{ {\begin{array}{l}
{a_{n + 1} = b_n } \\
{b_{n + 1} = 7b_n - a_n }
\end{array}} \right.
\]
Sabe-se que $a_0=1$; $b_0=a_1=5$ são inteiros positivos.
Então, por indução matemática consegue-se provar que o par $(a_n,b_n)$ é de inteiros positivos.
Considere-se a proposição:
O par $(a_n,b_n)$ é de inteiros positivos.
$a_n \leq b_n$
A proposição é verdadeira para $n=0$ como já se viu.
Vamos ver que a propriedade é hereditária:
Assumindo por hipótese que a propriedade é válida para $n$, a relação
\[
a_{n + 1} = b_n
\]
Mostra-nos imediatamente que $a_{n + 1}$ é inteiro positivo.
E a relação $b_{n + 1} = 7b_n - a_n$ diz-nos que $b_{n + 1}$ é inteiro.
Por outro lado $a_n\leq b_n \Leftrightarrow -a_n\geq -b_n$, logo
\[b_{n + 1} = 7b_n - a_n\geq 7b_n - b_n =6b_n\]
Ficando com isto provado que $b_{n + 1}$ é positivo.
Fica assim provada a proposição, e com isto a primeira parte do problema.
Para a segunda parte...
Acima vimos que
\[
a_{n + 1} ^2 + a_n ^2 + 9 = 7a_n a_{n + 1}
\]
isto é equivalente a
\[
\begin{array}{l}
a_{n + 1} ^2 + a_n ^2 = 7a_n a_{n + 1} - 9 \\
\Leftrightarrow a_{n + 1} ^2 + 2a_n a_{n + 1} + a_n ^2 = 9a_n a_{n + 1} - 9 \\
\Leftrightarrow \left( {\displaystyle\frac{{a_{n + 1} + a_n }}{3}} \right)^2 = a_n a_{n + 1} - 1
\end{array}
\]
Assim, para provar que \[ a_n a_{n + 1} - 1 \] é um quadrado perfeito, basta provar que ${a_{n + 1} + a_n }$ é múltiplo de 3.
Isso faz-se mais uma vez por indução em $n$
Para $n=0$ temos $a_1+a_0=5+1=6$ que é múltiplo de $3$
Partindo da hipótese que ${a_{n + 1} + a_n }$ é múltiplo de $3$ temos que
\[{a_{n + 2} + a_{n + 1} }=7a_{n + 1}-a_n+a_{n + 1}=9a_{n + 1}-(a_{n + 1}+a_n)\]
Que é múltiplo de $3$, pois $9a_{n + 1}$ é múltiplo de $3$ e $a_{n + 1}+a_n$ é múltiplo de $3$ por hipótese.
Assim, ficou provado que ${a_{n + 1} + a_n }$ é múltiplo de $3$, para todo o $n\in \N_0$, logo que $a_n a_{n + 1} - 1$ é quadrado perfeito, ficando com isto concluída a resolução do problema.
Nota do autor
Consegue-se reescrever a resolução da primeira parte para não ser necessário a sucessão auxiliar $b_n$.
Comparando ambas as resoluções conclui-se que
\[F_{4n+4}+F_{4n}=3F_{4n+2}\]
Mas isto na verdade, não é nada de especial:
\[F_{N+4}=F_{N+3}+F_{N+2}=F_{N+2}+F_{N+1}+F_{N+2}=F_{N+2}+F_{N+2}-F_{N}+F_{N+2}=3F_{N+2}-F_{N}\]
E portanto
\[F_{N+4}+F_{N}=3F_{N+2}\text{ }\forall N \in \N_0\]
em particular é válido para $N=4n$, sendo $n$ um número arbitrário em $\N_0$.
(O resultado é independente da versão da sucessão de Fibonacci $(F_n)$ utilizada).
A sucessão de Fibonacci é definida pela fórmula de recorrência \[ F_{n+2}=F_{n+1}+F_n \]
e por duas condições iniciais, que, cuidado, nem sempre são as mesmas.
A expressão geral para a recorrência é
\[ F_{n}=C_1\left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)^n+C_2\left(\frac{1-\sqrt{5}}{2}\right)^n\]
\[F_{n+2}-F_{n+1}-F_n=0\]
A equação característica associada é
\[r^2-r-1=0\]
Que tem como zeros
\[r=\frac{1\pm\sqrt{5}}{2}\]
Os valores de $C_1$ e $C_2$ dependem dos valores das condições iniciais.
Note-se que $\displaystyle\frac{1+\sqrt{5}}{2}=\Phi$ é o número de ouro, que também nos permite escrever a fórmula de outras formas
Por vezes até generalizam-se os números de Fibonacci a argumentos negativos, recorrendo a estas fórmulas ou à fórmula de recorrência.
Existindo várias fórmulas associadas a números de Fibonacci, é sempre conveniente saber a que versão da sucessão essas fórmulas estão associadas, por forma a evitar erros nos resultados.
Nota
Esta página poderá ser actualizada no futuro.
