Produto externo (produto vectorial/cross product) como produto matricial

 O produto vectorial, ou como eu prefiro chamar, produto externo, é um produto entre dois vectores cujo resultado é um terceiro, ortogonal aos dois iniciais. No espaço euclidiano $\R^3$ define-se assim:

\[\left( {a,b,c} \right) \times \left( {d,e,f} \right)= \left( {bf - ce,cd - af,ae - bd} \right)\]

Esta definição não é muito simpática, por isso, costuma-se ensinar uma mnemónica que recorre a um simbolo de determinante.

Este produto tem algumas propriedades interessantes.Se ${\vec u}$ , ${\vec v}$ e ${\vec w}$ forem vectores do espaço, e $\alpha$, $\beta$ números reais então: ${\vec u} \times ( \alpha {\vec v}+\beta{\vec w})=\alpha \vec u \times \vec v + \beta \vec u \times \vec w $ Isso significa que a função "multiplicar por um vector" utilizando o produto externo, é uma "aplicação linear". Traduzindo para português, dá para escrever como produto por uma matriz.
Vou deixar aqui duas formas de como o fazer. A prova, visto que é simples, deixo como exercício.
(Assim evito resolver um exercício de álgebra linear a algum aluno mais preguiçoso)
Se os vectores forem vistos como matrizes coluna, então \[ \left( {a,b,c} \right) \times \left( {d,e,f} \right) = \left[ {\begin{array}{*c} 0 & { - c} & b \\ c & 0 & { - a} \\ { - b} & a & 0 \end{array}} \right]\left[ {\begin{array}{*{20}c} d \\ e \\ f \end{array}} \right] \] Ou, se forem vistos como matrizes linha \[ \left( {a,b,c} \right) \times \left( {d,e,f} \right) = \left[ {\begin{array}{c} a & b & c \\ \end{array}} \right]\left[ {\begin{array}{c} 0 & { - f} & e \\ f & 0 & { - d} \\ { - e} & d & 0 \end{array}} \right] \] Estas duas últimas igualdades também mostram que o produto externo por um vector fixo é uma aplicação linear antisimétrica.
Qual é a utilidade disto?
Suponham (por exemplo, informaticamente)  que o ambiente no qual estão a trabalhar não tem o produto externo, e precisam mesmo dele... (já me aconteceu).

Um raio

Em https://cpaulof2.blogspot.com/2014/03/da-equacao-da-bissectriz-as-coordenadas.html eu partilhei uma fórmula para deduzir as coordenadas do incentro de um triângulo.
No momento em que escrevo estas linhas, estou acamado, no hospital Nélio Mendonça com movimentos mínimos (tenho uma vértebra partida).
Nem consigo levantar-me ou sentar-me... :'(
Deparei-me com este problema, que obviamente, não é para resolver com aquilo, mas dadas as minhas limitações, espero que fechem os olhos e aceitem a minha solução, que em vez de dar valores aproximados vai dar a solução exacta, se estiver correcta.

Com os dados apresentados, se a origem do referêncial for o ponto de tangência da circunferência com o lado [AC] temos:

$A=(-4,0)$, $B=\left(0, 4 \tan 30^o\right)=\left(0, \frc{4\sqrt{3}}{3}\right)$ e  $C=(4,0)$

O perímetro é $p=8+2\times\frc{4}{\cos 30^o}=8+2\times\frc{8}{\sqrt{3}}$

E o raio da circunferência não é mais do que a ordenada do incentro:

\[r=\frc{ay_A+by_B+cy_C}{p}=\frc{8\times\frc{4\sqrt{3}}{3} }{8+\frc{16}{\sqrt{3}}}=8-4\sqrt{3}\]

Indo à calculadora

Portanto, $1.07$
Sem nada disto, pensando como alguém que acabou de aprender trigonometria, e tem apenas uma calculadora científica, ou uma tabela(!), como se faz?
[Resposta em Novembro, aqui, neste post, para terem tempo de pensar no assunto ]

Fórmulas de Viéte

 

Recentemente encontrei estas fórmulas na página "Math.magazine" no facebook.
A demostração é simples se recorrermos à identidade de Euler, fórmula de De Moivre e Binómio de Newton: \[ \cos (nx) + i\sin (nx) = e^{nxi} = \left( {\cos x + i\sin x} \right)^n = \sum\limits_{k = 0}^n {\left( {\begin{array}{c} n \\ k \end{array}} \right)} \left( {\cos x} \right)^k \left( {\sin x} \right)^{n - k} i^{n - k} \] Como \[ i = e^{i\frac{\pi }{2}} \] Então \begin{eqnarray*} { \sum\limits_{k = 0}^n {\left( {\begin{array}{c} n \\ k \end{array}} \right)} \left( {\cos x} \right)^k \left( {\sin x} \right)^{n - k} i^{n - k}}&{=}&{\sum\limits_{k = 0}^n {\left( {\begin{array}{c} n \\ k \end{array}} \right)} \left( {\cos x} \right)^k \left( {\sin x} \right)^{n - k} \left( {e^{i\frac{\pi }{2}} } \right)^{n - k} }\\ {}&{=}&{\sum\limits_{k = 0}^n {\left( {\begin{array}{c} n \\ k \end{array}} \right)} \left( {\cos x} \right)^k \left( {\sin x} \right)^{n - k} \left( {e^{i\frac{{(n - k)\pi }}{2}} } \right) }\\ {}&{=}&{ \sum\limits_{k = 0}^n {\left( {\begin{array}{c} n \\ k \end{array}} \right)} \left( {\cos x} \right)^k \left( {\sin x} \right)^{n - k} \left( {\cos \frac{{(n - k)\pi }}{2} + i\sin \frac{{(n - k)\pi }}{2}} \right)} \\ {}&{=}&{\sum\limits_{k = 0}^n {\left( {\begin{array}{c} n \\ k \\ \end{array}} \right)} \left( {\cos x} \right)^k \left( {\sin x} \right)^{n - k} \cos \frac{{(n - k)\pi }}{2}+i\sum\limits_{k = 0}^n {\left( {\begin{array}{c} n \\ k \end{array}} \right)} \left( {\cos x} \right)^k \left( {\sin x} \right)^{n - k} \sin \frac{{(n - k)\pi }}{2}} \end{eqnarray*} Assim sendo, tomando as partes reais e imaginárias de cada membro da igualdade, temos \[\cos (nx)=\sum\limits_{k = 0}^n {\left( {\begin{array}{c} n \\ k \end{array}} \right)} \left( {\cos x} \right)^k \left( {\sin x} \right)^{n - k} \cos \frac{{(n - k)\pi }}{2}\] \[\sin (nx)=\sum\limits_{k = 0}^n {\left( {\begin{array}{c} n \\ k \end{array}} \right)} \left( {\cos x} \right)^k \left( {\sin x} \right)^{n - k} \sin \frac{{(n - k)\pi }}{2}\]

---

PS: Deixei um documento na secção de material com estas fórmulas, e os desenvolvimentos de $n=2$ até $n=10$, gerados com o Mathematica 14.

Uma fórmula para as coordenadas do foco de uma parábola

 A foto é de um caderno meu de 1994. Um caderno de programas de calculadora. 
O leitor não imagina a quantidade absurda de disparates que já ouvi sobre os meus programas. Como pode confirmar, ali não há informática¹ . Apenas fórmulas... matemáticas. 
Aquilo para mim era tão óbvio que nem escrevi as deduções (risos).

Escrevo este post porque algumas pessoas que começam a aprender a programar calculadoras (actualmente em python), de vez em quando pedem-me sugestões e eu costumo pedir as coordenadas do foco da parábola de equação $$y=ax^2+bx+c, \text{ }a\neq 0$$
Toda a gente dá-me as coordenadas do vértice, e não do foco.

Ó pessoal. Eu sou matemático! Eu sei o que pedi! Eu pedi O FOCO!

No meu tempo, as cónicas faziam parte do programa do ensino secundário, e ainda reapareciam no ensino superior.

Há várias formas fáceis de deduzir a fórmula do vértice. Deixo isso como exercício para o leitor interessado que ainda desconheça a fórmula.
Hoje só vamos deduzir a fórmula do foco, e já agora, uma fórmula para a directriz da parábola.
O que é uma directriz?
Vamos começar por rever a definição de parábola.

Considere-se uma recta $\mathcal{d}$ e um ponto $F$ exterior à recta.

Ao conjunto dos pontos $P$ do plano que são equidistantes do ponto $F$ e da recta $\mathcal{d}$ chamamos parábola.

O ponto $F$ chama-se foco e a recta $\mathcal{d}$ chama-se directriz.

A dedução que apresento aqui, é mais sofisticada do que a que fiz na altura.
Vamos considerar $\mathcal{d}$ uma recta horizontal, com equação $y=y_d$ onde $y_d\in\R$, e $F$ o ponto de coordenadas $(x_F,y_F)$. $x_F$ e $y_F$ também são números reais, mas como pela definição não podemos ter $y_F=y_d$ vamos começar por considerar $y_F>y_d$.
De acordo com a definição, se $P(x,y)$ é um ponto da parábola então $$ d(P,F)=d(P,d)$$ Ou seja, \[\sqrt{(x-x_F)^2+(y-y_F)^2}=|y-y_d|\] Elevando ambos os termos da equação ao quadrado temos \[{(x-x_F)^2+(y-y_F)^2}=\left(y-y_d\right)^2\] que é equivalente a \[{(x-x_F)^2=\left(y-y_d\right)^2-(y-y_F)^2}\] e por sua vez, a \[{(x-x_F)^2=\left(y-y_d-y+y_F\right)\left(y-y_d+y-y_F\right)}\] e a \[{(x-x_F)^2=\left(y_F-y_d\right)\left(2y-y_d-y_F\right)}\] logo \[y=\frac{1}{2\left(y_F-y_d\right)}(x-x_F)^2+\frac{y_F+y_d}{2}\] ou, na versão que me vai dar mais jeito \[y=\frac{1}{2\left(y_F-y_d\right)}x^2-\frac{x_F}{\left(y_F-y_d\right)}x+\frac{x_F^2}{2\left(y_F-y_d\right)}+\frac{y_F+y_d}{2}\] Portanto, temos uma equação do tipo $y=ax^2+bx+c$ com \[ \left\{ {\begin{array}{*{20}l} {a = \frc{1}{{2\left( {y_F - y_d } \right)}}} \\ {b = - \frc{{x_F }}{{y_F - y_d }}} \\ {c = \frc{{x_F ^2 }}{{2\left( {y_F - y_d } \right)}} + \frc{{y_F + y_d }}{2}} \end{array}} \right. \] Agora é só resolver o sistema em ordem a $x_F,y_F$ e $y_d$. Como isto são só contas, vou colar aqui os meus cálculos, sem os explicar.
\[ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}l} {a = \frc{1}{{2\left( {y_F - y_d } \right)}}} \\ { - \frc{b}{{2a}} = x_F } \\ {c = \frc{{b^2}}{{4a}} + \frc{{y_F + y_d }}{2}} \end{array}} \right. \] \[ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}l} {y_F - y_d = \frc{1}{{2a}}} \\ {x_F = - \frc{b}{{2a}}} \\ {y_F + y_d = 2c - \frc{{b^2}}{{2a}}} \end{array}} \right. \] \[ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}l} {2y_d = 2c - \frc{{b^2}}{{2a}} - \frc{1}{{2a}}} \\ {x_F = - \frc{b}{{2a}}} \\ {2y_F = \frc{1}{{2a}} + 2c - \frc{{b^2}}{{2a}}} \end{array}} \right. \] \[ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}l} {y_d = \frc{{4ac - b^2 - 1}}{{4a}}} \\ {x_F = - \frc{b}{{2a}}} \\ {y_F = \frc{{1 + 4ac - b^2}}{{4a}}} \end{array}} \right. \] e fazendo \[\Delta=b^2-4ac\] temos \[ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}l} {y_d = - \frc{{1+\Delta}}{{4a}}} \\ {x_F = - \frc{b}{{2a}}} \\ {y_F = \frc{{1 - \Delta }}{{4a}}} \end{array}} \right. \] As fórmulas continuam válidas se $y_d>y_F$ (pode verificar como exercício)
Portanto, as coordenadas do foco são $$\left(-\frac{b}{2a},\frac{{1 - \Delta }}{{4a}}\right)$$ e uma equação da directriz é \[y = - \frac{{1 + \Delta}}{{4a}}\] Para a próxima que eu vos pedir um foco, é mesmo o foco! Está aqui a fórmula.

---

Como eu disse, há cerca de 30 anos, eu deduzi isto de uma forma (bem mais) simples, e correcta.
Alguém quer tentar chegar a essa dedução?

---

PS:

• Para ser mais preciso, o título devia ser 'uma fórmula para as coordenadas cartesianas do foco de uma parábola com uma equação do tipo $y=ax^2+bx+c$', mas permitam-me o abuso de linguagem
• Falta ali mais uma justificação no princípio do texto, que fica a cargo do leitor.
• Na foto do meu caderno, falta o ponto B. Isto porque um dia, há muitos muitos anos, o caderno, dentro da minha mochila, apanhou uma valente chuvada... alumas coisas ficaram borradas ou desapareceram. A cor verde parece ter sido a que mais sofreu.
  
• Por motivos a que sou alheio, alguns quadrados desapareceram das fórmulas durante a dedução (eu fiz a dedução directamente no LaTeX que escrevi aqui, e confirmei antes de postar, por isso não sei o que se passou). Já corrigi, mas é possível que ainda falte algum...
• Recentemente, alguém de Matemática perguntou-me o que é um foco. O que é que andam a ensinar nos cursos actuais?
• Texto escrito num Raspberry pi 4.

---

¹ Nunca subestimem o poder da ignorância.

Desenhos numa calculadora

Um dos meus (muitos) passatempos é o desenho.

Estive a converter um esboço meu da Kara In-Ze (supergirl/DCAU) numa versão digital.
 Podem visitar a minha galeria DeviantArt clicando na imagem.

Em 1994, quando me ofereceram a minha primeira calculadora gráfica (Casio fx-6300G), explorei como poderia fazer desenhos na calculadora. Assim que aprendi a programar a calculadora numa versão muito elementar do Casio-BASIC (lendo o manual), foi um dos meus primeiros programas.

Em 1996, comprei uma Casio cfx-9800G. Esta calculadora tinha um ecrã maior e tinha matrizes. Matrizes permitiram-me rever os conceitos por detrás do meu programa de desenho.

Em 1997 comprei uma casio cfx-9950G. E nesta criei o meu terceiro programa de desenho.
(A versão final é de 1999, e ainda corre nas calculadoras actuais)

Qual é a Matemática por detrás disto?

O ecrã utilizável tem resolução 127 × 63 pixels. ( $x$ × $y$, não batam, é assim que está no manual da calculadora)

Assim, comecei por definir a janela $[1,127]×[1,63]$ 

A forma mais simples de desenhar é com traços. Matematicamente, um traço pode ser visto como um segmento de recta.  Um segmento de recta era desenhado com o comando "Line", portanto, era possivel.

Então pensei numa forma de, recolhendo as coordenadas do ponto inicial $(x_i,y_i)$ e do ponto final $(x_f,y_f)$, codificá-las num único número através da fórmula:

\[s=100x_i+y_i+\frac{x_f}{1000}+\frac{y_f}{100000}\]

Por exemplo o segmento que une os pontos de coordenadas $(123,45)$ e $(10,60)$ é convertido no número $12345.01060$.

Com isto converti um desenho "sequência de traços" numa lista de números.

O programa da calculadora guarda as listas em colunas de uma matriz (a matriz L da calculadora).

Naturalmente, é fácil reverter o processo... a calculadora, além das operações básicas tem as funções "parte inteira" e "parte fraccionária".

Eu acabei por usar algumas das ideias por detrás deste programa para outras calculadoras.  (Nomeadamente a Ti84plus)

---

PS:

1. Inicialmente este post ia ser um vídeo "Aqui há Matemática". Os vídeos ficam para uma próxima oportunidade.
2. Dedico este post a todos os meus ex-explicandos e ex-alunos dos últimos 28 anos.
   (A dedicatória, eve-se ao facto de eu ter cessado funções)
3. Dedico este post também à MathGurl (duvido que ela vá ver isto, é só uma forma de eu vos mandar para o canal dela) .
4. 
   
   
   
   
5. Eu mudei o desenho no dia 23 de Agosto de 2024. O original, está aqui.