Projecteis, alcance e... CPmíssil

Há perguntas cuja resposta pode ser simples ou complicada, dependendo de como foi feita e das definições que a pessoa tem.

Em 1994/95, no último ano do meu secundário, aprendi o movimento de projecteis.
E com ele, escrevi um dos meus primeiros jogos de calculadora, o CPMíssil.

A imagem é umuma captura de ecrã do CPmíssíl 3.0 de Novembro de 1999 para calculadoras Casio cfx-9950G, mas as versões 1.0 e 2.0 foram escritas para uma máquina com apenas 400 bytes de memória, a Casio fx-6300G... em 1994.
Aquela "vel vento" foi uma variável aleatória que juntei na versão 3

[ CPmissil não foi o meu primeiro jogo, há muitas formas extracurriculares de expor e reter assuntos: não hostilizem a tecnologia... ]

Era uma espécie de "Angry birds" com tanques.
A ideia para o jogo ocorreu-me enquanto estava a estudar, como forma de testar os meus conhecimentos, melhor do que andar meramente a resolver exercícios.
Funcionar, funcionou!
Acabei o secundário com 20 a Física, e hoje em dia ainda domino vários assuntos da àrea...

Não vou disponibilizar o jogo -ainda corre nas calculadoras actuais- embora, vários ex-alunos meus tenham ficado com uma cópia, oferta minha.

Lembrei-me disto porque recentemente vi o código das versões 1.0 e 2.0, e ainda vi uma pergunta num grupo do facebook :

Num lançamento obliquo, se fixarmos uma velocidade, qual o ângulo que permite obter um alcance máximo?

O "alcance" é definido como sendo a distância, na horizontal, percorrida pelo projéctil.
(Na imagem, a linha verde é o chão... se o chão fosse horizontal, o alcance seria a distância entre os dois tanques)

Se não houver vento, nem resistência do ar (e...), a resposta correcta é 45 graus. Porquê?

A equação do movimento do projéctil (o míssil do meu jogo) é $$\left\{ {\begin{array}{l} {x = x_0 + \left( {v_0 \cos \theta _0 } \right)t} \\ {y = y_0 + \left( {v_0 \sen \theta _0 } \right)t - \frc{1}{2}gt^2 } \end{array}} \right.$$ onde $(x_0,y_0)$ são as coordenadas do local de lançamento (o meu tanque da esquerda), $v_0$ é o módulo da velocidade de lançamento (ou velocidade inicial), e $\theta_0$ é o tal ângulo (deixei um indice zero porque é o ângulo inicial que o vector velocidade faz com a direcção do semi-eixo positivo das abcissas), $g$ é o módulo da aceleração da gravidade e $t$ é o tempo desde o momento de lançamento, e naturalmente está no intervalo $[0, t_{\text{max}}]$ onde $t_{\text{max}}$, chamado "tempo de voo", é o instante quando o projéctil atinge a mesma altura que tinha quando foi lançado.
Para facilitar os cálculos, e sem perder qualquer generalidade vou considerar que o ponto de lançamento (onde está o primeiro tanque) é a origem das coordenadas, ou seja, é o ponto $(0,0)$.
Assim ficamos com $$\left\{ {\begin{array}{l} {x = \left( {v_0 \cos \theta _0 } \right)t} \\ {y = \left( {v_0 \sen \theta _0 } \right)t - \frc{1}{2}gt^2 } \end{array}} \right.$$ no ponto onde o projectil atinge o solo ( ou o outro tanque, se lá estiver ) temos $$(x,y)=(x_{\text{max}},0)$$ aquele $x_{\text{max}}$ é justamente o tal alcance. Então $$\left\{ {\begin{array}{l} {x_{\text{max}} = \left( {v_0 \cos \theta _0 } \right)t_{\text{max}}} \\ {0 = \left( {v_0 \sen \theta _0 } \right)t_{\text{max}} - \frc{1}{2}gt_{\text{max}}^2 } \end{array}} \right.$$ Como $t_{\text{max}}>0$ então $$\left\{ {\begin{array}{l} {x_{\text{max}} = \frc{{2v_0^2 \cos \theta _0 \sen \theta _0} }{g}= \frc{{v_0^2 \sen \left(2\theta _0\right)} }{g}} \\ {t_{\text{max}} = \frc{2v_0 \sen \theta _0 }{g}} \end{array}} \right.$$ $x_{\text{max}}$ é máximo quando $\sen \left(2\theta _0\right)=1$ como, dadas as limitações geométricas do problema, $\theta_0$ tem de estar entre $0^0$ e $90^0$ então $2\theta_0=90^0$ logo $\theta_0=45^0$.
O olho mais atento notará que a equação do movimento de um projectil, "pode descrever" uma parábola (aquela mesma parábola do texto das cónicas). É "pode descever" porque se $\theta_0$ for $90^0$, aquilo parametriza outra coisa. Nem é preciso fazer contas para dizer o quê...
Claro que do ponto de vista físico podem se fazer outras deduções, que para alguém de Matemática não passam de curiosidades, como por exemplo, a altura máxima, o tempo de subida, a equação da trajectória... etc. São apenas contas. E simples.

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Sobre o jogo... no máximo gravo um vídeo e ponho no youtube.
Quem tiver curiosidade que escreva um.
Eu ainda consigo escrevê-lo e pô-lo a correr... no Geogebra!

O raio da circunferência circunscrita ao triângulo

"O que se aprende na juventude dura a vida inteira."(Francisco de Quevedo)

Este problema também veio do facebook, da página "Mathematics is poetry".
Tem uma resolução bastante simples, dependendo da matemática que se sabe, e várias outras mais trabalhosas.

Esta ocorreu-me porque eu conheço

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Num triângulo de lados $a$,$b$ e $c$ a área é dada por $$A_{\Delta}=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$$ onde $s$ é o semiperímetro $$s=\frc{a+b+c}{2}$$

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A demonstração desta fórmula não é complicada. Encontra-se online, mas deixo como exercício ao leitor interessado (eu sei que não é complicada porque eu próprio a fiz quando tinha 16 anos).

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Num triângulo de lados $a$,$b$ e $c$, se chamarmos $A$ ao lado oposto a $a$, $B$ ao lado oposto a $b$ e $C$ ao lado oposto a $c$.
A área é dada por qualquer uma das fórmulas:
$$\text{Área}=A_{\Delta}=\frc{1}{2}ab\sen{C}=\frc{1}{2}ac\sen{B}=\frc{1}{2}bc\sen{A}$$ Onde se comete o "abuso de linguagem" de confundir o vértice com o ângulo interno correspondente a esse vértice.

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A demonstração desta fórmula também não é complicada. É mais simples que a da fórmula de Herão, e também deixo como exercício.

e

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Num triângulo de lados $a$,$b$ e $c$, se chamarmos $A$ ao lado oposto a $a$, $B$ ao lado oposto a $b$ e $C$ ao lado oposto a $c$.
Temos $$\frc{\sen{A}}{a}=\frc{\sen{B}}{b}=\frc{\sen{C}}{c}$$ Eu aprendi isto no secundário, com outra demonstração. Mas poucos anos mais tarde (1996?) numa conversa com o professor Egídio Pereira, ele sugeriu esta demonstração, que, "recentemente" reencontrei em alguns livros do secundário, como exercício, no tempo das "Metas curriculares". Deixar algumas coisas como exercício em vez de mandar consultar livros é bem mais didáctico!
Sabem, odeio a expressão "conheço a demonstração", embora desta vez, conhecer esta demonstração tenha me permitido resolver este desta forma.

Seja $r$ o raio da circunferência circunscrita ao triângulo.
Se construirmos o ponto $A'$ como sendo a intersecção da recta que passa por $B$ e pelo centro da circunferência com a circunferência com a circunferência, o angulo interno $A'$ mede o mesmo que o ângulo interno $A$. Isto acontece porque são ângulos inscritos na mesma circunferência, correspondentes ao mesmo arco. O triângulo $[A'BC]$ é rectângulo. E então $$\sen{A}=\sen{A'}=\frc{a}{2r}$$ logo, $$2r=\frc{a}{\sen{A}}$$ Eu posso fazer "o mesmo" em qualquer um dos outros vértices. Daqui tiramos: $$2r=\frc{a}{\sen{A}}=\frc{b}{\sen{B}}=\frc{c}{\sen{C}}$$ de onde sai o resultado.

Se $r$ for o raio daquela circunferência, $a,b,c$ os lados do triângulo e $A,B,C$ os vértices opostos aos lados correspondentemente, temos que $$2r=\frc{c}{\sen C}$$ (utilizando o abuso de linguagem de identificar a medida do ângulo interno como o vértice correspondente) e que a área do triângulo é $A_{\Delta}=\frc{1}{2}ab\sen C$ logo $$r=\frc{c}{2\sen C}=\frc{c}{\frc{2\times2A_{\Delta}}{ab}}=\frc{abc}{4A_{\Delta}}$$ Assim sendo $$s = \frac{{9 + 10 + 11}}{2} = \frac{{10 + 20}}{2} = 5 + 10 = 15$$ e então $$r = \frac{{9 \times 10 \times 11}}{{4\sqrt {15\left( {15 - 9} \right)\left( {15 - 10} \right)\left( {15 - 11} \right)} }} =\frac{{9 \times 10 \times 11}}{{4\sqrt {15 \times 6 \times 5 \times 4} }} =$$ $$= \frac{{9 \times 5 \times 11}}{{2\sqrt {3 \times 5 \times 2 \times 3 \times 5 \times 2^2 } }} = \frac{{9 \times 5 \times 11}}{{2\sqrt {3^2 \times 5^2 \times 2 \times 2^2 } }} = \frac{{9 \times 5 \times 11}}{{2 \times 5 \times 3 \times 2\sqrt 2 }} = \frac{{33}}{{4\sqrt 2 }} = \frac{{33\sqrt 2 }}{8}$$

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Esta resolução, também vai com dedicatórias. Á professora Celina Andrade que me aturou no secundário, e me ensinou a lei dos senos, ao professor Orlando Freitas que no 9º ano me ensinou as relações entre arcos e ângulos numa circunferência e ao professor Egídio Pereira que me deu a conhecer aquela demonstração da lei dos senos.

Cónicas - Parte 1 : Três versões diferentes

Os próximos textos sobre cónicas vão ter dedicatórias.
Vou dedicar este post a duas pessoas. Ao meu pai (ontem foi dia do pai), e à professora Celina Andrade que em 1994/95 me apresentou as cónicas no ensino secundário.

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Como consequência do texto $P$ o primo do $\pi$ decidi escrever uma sequência de alguns posts dedicados a cónicas.

Neste primeiro texto vou apenas definir cónicas, de três formas diferentes.
Nesta sequência de textos não vou demonstrar algumas afirmações, não porque seja difícil, mas porque já tive nas mãos fichas de exercícios de algumas faculdades que propõem essas demonstrações como exercícios.
Não estou interessado que que este blog seja uma fonte de copianço, por isso, neste post, tudo o que eu não provar, deixo como exercício para o leitor interessado.
Curiosamentte, eu aprendi e foram-me feitas as demonstrações de muitas destas coisas em aulas quando eu estava no secundário.
Se calhar ainda escrevo as provas em $\LaTeX$ e guardo algures.

No final de cada texto haverá uma lista de exercícios, com soluções mas sem resoluções (pelo menos inicialmente). A ideia é resolvê-los recorrendo apenas ao conteúdo do texto.

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Em 1994, na Escola Secundária Francisco Franco, o grupo de estágio de professores de Matemática costumava propor problemas, e premiar as resoluções. Eu era aluno do 11º ano. Resolvi um problema, julgo que sobre transporte de soldados. Ganhei o prémio: a minha primeira calculadora gráfica programável. Uma Casio fx-6300G. Aprendi imenso com essa calculadora e com o manual. Por exemplo, foi lá que vi pela primeira vez o conceito de integral definido, e foi graças a essa calculadora que aprendi a integrar. Atenção: a calculadora não tem computação algébrica, nem sequer integrais, mas no capítulo onde ensina a programar tem como exemplo a regra de Simpson, e quem escreveu aquele manual fez um bom trabalho.
Em 1994, eu nem tinha computador.
Como eu disse, aprendi imenso com essa calculadora e com o manual. Escrevi alguns dos meus primeiros programas (e até jogos), que se revelaram ferramentas bem úteis na compreensão de alguns conceitos nomeadamente em Física e Matemática.
Sem a calculadora também chegaria lá, só levaria mais tempo (só por curiosidade... tanto antes como depois de ter calculadora, até ao fim do secundário sempre tive a nota máxima a Matemática)
Aquela calculadora tinha apenas 400 bytes de memória. Portanto o código era escrito de forma optimizada e sem comentários.
Um dos meus primeiros programas foi de cónicas.
Não pensem que fazia algo 'óbvio' que até já vem nas calculadoras actuais.
O que esse programa fazia (e se calhar, como fazia), será assunto de um texto futuro e de mais um documento para a secção de material deste blog.
Como sempre, é apenas Matemática.

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Versão 1: Secções de uma superfície cónica.

Com um título destes se calhar eu devia definir rigorosamente o que é uma superfície cónica, mas não o vou fazer.

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Como eu já disse algumas vezes, o excesso de rigor, não é didáctico, e acabamos a criar "monstros abstractos", que conseguem por pessoas a disparatar sem ter noção que estão a disparatar.
Assim sendo gerei e partilho uma animação feita com o auxílio do geogebra.
(Foi gerada a partir de equações paramétricas que deduzi "em cima do joelho", e isso não se faz sem saber definir as coisas rigorosamente...)

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A partir desta animação, quem estiver mesmo interessado consegue escrever uma definição rigorosa de superfície cónica.
Ou seja, é uma coisa destas:

Quem se atrever a utilizar um desenho/imagem como "definição rigorosa", está convidado a deixar de ler este texto e a não voltar...

Uma parábola é a curva que se obtém quando se intersecta um plano estritamente paralelo a uma geratriz (qualquer recta inscrita na superfície cónica) com a superfície cónica.

Uma elipse é a curva que se obtém quando se intersecta um plano não paralelo a uma geratriz (qualquer recta inscrita na superfície cónica) com apenas uma das folhas da superfície cónica.

(Assim, nesta definição, uma circunferência é um caso particular de uma elipse)

Se o plano intercectar as duas folhas (e não o fizer numa recta) obtemos uma hipérbole.

(As imagens de fundo cinzento vieram da Wikipedia, mas são facilmente geravei no Geogebra, no Wolfram Mathematica, etc...)

Versão 2: Propriedades focais.

Elipse

Elipse é o conjunto dos pontos de um plano tais que é constante a soma das suas distancias a dois pontos fixos, desse plano, chamados focos.

Na animação $\overline{PF_1}+\overline{PF_2}=\text{constante}$.

Hipérbole

Hipérbole é o conjunto dos pontos de um plano tais que é constante a diferença em módulo das suas diferenças a dois pontos fixos, desse plano, chamados focos
Essa diferença é inferior à distância entre os focos.

Na animação $|\overline{PF_1}-\overline{PF_2}|=\text{constante}$.

Parábola

Considere-se uma recta $\mathcal{d}$ e um ponto $F$ exterior à recta.
Ao conjunto dos pontos $P$ do plano que são equidistantes do ponto $F$ e da recta $\mathcal{d}$ chamamos parábola. O ponto $F$ chama-se foco e a recta $\mathcal{d}$ chama-se directriz.

Versão 3: Foco e directriz

Cónica

Considere-se uma recta $\mathcal{d}$ e um ponto $F$ exterior à recta.

Ao conjunto dos pontos $P$ do plano em que a razão entre a distância ao ponto $F$ e a distância à recta $\mathcal{d}$ é constante chamamos cónica.

O ponto $F$ chama-se foco a recta $\mathcal{d}$ chama-se directriz. e a tal razão constante chama-se excentricidade. Com esta definição faz sentido que a excentricidade seja estritamente maior do que zero.

• Se a excentricidade for inferior a $1$ a cónica designa-se elipse.
• Se a excentricidade for igual a $1$ a cónica designa-se parábola.(Coincide com a versão 2)
• Se a excentricidade for superior a $1$ a cónica designa-se hipérbole.

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Estes focos coincidem com os da versão 2.

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Estas três definições são "quase equivalentes" (permitam-me o abuso de linguagem).
Não é verdade que as 3 sejam equivalentes sem proceder a alguns ajustes.
As versões 1 e 2 permitem enquadrar a circunferência como uma elipse. A versão 3 precisa de algumas afinações para isso acontecer. A equivalência entre as versões 1 e 2 pode ser provada recorrendo às esferas de Dandelin . A primeira vez que a vi foi no livro Calculus vol I de Tom M. Apostol. (Sem querer ser mau, tenha em conta que o livro já tem alguns anos, e sugiro a quem o quiser consultar, se tiver hipótese, que evite traduções... recorra ao original).

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(Sugiro, sem recorrer a tecnologias, a quem estiver interessado no próximo post)

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Nota: eu sou o autor destes exercícios e das soluções.

1. A elipse da animação na versão 2 tem focos nos pontos de coordenadas $F_1(4,3)$ e $F_2(-4,-3)$, e a constante da definição (versão 2) é 12.
   Determine:
   1. As equações reduzidas as rectas a tracejado representadas na figura.

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      $$y=\frc{3}{4}x$$ e $$y=-\frc{4}{3}x$$

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   2. A excentricidade da elipse, e as equações das possíveis diretrizes.(Ver versão 3)

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      Directrizes: $y=-\frc{4}{3}x +\frc{304}{25}$ e $y=-\frc{4}{3}x -\frc{304}{25}$
      Excentricidade: $$e=\frc{5}{6}$$

      ---

   3. Uma equação cartesiana da elipse na forma $Ax^2+Bxy+Cy^2+Dx+Ey+F=0$,
      ($A,B,C,D,E,F$ são números reais). Recorra apenas à distância euclidiana e às definições contidas neste texto.

      ---

      $$20x^2-24xy+27y^2-396=0$$

      ---

2. Agora, considere uma hipérbole que tem focos nos pontos de coordenadas $F_1(4,3)$ e $F_2(-4,-3)$, e a constante da definição (versão 2) é 8.
   Determine:
   1. As equações reduzidas das possíveis directrizes, e a excentricidade da hipérbole.(Ver versão 3)

      ---

      Directrizes: $$y=-\frac{4}{3}x+\frac{16}{3}$$ e $$y=-\frac{4}{3}x-\frac{16}{3}$$ Excentricidade $$e=\frac{5}{4}$$

      ---

   2. Uma equação cartesiana da hipérbole na forma $Ax^2+Bxy+Cy^2+Dx+Ey+F=0$,
      ($A,B,C,D,E,F$ são números reais). Recorra apenas à distância euclidiana e às definições contidas neste texto.

      ---

      $$7y^2-24xy+144=0$$

      ---

   3. As equações reduzidas das assímptotas. Note que esta hiperbole tem duas assimptotas (oblíquas).

      ---

      $$y=0$$ e $$y=\frc{24}{7}x$$

      ---

3. Continuando a não recorrer a informações sobre cónicas fora das dadas neste texto, determine as coordenadas dos focos. equações reduzidas das directrizes, e directrizes da hipérbole de equação $xy=1$.

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   Focos: $$\left(\sqrt{2},\sqrt{2}\right)$$ e $$\left(-\sqrt{2},-\sqrt{2}\right)$$ Excentricidade $$e=\sqrt{2}$$ Directrizes $$y=-x+\sqrt{2}$$ e $$y=-x-\sqrt{2}$$

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4. Considere a parábola de foco no ponto de coordenadas $(0,5)$ e directriz a recta de equação $y=0$.
   1. Escreva uma equação dessa parábola, na forma $y=ax^2+c$

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      $$y=\frac{1}{10}x^2+\frac{5}{2}$$

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   2. A partir da equação da alínea anterior, escreva, na forma $Ax^2+Bxy+Cy^2+Dx+Ey+F=0$ uma equação da parábola de foco no ponto de coordenadas $(4,3)$ e directriz de equação $y=-\frc{3}{4}x$. $A,B,C,D,E,F$ devem ser números inteiros.

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      $$16x^2-24xy+9y^2-150x-200y+625=0$$

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PS:

• Chamo à atenção que eu, propositadamente, nos exercícios pus soluções sem resoluções. Não é suposto usar 'equações reduzidas' de hiperboles nem de elipses nem 'reduções aos eixos principais', nem estudo algébrico de formas quadráticas... isso fica para textos futuros. Permito o uso de matrizes rotação (mas não obrigo). Para além de coisas elementares (distâncias euclidianas, quadrados de binómios, principio de equivalência de equações)...também podem (mas não precisam de) usar a fórmula da "distância de um ponto a uma recta" se souberem, se não souberem e tiverem curiosidade usem este botão:

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  Distância do ponto de coordenadas $\left(x_0,y_0\right)$ à recta de equação $ax+by+c=0$ $$d=\frac{|ax_0+by_0+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}$$

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  Não é para usar ferramentas 'não elementares', e eu tenho noção que com esta limitação, as resoluções podem ser bem chatas.
  Usem a imaginação.
  Já agora, as IAs a que eu recorri disparataram, por isso tenho mesmo curiosidade em saber se alguém chega a resoluções correctas. [Elas existem e não são únicas!]
• CarlosPaulices no século XXI:Descodificando um programa de um caderno com 30 anos - Parte I
• CarlosPaulices no século XXI: Tempo
• A applet geogebra foi inicialmente escrita para o post Cónicas: uma definição excêntrica, do blog Carlos Paulices no século XXI, e foi adicionada ao texto no dia 1 de Abril de 2025
• Applet Geogebra da versão 3 em https://www.geogebra.org/m/vk8wha34

Um problema de geometria elementar (II) : A altura de um cone

Enquanto esperam os textos sobre cónicas, tomem um exercício com cones.

Este tamém veio do facebook, mas não consigo descobrir a fonte original (se alguém souber que me envie)

Temos um cone. O volume azul da primeira figura é igual ao azul da segunda, e as duas representam o mesmo cone. Qual é a altura do cone?

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$$1+\sqrt{85} \text{ cm}$$

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Neste tipo de problemas, um esquema, e juntar algumas letras ajuda sempre. No esquema todas as medidas estão em centímetros.

Como consequẽncia da semelhança de triângulos (justifique essa semelhança) temos: $$\frac{H}{R} = \frac{8}{r} = \frac{{H - 2}}{a}$$ Portanto, $r = \frc{{8R}}{H}$ e $a = \left( {H - 2} \right) \cdot \frac{R}{H}$.
Por outro lado a igualdade de volumes escreve-se matematicamente desta forma: $$\begin{eqnarray*} {}&{}&{\frac{1}{3}\pi R^2 H - \frac{1}{3}\pi r^2 \cdot 8 = \frac{1}{3}\pi a^2 \left( {H - 2} \right)} \\ &\Leftrightarrow& \frac{1}{3}\pi R^2 H - \frac{1}{3}\pi \cdot 8^3 \frac{{R^2 }}{{H^2 }} = \frac{1}{3}\pi \left( {H - 2} \right)^3 \frac{{R^2 }}{{H^2 }} \\ &\Leftrightarrow& \frac{1}{3}\pi \frac{{R^2 }}{{H^2 }}\left( {H^3 - 8^3 } \right) = \frac{1}{3}\pi \frac{{R^2 }}{{H^2 }}\left( {H - 2} \right)^3 \\ &\Leftrightarrow& H^3 - 8^3 = \left( {H - 2} \right)^3 \\ &\Leftrightarrow& H^3 - 512 = H^3 - 6H^2 + 12H - 8 \\ &\Leftrightarrow& 6H^2 - 12H + 504 = 0 \\ &\Leftrightarrow& H^2 - 2H + 84 = 0 \\ &\Leftrightarrow& H = 1 \pm \sqrt {1 + 84} = 1 \pm \sqrt {85} \\ \end{eqnarray*}$$ Como $H$ é a altura do cone tem de ser positiva, logo $$H = 1 + \sqrt {85}$$

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Comprimentos de curvas

 Suponhamos que temos uma curva, em $\R^n$ parametrizada pela função

$$\gamma:I\subseteq \R \to \R^n$$ Rigorosamente, gosto de chamar a estas curvas linhas parametrizadas mas percebi que cada um chama o que lhe apetecer.
Se $I$ for um intervalo limitado e fechado $[a,b]$, chamamos à curva caminho e o comprimento do caminho é dado por

. $$L\left( \gamma \right) = \int\limits_a^b {\left\| {\gamma '\left( t \right)} \right\|} dt$$ Eu aprendi isto na licenciatura,mas isto encontra-se em vários livros de análise e cálculo em $\R^n$ (Com demonstrações correctas).
Por exemplo, a circunferência de centro $(a,b)$ e raio $r>0$ pode ser parametrizada por $$\gamma \left( t \right) = \left( {a + r\cos t,b + r\sen t} \right),t \in \left[ {0,2\pi } \right]$$ e o comprimento da circunferência (ou se preferirem, o perímetro da circunferência) é dado por: $$\begin{eqnarray*} {L\left( \gamma \right)}&{ = }&{\int\limits_0^{2\pi } {\left\| {\gamma '\left( t \right)} \right\|} dt } \\ { }&{ = }&{\displaystyle\int\limits_0^{2\pi } {\left\| {\left( { - r\sen t,r\cos t} \right)} \right\|} dt } \\ { }&{ = }&{ \int\limits_0^{2\pi } {\sqrt {\left( { - r\sen t} \right)^2 + \left( {r\cos t} \right)^2 } } dt } \\ { }&{ = }&{ \int\limits_0^{2\pi } {\sqrt {r^2 \left( {\sen t} \right)^2 + r^2 \left( {\cos t} \right)^2 } } dt } \\ %{ }&{ = }&{ \int\limits_0^{2\pi } {\sqrt {r^2 \left( \senEL{2} t + \cos ^2 t} \right)} } dt }\\ { }&{ = }&{ \int\limits_0^{2\pi } {\sqrt {r^2 } } dt }\\ { }&{ = }&{ \int\limits_0^{2\pi } r dt }\\ { }&{ = }&{2\pi r} \end{eqnarray*}$$ É óbvio que o centro não poderia interferir no perímetro da circunferência, e dada a definição história de $\pi$, este exercício é bem estúpido. Mas pronto, é uma verificação, e vou repetir a estupidez mais uma vez neste post.
O gráfico de uma função $f$ contínua no intervalo $[a,b]$ é um caminho que pode ser parametrizado pela parametrização canónica:
$$\gamma(t)=(t,f(t)),t\in[a,b]$$ e o seu comprimento é, naturalmente $$L\left( \gamma \right) = \int\limits_a^b {\left\| {\gamma '\left( t \right)} \right\|} dt = \int\limits_a^b {\left\| {\left( {1,f'\left( t \right)} \right)} \right\|} dt = \int\limits_a^b {\sqrt {1 + \left( {f'\left( t \right)} \right)^2 } } dt$$ Fórmula que já usei aqui neste blog, no post $P$, o primo do $\pi$
(é por causa desse texto, que estou a escrever este... é que eu tenciono usar isto, para, bem, depois se tiverem curiosidade, virão cá ver)
Uma curva em coordenadas polares, $r=\rho\left(\theta\right), \theta\in\left[\theta_1,\theta_2\right]$ pode ser parametrizada por $$\gamma \left( t \right) = \left( {\rho \left( t \right)\cos t,\rho \left( t \right)\sen t} \right),t \in \left[ {\theta _1 ,\theta _2 } \right]$$ E o seu comprimento é então $$\begin{array}{l} L\left( \gamma \right) = \displaystyle\int\limits_{\theta _1 }^{\theta _2 } {\left\| {\gamma '\left( t \right)} \right\|} dt = \displaystyle\int\limits_{\theta _1 }^{\theta _2 } {\left\| {\left( {\rho '\left( t \right)\cos t - \rho \left( t \right)\sen t,\rho '\left( t \right)\sen t + \rho \left( t \right)\cos t} \right)} \right\|} dt \\ = \displaystyle\int\limits_{\theta _1 }^{\theta _2 } {\sqrt {\left( {\rho '\left( t \right)\cos t - \rho \left( t \right)\sen t} \right)^2 + \left( {\rho '\left( t \right)\sen t + \rho \left( t \right)\cos t} \right)^2 } } dt \\ = \displaystyle\int\limits_{\theta _1 }^{\theta _2 } {\sqrt {\left( {\rho '\left( t \right)\cos t} \right)^2 - 2\rho '\left( t \right)\rho \left( t \right)\cos t\sen t + \left( {\rho \left( t \right)\sen t} \right)^2 + \left( {\rho '\left( t \right)\sen t} \right)^2 + 2\rho '\left( t \right)\rho \left( t \right)\cos t\sen t + \left( {\rho \left( t \right)\cos t} \right)^2 } } dt \\ = \displaystyle\int\limits_{\theta _1 }^{\theta _2 } {\sqrt {\left( {\rho '\left( t \right)\cos t} \right)^2 + \left( {\rho \left( t \right)\sen t} \right)^2 + \left( {\rho '\left( t \right)\sen t} \right)^2 + \left( {\rho \left( t \right)\cos t} \right)^2 } } dt \\ % = \displaystyle\int\limits_{\theta _1 }^{\theta _2 } {\sqrt {\left( {\rho '\left( t \right)} \right)^2 \cos ^2 t + \left( {\rho \left( t \right)} \right)^2 \sen ^2 t + \left( {\rho '\left( t \right)} \right)^2 \sen ^2 t + \left( {\rho \left( t \right)} \right)^2 \cos ^2 t} } dt \\ = \displaystyle\int\limits_{\theta _1 }^{\theta _2 } {\sqrt {\left( {\rho \left( t \right)} \right)^2 + \left( {\rho '\left( t \right)} \right)^2 } } dt \end{array}$$ (Eu gosto do aspecto desta fórmula...)
Vamos a mais um exempo "estúpido"? Uma circunferência de raio $R$ ($R>0$), e centro na origem, tem como equação,em coordenadas polares, $r=R$, ou seja $\rho(\theta)=R$ com $\theta\in[0,2\pi]$ então, (risos) $$L(\gamma)=\int\limits_{0 }^{2\pi } {\sqrt {\left( {\rho \left( t \right)} \right)^2 + \left( {\rho '\left( t \right)} \right)^2 } } dt=\int\limits_{0 }^{2\pi } {\sqrt {R^2 + 0^2 }} =2\pi R$$ Daqui a uns tempos uso isto para coisas mais engraçadas.

Um problema de geometria elementar (I)

As redes sociais são perda de tempo? Depende do que se faz nelas. O mesmo se pode dizer de muita coisa. Eu sigo páginas de muitos assuntos, e claro que não podia deixar de ser, muitas de Matemática. A imagem veio de uma página do facebook, "Mathematics is Poetry".
$m$ e $n$ são áreas, $x$ é o comprimento de um segmento de recta. Aquilo é um semi-circulo de diâmetro $20$, logo, o raio é $10$ e a área do semicírculo é

$$A=\frac{\pi\times10^2}{2}=50\pi$$

portanto já sabemos que $m < 50\pi$
Se chamarmos $l$ á àrea do semicirculo que não faz parte de $m$, as coisas ficam mais simples.

Então $m+l=50\pi$ e $l+n$ é a área de um triângulo de base $20$ e altura $x$.
 Assim sendo $l+n=\frc{20x}{2}=10x$
Agora, o problema tem uma resolução simples.

$$\left\{ {\begin{array}{c} {m = n + 47} \\ {m + l = 50\pi } \\ {l + n = 10x} \end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{c} {m - n = 47} \\ {m + l = 50\pi } \\ {l + n = 10x} \end{array}} \right.$$ Subtraindo as duas últimas equações vem $m-n=50\pi-10x$, então, pela primeira equação, $$47=50\pi-10x$$ que é equivalente a $$10x=50\pi-47$$ e a $$x=5\pi-\frac{47}{10}$$ Não é um problema complicado, mas também não é evidente à primeira vista, para quem nunca resolveu um problema destes.

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Esteréotipos e ideias pré-concebidas sobre qualquer coisa ou assunto, tornam-vos idiotas e péssimas pessoas.
Como o anormal que neste momento dá aulas de Teoria da Medida e da Probabilidade, e de Análise Funcional na Universidade da Madeira. Eu tenho legitimidade para chamar a esse imbecil o que me apetecer, e não é uma ideia pré-concebida. Há 26 anos que a Universidade da Madeira desce continuamente na minha consideração por manter esse anormal nos seus quadros, independentemente dos artigos que publica.
Quem discordar, ou pior, se atrever a tentar defender o #$#$#, deixou de ser bem vindo aqui.
Faça o favor de desaparecer e não voltar a qualquer blog meu.
[ Há uma razão para isto: sempre que eu tentei resolver coisas a bem, levei com prepotência ]

Há muito tempo atrás, antes de terem inventado os limites.

Introdução

 Hoje em dia, no secundário, e no ensino superior, nas várias variantes de disciplinas de Análise Matemática, quando se ensina "como deve ser", ensinam-se derivadas de funções reais de variável real, e derivadas de funções complexas de variável complexa pela sua definição como limite de um quociente.
Os integrais, no ensino superior quando se dá a sua construção, são construidos pelas definições de Riemann, Darboux, Stieltjges, ou Lebesgue.
 (Ainda conheço outras, mas nunca vi alguém atrever-se a ensiná-las em cadeiras introdutórias, e sim, há quem ensine o Integral de Lebesgue numa cadeira introdutória...)

Note-se, como eu digo na página "Notações e convenções" que eu não uso, e recuso-me a utilizar a palavra "integral" para referir-me a primitivas. Utiliza-se quase a mesma notação para integrais e primitivas, hipoteticamente por razões de vou falar abaixo.
Este post é diferente de todos os outros e vou classificá-lo de "ficção científica histórica", em primeiro lugar, porque não quero insultar, e muito menos ofender os historiadores, por quem tenho um grande respeito.

Em segundo lugar, porque depois de inúmeras leituras (de livros!) ao longo dos anos (e alguns documentários, nomeadamente da BBC), fiquei com esta ideia de como as coisas se passaram.
Não posso dar certezas. Não estive lá! (Será que estive?)

(divagação)

Pessoalmente considero criminoso ensinar integrais sem se ensinar (pelo menos) uma construcção, como se faz em muitas disciplinas de "cálculo" por este país fora (eu dei explicações por muitos anos e tive alunos de todo o país (Portugal), portanto, não estou a referir-me a nenhum sítio em particular, façam o favor de não se sentir atingidos).
A falta de tempo não pode servir de desculpa para tudo. Matemática não é uma religião, e não pode interessar só aos matemáticos. Quando se 'ensinam' coisas sem explicar porquês, está-se a pregar e não a ensinar. Que, pode não parecer, são coisas bem diferentes. Pregar leva as pessoas a perder tempo (que poderia ser útil noutra coisa), e até fazer afirmações e perguntas que não seriam bem pertinentes seriam estúpidas!

"Diferenciais"

Derivadas e integrais foram concebidos antes de se criarem os limites. Não me interpretem mal. Os limites são necessários por muito boas razões, e resolvem uma série de problemas que a abordagem que vou apresentar abaixo tem.

Hoje em dia o símbolo "$dx$" é visto pela "Matemática não-standard" como uma coisa, pela "Geometria Diferencial" como outra (eu gosto de ambas, mas vou tentar não falar delas neste texto ) e pelos físicos como outra.
Para a maioria dos matemáticos que desconhece aquelas três àreas, é só uma notação (!!!).

Originalmente $dx$, que vamos designar por "diferencial de $x$" era visto como uma variação infinitesimal de $x$, que está próxima da (se não é mesmo a) versão ainda utilizada pelo pessoal de Física.

Uma quantidade infinitamente pequena, mas que não é zero (!!! Se soubessem a quantidade de piadas que eu, e algumas pessoas fizemos com isto até ter visto o potencial da ideia...)
Portanto, vamos olhar para "$dx$" como sendo "o comprimento de um ponto" (repito: infinitamente pequeno mas não zero )

O comprimento do segmento de recta $[a,b]$ é então "o somatório integral de todos os comprimentos dos pontos pertencentes ao intervalo $[a,b]$" . E obviamente, esse comprimento é $b-a$ .

Esse somatório, vou representar, como Leibniz,  por

$$\int\limits_a^b dx$$ O símbolo $\int$ é um elongamento da letra S, de summa (soma, em latim).Então a afirmação de há pouco resume-se a $$\int\limits_a^b {dx} = b-a$$

Integrais (integrais definidos)

Vou falar de integrais antes de falar de derivadas? Sim! O conceito de área, que está na origem do conceito de integral, é bem mais antigo.

Utilizando o tipo de raciocínio da secção anterior, "a área de um segmento de recta de comprimento c" será "$c\times dx$" . Estamos a olhar para um segmento de recta como se fosse um rectângulo de lados "c e dx" (Sim, eu sei, não digam nada, vamos lá respeitar o raciocínio)

Assim sendo, se pensarmos no gráfico de uma função $f$, positiva, (contínua, pelas definições actuais), a área entre o gráfico de $f$ e o eixo dos $x$, no intervalo $[a,b]$ é o "somatório integral" das áreas de todos os segmentos verticais que unem o eixo dos $x$ ao gráfico de $f$. 

Em cada ponto $x$, a área do segmento acima dele é $f(x)dx$.

Logo a área (a azul, na figura) 

é, como podem adivinhar, a soma de todos os produtos $f(x)dx$ quando $x$ percorre o intervalo $[a,b]$.
Utilizando a notação introduzida anteriormente, $$A=\int\limits_a^b {f(x)dx}$$

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$\int\limits_a^b {f(x)dx}$ designa-se por integral definido de $f$ entre $a$ e $b$

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Esta é uma notação para integrais que, como devem saber, se usa até hoje.

(Dá para brincar mais um pouco com estas ideias, por exemplo, se a função não for positiva ou se $a$ for maior do que $b$ como atribuir um significado, mas isso escapa ao objectivo deste texto, por isso deixo para outra oportunidade)

O cálculo de áreas já é uma coisa séria, e que na altura ainda tinha sérios problemas. Aqueles "$dx$" tiveram mesmo de ser estudados, e assim nasceu o "cálculo diferencial".

Arquimedes, já tinha um método para calcular áreas, Newton e Leibnitz simplesmente deram o passo seguinte sobre os trabalhos de muitos outros.

O próprio Newton reconheceu, em 1675, numa carta, 
"If I have seen further [than others], it is by standing on the shoulders of giants."

(embora a expressão shoulders of giants tenha sido popularizada muito antes dele)

Derivadas

Em cada ponto $x$ podemos desenhar aquele triângulo da figura abaixo. $dx$ é, como estabelecemos anteriormente "a espessura do ponto $x$", e $dy$ é o quanto variou $y$ do ponto de abcissa $x$ anterior para o 'actual'  (concordo que é uma bonita confusão, mas por favor, abstenham-se disso).

A taxa de variação, será então, o declive do segmento de recta a vermelho, ou seja, o quociente $$\frc{df(x)}{dx}$$
A este quociente, vamos chamar derivada de $f$ no ponto $x$.
(Não fiquem chocados, Leibniz concebeu mesmo as derivadas como quocientes de diferenciais).
Sem fugir a este tipo de raciocínio, o declive da recta tangente ao gráfico de $f$ no ponto $x$ é também $\frc{df(x)}{dx}$.
Consegue explicar porquê?

O comprimento de uma curva

Pela imagem anterior o comprimento $L$ da curva será a soma de todos os $dh$ correspondentes aos $dx$ no intervalo $[a,b]$.
Como estabelecido anteriormente, $$L=\int_a^b dh$$   $dh$ consegue calcular-se pelo teorema de Pitágoras, portanto $$dh=\sqrt{ (dx)^2+(dy)^2 }$$ pondo $(dx)^2$ em evidência, temos: $$dh=\sqrt{ (dx)^2+(dy)^2 }=\sqrt{ \left(1+\left(\frc{dy}{dx}\right)^2\right)(dx)^2 }=\sqrt{ \left(1+\left(\frc{dy}{dx}\right)^2\right)}dx$$ Então $$L=\int_a^b dh=\int_a^b\sqrt{ 1+\left(\frc{dy}{dx}\right)^2}dx$$

Conclusão

É engraçado, como com ideias hoje em dia consideradas erradas se chegam a resultados correctos. Algumas destas ideias ocorreram-me quando eu ainda estava no secundário, como piadas, que trocava com um colega de turma.
Este texto ocorreu-me depois de uma conversa com o Rafael Luís, que deixou um comentário no post anterior, a quem mando um abraço.
Podem perguntar-se se há forma de trazer estas ideias de volta para o mundo actual e de as tornar válidas outra vez.
Bem, para isso vou ter de falar-vos de números hiper-reais e de "Matemática não-standard". O assunto "Matemática não-standard" foi-me apresentado pelo professor Luis Canto Loura durante uma divagação numa aula de Análise Matemática III.
Eu acabei por investigar e adquirir material sobre o assunto. Posso garantir-vos que há forma de trazer estas ideias de volta ... Só que, o trabalho é hercúleo, e, será mesmo que compensa?

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Ah, esqueci-me de uma coisa: Porque é que tanbém se usa o símbolo $\int$ para primitivas?
Resposta: olhem com olhos de ver para o teorema fundamental do cálculo.

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PS:

• Como eu disse, isto é 'ficção científica histórica', no entanto a criação de um sistema de números que contemple de forma rigorosa 'infinitesimais' (os tais infinitamente pequenos que não são zero) faz-se em ANS (Análise não-standard). Não quero mesmo fazê-lo neste texto, nem sei ainda se consigo fazê-lo de forma aceitável e respeitável(!) neste blog.
• "Há muito tempo atrás"... aquele atrás precisa mesmo de estar ali? Eu acho que não, e o chatGPT também acha que não!
  
• Texto (ainda) em revisão, mas já pode ser lido. Nesta fase, (ainda) aceito sugestões.
• Sendo 'ficção', é uma estupidez eu expor bibliografia, mas vou acabar por mais cedo ou mais tarde deixar uma secção bibliográfica neste blog. Vou sugerir livros (!), não de História, mas de Matemática, em particular de análise não-standard [ Simpatizo com a Internet,mas nada bate um bom livro, até acho que a parte mais interessante da Wikipedia costuma ser a bibliografia contida nas referências ]

P, o primo do π

 Em https://www.facebook.com/share/r/1A5j8LkLf2/, a Inês Guimarães (Mathgurl) apresentou-nos esta propriedade:

Em qualquer parábola, se traçarmos uma paralela à tangente ao vértice que passa pelo foco, ela corta a parábola em dois pontos, $A$ e $B$.
O quociente entre o comprimento do arco de parábola que une os pontos $A$ e $B$ e o comprimento do menor segmento que une o foco à directriz é constante.
Vamos chamar $P$ a essa constante, e ainda temos que $$P=\ln \left(1+\sqrt{2})\right)+\sqrt{2}$$

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Este $P$ é designado por constante universal das parábolas.

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A afirmação de que $P$ é constante é gira... A primeira coisa que me ocorreu foi "eu acho que sei provar isso". E de facto, sei. E provei. Deixei o meu rascunho manuscrito na minha página do facebook . Hoje vou apenas reescrever essa prova aqui, com mais algum cuidado.
Sem perda de generalidade, vamos supor que a equação da parábola é $$y=ax^2+bx+c$$ com $a>0$ e $b,c\in\R$. Na verdade, para a afirmação feita eu até podia considerar $b=c=0$, mas não o vou fazer.
Neste blog, no post do dia 22 de Agosto de 2024 eu mostrei que as coordenadas do foco desta parábola são $$\left(x_F,y_F\right)=\left(-\frac{b}{2a},\frac{1-\Delta}{4a}\right)$$ onde $\Delta=b^2-4ac$

Então, para determinar as coordenadas dos pontos $A$ e $B$ apenas tenho de resolver a equação $$ax^2+bx+c=y_F$$ Ou seja $$\begin{eqnarray*} {\Leftrightarrow}&{ }&{ax^2+bx+c = \frac{1-\Delta}{4a}}\\ {\Leftrightarrow}&{ }&{ax^2+bx+c = \frac{1-b^2+4ac}{4a}}\\ {\Leftrightarrow}&{ }&{4a^2x^2+4abx+4ac =1-b^2+4ac}\\ {\Leftrightarrow}&{ }&{4a^2x^2+4abx+b^2 =1}\\ {\Leftrightarrow}&{}&{(2ax+b)^2 =1}\\ {\Leftrightarrow}&{ }&{2ax+b =\pm 1}\\ {\Leftrightarrow}&{ }&{2ax =-b\pm 1}\\ {\Leftrightarrow}&{ }&{x =\frac{-b\pm 1}{2a}} \end{eqnarray*}$$ Assim sendo temos $$A\left(\frac{-b- 1}{2a},y_F\right)\text{ ; }B\left(\frac{-b+ 1}{2a},y_F\right)$$ O comprimento do arco de parábola é dado pela conhecida fórmula $$l = \int\limits_{x_A}^{x_B} {\sqrt {1 + \left( {y'} \right)^2 } dx}$$ Onde $x_A$ e $x_B$ são as abcissas dos pontos $A$ e $B$, respectivamente.
Portanto, vamos lá a isso $$\begin{eqnarray*} {l}&{=}&{\int\limits_{x_A}^{x_B} {\sqrt {1 + \left( {y'} \right)^2 } dx}}\\ { }&{=}&{\int\limits_{\frc{-b- 1}{2a}}^{\frc{-b+ 1}{2a}} {\sqrt {1 + \left( {2ax+b} \right)^2 } dx}} \end{eqnarray*}$$ Para calcular este integral dá-me jeito usar a substituição $\sh \gamma=2ax+b$ ou seja $\gamma=\argsh \left(2ax+b\right)$ e $x=\frac{\sh \gamma -b}{2a}$ que nos leva a $$\frac{dx}{d\gamma}=\frac{\ch \gamma}{2a}$$ por outro lado $$x=x_A \Rightarrow \gamma=\argsh(-1)=-\argsh 1$$ $$x=x_B \Rightarrow \gamma=\argsh 1$$ Então $$\begin{eqnarray*} {\int\limits_{\frac{-b- 1}{2a}}^{\frac{-b+ 1}{2a}} {\sqrt {1 + \left( {2ax+b} \right)^2 } dx}}&{=}&{\frac{1}{2a}\int\limits_{-\argsh 1}^{argsh 1} {\sqrt {1 + \shq \gamma } \ch \gamma d\gamma}}\\ { }&{=}&{\frac{1}{2a}\int\limits_{-\argsh 1}^{\argsh 1} {\chq \gamma d\gamma}}\\ { }&{=}&{\frac{1}{2a}\int\limits_{-\argsh 1}^{\argsh 1} {\frac{ 1+\ch\left(2\gamma\right)}{2} d\gamma}}\\ { }&{=}&{\frac{1}{4a}\int\limits_{-\argsh 1}^{\argsh 1} {1+\ch\left(2\gamma\right) d\gamma}}\\ { }&{=}&{\frac{1}{4a}\left[ {\gamma + \frac{{\sh(2\gamma )}}{2}} \right]_{ - \argsh 1}^{\argsh 1} }\\ { }&{=}&{\frac{1}{4a}\left[ {\gamma + \sh \gamma \ch \gamma } \right]_{ - \argsh 1}^{\argsh 1} }\\ { }&{=}&{\frac{1}{4a}\left[ 2 \argsh 1 + 2\sh (\argsh 1) \ch (\argsh 1) \right] }\\ { }&{=}&{\frac{1}{2a}\left[ \ln(1+\sqrt{2}) + 1 \sqrt{1+1} \right] }\\ { }&{=}&{\frac{1}{2a}\left[ \ln(1+\sqrt{2}) + \sqrt{2} \right] } \end{eqnarray*}$$ A distância entre o foco e a directriz, é o dobro da distância do foco ao vértice.
Assim $$d(F,V)=2\left(y_F-y_V\right)=2\left(\frac{1-\Delta}{4a}-\frac{-\Delta}{4a}\right)=\frac{1}{2a}$$ .

Notem que $b$ e $c$ desapareceram dos cálculos, portanto, eu podia mesmo ter desaparecido com eles logo no princípio.

Assim, finalmente $$P=\frac{\frc{1}{2a}\left[ \ln(1+\sqrt{2}) + \sqrt{2} \right]}{\frc{1}{2a}}=\ln(1+\sqrt{2}) + \sqrt{2}$$

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Será que existem "constantes" deste tipo para as hipérboles e elipses?
Eu tenho a resposta... mas vão ter de esperar, ou tentar chegar lá sozinhos.

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PS: Para quem ainda não sabe, em Setembro de 2024, durante uma crise convulsiva, eu parti uma vértebra. Sinto dores até hoje... Portanto os meus posts passaram a ser ainda mais irregulares. Podem ir passando por aqui.