O operador Laplaciano em coordenadas polares e em coordenadas esféricas

O operador Laplaciano apareceu-me muitas vezes em problemas com equações diferenciais com derivadas parciais, em problemas de electromagnetismo, e mais recentemente em problemas de mecânica quântica. Muitas vezes é necessário fazer uma mudança de variáveis, para coordenadas polares, esféricas, cilíndricas...
Normalmente, as fórmulas são dadas, sem qualquer dedução. Não porque a dedução em si seja difícil, mas porque os cálculos em si podem ser longos e não trazem nada de novo. O problema deste ponto de vista é que há quem nunca tenha visto nem feito uma dedução!
É um mero exercício de cálculo e de aplicação de principalmente da regra da derivação do produto e da regra da cadeia, para quem quiser fazer.
...E que proponho que se faça! Clicando nos botões podem ver a minha solução e a minha resolução. Sugiro que tente fazê-la primeiro!

O Laplaciano em coordenadas polares

Seja $f:D \subseteq \R^2 \to \R$ uma função real de variável vectorial, ou, como vai ser designação comum neste blog, um campo escalar.
Suponhamos que a função é de classe $C^2$ em $D$.
O Laplaciano de $f$ é a divergência do gradiente de $f$. \[ \nabla ^2 f = \nabla \cdot \nabla f = \dfrc{{\partial ^2 f}}{{\partial x{}^2}} + \dfrc{{\partial ^2 f}}{{\partial y{}^2}} \] Considere-se a nova função que se obtém fazendo a mudança de variáveis \[ \left\{ {\begin{array}{l} {x = r\cos \theta } \\ {y = r\sen \theta } \end{array}} \right. \] para $r>0$ e $\theta\in [0,2\pi[ $ por forma a que, a nova definição faça sentido.
Por abuso de linguagem, continuemos a designar a nova função por $f$.
Determine uma nova fórmula para $\nabla ^2 f$ em função das novas variáveis $r$ e $\theta$.

\[\nabla ^2 f=\dfrc{{\partial ^2 f}}{{\partial r^2 }} + \dfrc{1}{r}\dfrc{\partial f}{\partial r} + \dfrc{1}{{r^2 }}\dfrc{{\partial ^2 f}}{{\partial \theta ^2 }}\]

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(Carlos Paulo A. de Freitas; 19/07/2019)

\[ \left\{ {\begin{array}{l} {x = r\cos \theta } \\ {y = r\sen \theta } \end{array}} \right. \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{l} {r^2 = x^2 + y^2 } \\ \cos \theta = \dfrc{x}{r} \\ \sen \theta = \dfrc{y}{r} \\ \end{array}} \right. \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{l} {2r\dfrc{\partial r}{\partial x} = 2x} \\ 2r\dfrc{\partial r}{\partial y} = 2y \\ - \sen \theta \dfrc{{\partial \theta }}{\partial x} = \dfrc{{r - x\dfrc{\partial r}{\partial x}}}{{r^2 }} \\ \cos \theta \dfrc{{\partial \theta }}{\partial y} = \dfrc{{r - y\dfrc{\partial r}{\partial y}}}{{r^2 }} \end{array}} \right. \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{l} {\dfrc{\partial r}{\partial x} = \dfrc{x}{r} = \cos \theta } \\ \dfrc{\partial r}{\partial y} = \dfrc{y}{r} = \sen \theta \\ \dfrc{\partial \theta }{\partial x} = \dfrc{{r - r\cos ^2 \theta }}{{ - r^2 \sen \theta }} = \dfrc{{1 - \cos ^2 \theta }}{{ - r\sen \theta }} = - \dfrc{\sen \theta }{r} \\ \dfrc{\partial \theta }{\partial y} = \dfrc{r - r\sen ^2 \theta }{r^2 \cos \theta } = \dfrc{\cos \theta }{r} \end{array}} \right. \] Portanto:
${\color{red}\dfrc{\partial r}{\partial x}=\cos\theta}$ ; ${\color{green}\dfrc{\partial r}{\partial y}=\sen\theta}$ ; $\color{blue} \dfrc{\partial \theta }{\partial x}=- \dfrc{\sen \theta }{r}$ e $\color{brown} \dfrc{\partial \theta }{\partial y} =\dfrc{\cos \theta }{r}$
Estes resultados agora usam-se neste desenvolvimento: \begin{eqnarray*} { \nabla ^2 f }&{=}&{\dfrc{\partial ^2 f}{\partial x^2} + \dfrc{\partial ^2 f}{\partial y^2}}\\ {}&{=}&{\dfrc{\partial }{\partial x}\left( \dfrc{\partial f}{\partial x} \right) + \dfrc{\partial }{\partial y}\left( {\dfrc{\partial f}{\partial y}} \right)}\\ {}&{=}&{\dfrc{\partial }{\partial x}\underbrace{\left(\dfrc{\partial f}{\partial r}{\color{red}\dfrc{\partial r}{\partial x}} + \dfrc{\partial f}{\partial \theta}{\color{blue} \dfrc{\partial \theta }{\partial x}}\right)}_{\text{regra da cadeia}} + \dfrc{\partial }{\partial y}\underbrace{\left(\dfrc{\partial f}{\partial r}{\color{green}\dfrc{\partial r}{\partial y}} + \dfrc{\partial f}{\partial \theta }\color{brown} \dfrc{\partial \theta }{\partial y}\right)}_{\text{regra da cadeia}} }\\ {}&{=}&{\dfrc{\partial }{\partial x}\left( \dfrc{\partial f}{\partial r}\cos \theta - \dfrc{\partial f}{\partial \theta }\dfrc{\sen \theta }{r} \right) + \dfrc{\partial }{\partial y}\left( \dfrc{\partial f}{\partial r}\sen \theta + \dfrc{\partial f}{\partial \theta}\dfrc{\cos \theta }{r} \right)}\\ {}&{=}&{\dfrc{\partial }{\partial r}\left( {\dfrc{\partial f}{\partial r}\cos \theta - \dfrc{\partial f}{\partial \theta }\dfrc{\sen \theta }{r}} \right){\color{red}\dfrc{\partial r}{\partial x}} + \dfrc{\partial }{\partial \theta }\left( {\dfrc{\partial f}{\partial r}\cos \theta - \dfrc{\partial f}{\partial \theta }\dfrc{\sen \theta }{r}} \right){\color{blue} \dfrc{\partial \theta }{\partial x}}}\\ {}&{ }&{+ \dfrc{\partial }{\partial r}\left(\dfrc{\partial f}{\partial r}\sin \theta + \dfrc{\partial f}{\partial \theta }\dfrc{\cos \theta }{r} \right){\color{green}\dfrc{\partial r}{\partial y}} + \dfrc{\partial }{\partial \theta }\left( {\dfrc{\partial f}{\partial r}\sin \theta + \dfrc{\partial f}{\partial \theta }}\dfrc{\cos \theta }{r} \right){\color{brown} \dfrc{\partial \theta }{\partial y}} }\\ {}&{}&{\text{(regra da cadeia)}}\\ {}&{=}&{\left( \dfrc{\partial ^2 f}{\partial r^2 }\cos \theta + \dfrc{\sen \theta}{r^2 }\dfrc{\partial f}{\partial \theta} - \dfrc{\sen \theta}{r}\dfrc{\partial ^2 f}{\partial r\partial \theta } \right){\color{red}\dfrc{\partial r}{\partial x}} + \left( {\dfrc{\partial ^2 f}{\partial \theta \partial r}\cos \theta - \dfrc{\partial f}{\partial r}\sin \theta - \dfrc{\cos \theta}{r}\dfrc{\partial f}{\partial \theta} - \dfrc{\sen \theta}{r}\dfrc{\partial ^2 f}{\partial \theta ^2 }} \right){\color{blue} \dfrc{\partial \theta }{\partial x}} }\\ {}&{}&{+ \left( \dfrc{\partial ^2 f}{\partial r^2 }\sin \theta - \dfrc{\cos \theta}{r^2 }\dfrc{\partial f}{\partial \theta} + \dfrc{\cos \theta}{r}\dfrc{\partial ^2 f}{\partial r\partial \theta } \right){\color{green}\dfrc{\partial r}{\partial y}} + \left( \dfrc{\partial ^2 f}{\partial \theta \partial r}\sin \theta + \dfrc{\partial f}{\partial r}\cos \theta - \dfrc{\sen \theta}{r}\dfrc{\partial f}{\partial \theta} + \dfrc{\cos \theta}{r}\dfrc{\partial ^2 f}{\partial \theta ^2 } \right){\color{brown}\dfrc{\partial \theta}{\partial y}} }\\ {}&{=}&{\dfrc{\partial ^2 f}{\partial r^2 }\cos ^2 \theta + \dfrc{\sin \theta \cos \theta }{r^2 }\dfrc{\partial f}{\partial \theta} - \dfrc{\sen \theta \cos \theta }{r}\dfrc{\partial ^2 f}{\partial r\partial \theta } - \dfrc{\sen \theta \cos \theta }{r}\dfrc{\partial ^2 f}{\partial \theta \partial r} + \dfrc{\partial f}{\partial r}\dfrc{\sin ^2 \theta }{r} + \dfrc{\sin \theta \cos \theta }{r^2 }\dfrc{\partial f}{\partial \theta} + \dfrc{\sin ^2 \theta }{r^2 }\dfrc{\partial ^2 f}{\partial \theta ^2 } }\\ {}&{ }&{+ \dfrc{\partial ^2 f}{\partial r^2 }\sin ^2 \theta - \dfrc{\sin \theta \cos \theta }{r^2 }\dfrc{\partial f}{\partial \theta} + \dfrc{\sen \theta \cos \theta }{r}\dfrc{\partial ^2 f}{\partial r\partial \theta } + \dfrc{\sin \theta \cos \theta }{r}\dfrc{\partial ^2 f}{\partial \theta \partial r} + \dfrc{\partial f}{\partial r}\dfrc{\cos ^2 \theta }{r} - \dfrc{\sen \theta \cos \theta }{r^2 }\dfrc{\partial f}{\partial \theta} + \dfrc{\cos ^2 \theta }{r^2 }\dfrc{\partial ^2 f}{\partial \theta ^2 } }\\ {}&{=}&{\dfrc{\partial ^2 f}{\partial r^2 } + \dfrc{1}{r}\dfrc{\partial f}{\partial r} + \dfrc{1}{r^2 }\dfrc{\partial ^2 f}{\partial \theta ^2 }} \end{eqnarray*}

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O Laplaciano em coordenadas esféricas

Seja $f:D \subseteq \R^3 \to \R$ um campo escalar.
Suponhamos que a função é de classe $C^2$ em $D$.
O Laplaciano de $f$ é a divergência do gradiente de $f$. \[ \nabla ^2 f = \nabla \cdot \nabla f = \dfrc{\partial ^2 f}{\partial x^2} + \dfrc{\partial ^2 f}{\partial y^2}+ \dfrc{\partial ^2 f}{\partial z^2} \] Considere-se a nova função que se obtém fazendo a mudança de variáveis \[ \left\{ {\begin{array}{l} {x = r\sen \theta \cos \phi} \\ {y = r\sen \theta \sen \phi} \\ {z = r\cos \theta} \end{array}} \right. \] para $r>0$, $\theta\in [0,\pi[ $ e $\phi\in [0,2\pi[ $ por forma a que, a nova definição faça sentido.
Por abuso de linguagem, continuemos a designar a nova função por $f$.
Mostre que \[ \nabla ^2 f = \frac{1}{r^2}\left[\frac{\partial}{\partial r} \left( {r^2}\dfrc{\partial f}{\partial r} \right) + \frac{1}{ \sen \theta }\frac{\partial }{{\partial \theta }}\left( {\sen \theta \frac{{\partial f}}{{\partial \theta }}} \right) + \frac{1}{{ \sen ^2 \theta }}\frac{{\partial ^2 f}}{{\partial \phi ^2 }}\right] \]

Nota: Um dia deixo a minha dedução, análoga à dedução da fórmula em coordenadas polares.

Uma equação com problemas (I)

Há uns meses chegou-me um explicando com o seguinte problema.

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Seja $k\in \R \backslash \{0\} $. Calcule um valor de $k$ de modo que:
\[
\int\limits_k^\pi  {\frac{1}{{\left( {2 + \sin ^2 \left( {2x} \right)} \right)\cos ^{ - 1} \left( {2x} \right)}}dx =  - \frac{{\sqrt 2 }}{2}\pi }
\]

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Ao resolver a equação percebi que a equação era impossível!
Abaixo (botão) deixo a minha resolução feita nesse dia.

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\begin{eqnarray*} {\int\limits_k^\pi {\frac{1}{{\left( {2 + \sin ^2 \left( {2x} \right)} \right)\cos ^{ - 1} \left( {2x} \right)}}dx}}& {=} &{ - \frac{{\sqrt 2 }}{2}\pi }\\ {\Leftrightarrow \int\limits_k^\pi {\frac{{\cos \left( {2x} \right)}}{{2 + \sin ^2 \left( {2x} \right)}}dx}}&{ = }&{ - \frac{{\sqrt 2 }}{2}\pi }\\ {\Leftrightarrow \frac{1}{2}\int\limits_k^\pi {\frac{{\cos \left( {2x} \right)}}{{1 + \left( {\displaystyle\frac{{\sin \left( {2x} \right)}}{{\sqrt 2 }}} \right)^2 }}dx}} &{=}& { - \frac{{\sqrt 2 }}{2}\pi }\\ {\Leftrightarrow \frac{1}{2}\frac{{\sqrt 2 }}{2}\int\limits_k^\pi {\displaystyle\frac{{\displaystyle\frac{2}{{\sqrt 2 }}\cos \left( {2x} \right)}}{{1 + \left( {\displaystyle\frac{{\sin \left( {2x} \right)}}{{\sqrt 2 }}} \right)^2 }}dx}}&{ = }&{ - \frac{{\sqrt 2 }}{2}\pi } \\ {\Leftrightarrow \int\limits_k^\pi {\frac{{\displaystyle\frac{2}{{\sqrt 2 }}\cos \left( {2x} \right)}}{{1 + \left( {\displaystyle\frac{{\sin \left( {2x} \right)}}{{\sqrt 2 }}} \right)^2 }}dx}}&{ = }& { - 2\pi } \\ {\Leftrightarrow - \arctg\left( {\frac{{\sin \left( {2k} \right)}}{{\sqrt 2 }}} \right)}&{ = }&{ - 2\pi } \\ {\Leftrightarrow \arctg\left( {\frac{{\sin \left( {2k} \right)}}{{\sqrt 2 }}} \right)}&{ = }&{ 2\pi } \\ \end{eqnarray*} Uma vez que o contradomínio da função arcotangente é $\left] { -\displaystyle \frac{\pi }{2},\displaystyle\frac{\pi }{2}} \right[$, a equação obtida é impossível.
Quero que compreendam que mesmo deslocando o contradomínio do arcotangente por um múltiplo inteiro de $\pi$, a equação original continua a ser impossível, visto que essa constante "desapareceria" no decorrer dos cálculos (nomeadamente depois de aplicação da regra de Barrow).


Escrever \[{\frac{{\sin \left( {2k} \right)}}{{\sqrt 2 }}}=\tg (2\pi)\] É um erro gravíssimo!!! (e que demonstra sério e grave desconhecimento do que se anda a fazer)!

Mas, para que não fiquem dúvidas na cabeça mais teimosa, vou provar a impossibilidade daquela equação de outra forma.
Considere-se a função: \[ F(k) = \int\limits_k^\pi {\frac{1}{{\left( {2 + \sin ^2 \left( {2x} \right)} \right)\cos ^{ - 1} \left( {2x} \right)}}dx} = - \frac{{\sqrt 2 }}{4}\arctg\left( {\frac{{\sin \left( {2k} \right)}}{{\sqrt 2 }}} \right) \] Ora, como \[- 1 \le \sin \left( {2k} \right) \le 1 \] então \[\frac{{ - 1}}{{\sqrt 2 }} \le \frac{{\sin \left( {2k} \right)}}{{\sqrt 2 }} \le \frac{1}{{\sqrt 2 }}\] Então isto implica que \[{{ - 1}} \leq \frac{{\sin \left( {2k} \right)}}{{\sqrt 2 }} \leq {1}\] \[\Leftrightarrow - \frac{\pi }{4} \le \arctg\left( {\frac{{\sin \left( {2k} \right)}}{{\sqrt 2 }}} \right) \le \frac{\pi }{4}\] \[ \Leftrightarrow - \frac{{\pi \sqrt 2 }}{{16}} \le - \frac{{\sqrt 2 }}{4}\arctg\left( {\frac{{\sin \left( {2k} \right)}}{{\sqrt 2 }}} \right) \le \frac{{\pi \sqrt 2 }}{{16}}\] \[ \Leftrightarrow - \frac{{\pi \sqrt 2 }}{{16}} \le F(k) \le \frac{{\pi \sqrt 2 }}{{16}}\] Esta última condição prova que $-\displaystyle\frac{{\sqrt 2 }}{2}\pi$ está fora do contradomínio de $F$, portanto a equação original é impossível.

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Numa última nota:

• Não percebi porque se exige no enunciado que $k\neq 0$.   Faz-me suspeitar que há algo de errado com o enunciado.
• Eu 'verifiquei' numericamente as minhas afirmações antes de me dar ao trabalho de escrever isto... podia ter erros nos cálculos.
• Como sempre, se encontrarem gralhas ou incorrecções, podem enviar-me para cpaulof at gmail dot com
  

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Actualizações:

• 03/07/2019: $\cos^{-1}$ deve ser interpretado como a função secante, e não como a função arco-cosseno, graças aos valores dos limites de integração.
• 03/07/2019: em vez de $k\in\R\backslash \{0\}$ penso que $k$ deve pertencer a um subconjunto de $\R\backslash \left\{x=\displaystyle\frac{\pi}{4}+\frac{n\pi}{2}, n\in \Z\right\}$, mas não sei. O enunciado não é meu.
  
  

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  \begin{eqnarray*} {D }&{=}&{ \left\{ {x \in \R:\cos \left( {2x} \right) \ne 0} \right\}}\\ {}&{ = }&{\left\{ {x \in \R:2x \ne \frac{\pi }{2} + n\pi ;n \in \Z} \right\}}\\ {}&{ = }&{ \left\{ {x \in \R:x \ne \frac{\pi }{4} + \frac{{n\pi }}{2};n \in \Z} \right\}} \end{eqnarray*}

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• 09/11/2021: Encontrei uma gralha, mas corrigi... ninguém se deu ao trabalho de me avisar!

Uma parametrização para uma faixa de Möbius

Recentemente, depois de ver o filme "Avengers: Endgame", onde a solução de Tony Stark para um problema físico (não vou dar mais spoilers do que o necessário, se quiserem, vão lá ver o filme) passava por uma faixa de Möbius, andei a fazer umas experiências com a faixa de Möbius.
Não me apeteceu utilizar a Wikipedia... apeteceu-me usar o cérebro.

(Algo que até faço quando uso uma calculadora...quem diria, não é?)

Passo 0:

O que é uma faixa/fita de Möbius?

De forma muito simplista, neste post, a minha faixa de Möbius vai ser a superfície descrita por um segmento de recta que percorre uma circunferência enquanto roda meia volta sobre o seu centro.
Vejam a animação seguinte que percebem melhor,  

Se calhar fica melhor se eu mostrar a superfície a ser desenhada:

Portanto, é boa ideia começar por parametrizar um segmento de recta que dá meia volta!

Passo 1: No plano $xOy$ parametrizar um segmento de recta, centrado na origem, que dá meia volta, em torno da origem.

Dados dois pontos distintos do plano ou do espaço, $A$ e $B$, o segmento $[BA]$ pode ser parametrizado por .
\[X=tA+(1-t)B\] com $t \in [0,1]$

Portanto, se, para um ângulo qualquer de amplitude $\alpha$ considerarmos os pontos da circunferência trigonométrica
\[A=(\cos \alpha,\sen \alpha) \] e \[B=(\cos (\alpha + \pi), \sen (\alpha + \pi)) \]. que são simétricos relativamente à origem $O ( 0,0 )$

O segmento é o conjunto dos pontos
\begin{eqnarray*}
{(x,y)}&=&{t\left(\cos \alpha,\sen \alpha)+(1-t)(\cos (\alpha + \pi), \sen (\alpha + \pi)\right)}\\
{}&=&{\left(t\cos \alpha +(1-t)(\cos (\alpha + \pi),(t\sen \alpha +(1-t)(\sen (\alpha + \pi)\right)}
 \end{eqnarray*}
 Para termos a "meia volta" podemos deixar o ângulo $\alpha$ variar entre $0$ e $\pi$.

Mas como a ideia é que o segmento dê meia volta enquanto percorre uma circunferência, então vou substituir o $\alpha$ por um $\displaystyle \frac{\theta}{2}$ com $\theta$ a variar entre $0$ e $2\pi$

Passo 2: Fazer este segmento girar enquanto percorre uma circunferência de raio $R$

No espaço tridimensional $\R^3$ uma circunferência de raio $R$ centrada na origem e contida no plano $z=0$ pode ser parametrizada por \[ (x,y,z)=(R\cos \theta, R \sen \theta, 0 ) \] com \[0\leq\theta <2\pi\]
Para obter o efeito desejado, basta ver que a "semivolta" é dada apenas nas componentes $x$ e $z$, portanto, a equação do percurso do segmento de recta tem de ser:
\begin{eqnarray*}
{ (x,y,z)}&=&{(R\cos \theta, R \sen \theta, 0 ) + \left(t\cos \left(\frac{\theta}{2}\right)+ (1-t)\cos \left(\frac{\theta}{2} + \pi\right),0,t\sen \left(\frac{\theta}{2}\right) + (1-t)\sen \left(\frac{\theta}{2} + \pi\right)\right)}\\
{}&=&{\left(R\cos \theta +t\cos \left(\frac{\theta}{2}\right)+ (1-t)\cos \left(\frac{\theta}{2} + \pi\right), R \sen \theta, t\sen \left(\frac{\theta}{2}\right)+ (1-t)\sen \left(\frac{\theta}{2} + \pi\right) \right)}
\end{eqnarray*}
Passo 3: conclusão.
Então uma parametrização para esta faixa de Möbius é
\[ (x,y,z)=\left(R\cos \theta +t\cos \left(\frac{\theta}{2}\right)+ (1-t)\cos \left(\frac{\theta}{2} + \pi\right), R \sen \theta, t\sen \left(\frac{\theta}{2}\right)+ (1-t)\sen \left(\frac{\theta}{2} + \pi\right) \right)\] Com $0\leq t\leq 1$ e $0\leq \theta < 2\pi $.

A animação que se segue foi gerada com estas equações no software Geogebra

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• Percebeu a dedução? Se sim, qual o comprimento do segmento de recta que está a girar? Como ficaria a parametrização para um segmento de comprimento $L$, centrado na origem?
• As funções trigonométricas dos ângulos $\left(\displaystyle\frac{\theta}{2} + \pi\right)$ não foram simplificadas de propósito. Se assim o desejar, simplifique a expressão obtida o melhor que conseguir.

O número de divisores, a soma e o produto dos divisores naturais de um número natural

Recentemente encontrei um problema num dos meus programas de calculadora dos anos 90 a correr numa máquina actual. Na verdade o "problema" deve-se a ter sido escrito numa máquina diferente, e ao fabricante (a CASIO) ter feito algumas modificações nas calculadoras.
Problema facilmente resolúvel. O programa chama-se "números" e uma vez introduzido um número natural dá ao utilizador a decomposição em factores primos, a função $\varphi$ de Euler, o número de divisores, a soma dos divisores e o produto dos divisores, e como bónus até podia mostrar todos os divisores do número.
O programa foi escrito para me servir de apoio numa disciplina de Teoria dos Números, visto que na altura eu estava com um sério problema de saúde e tinha sérios problemas em concentrar-me (aliás, foi nesse ano em que pela primeira vez tive de desistir numa frequência e deixar para exame).

A função $\varphi$ de Euler, dá, para cada natural $n$ o número de números naturais entre 1 e $n-1$ (inclusive) que é coprimo com $n$, ou, por outras palavras, \[ \varphi(n)= \#\left\{m\in \N_1:m<n \land \left(m \text{ e } n \text{ são primos entre si }\right)\right\}\]
Abaixo vou propor um exercício sem indicar as fórmulas para o resolver, e que é rapidamente resolvido por esse programa de calculadora

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Exercício:
Considere o número $n=25401600$. Para este número determine:

• Decomposição de $n$ em factores primos
• número de divisores de $n$
• soma dos divisores de $n$
• produto dos divisores de $n$
• $\varphi(n)$
• Os divisores de $n$

• Decomposição de $25401600$ em factores primos:
  $25401600=2^8\times3^4\times5^2\times7^2$
  

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  $25401600$	$2$
  $12700800$	$2$
  $6350400$	$2$
  $3175200$	$2$
  $1587600$	$2$
  $793800$	$2$
  $396900$	$2$
  $198450$	$2$
  $99225$	$3$
  $33075$	$3$
  $11025$	$3$
  $3675$	$3$
  $1225$	$5$
  $245$	$5$
  $49$	$7$
  $7$	$7$
  $1$

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• O número de divisores de $25401600$ é $405$
  

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  número de divisores de $25401600$ = $\tau(25401600)=(8+1)\times(4+1)\times(2+1)\times(2+1)=405$

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• soma dos divisores de $25401600$: $109255377$
  

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  soma dos divisores de $25401600$ = $\displaystyle\frac{2^{8+1}-1}{2-1}\times\displaystyle\frac{3^{4+1}-1}{3-1}\times\displaystyle\frac{5^{2+1}-1}{5-1}\times\displaystyle\frac{7^{2+1}-1}{7-1}=109255377$

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• produto dos divisores de $25401600 \approx 3,050473527\times 10^{1499}$:
  

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  produto dos divisores de $25401600$ = $25401600^{\frac{\tau(25401600)}{2}}=25401600^{\frac{405}{2}}=\\ 3050473527291822531740041345293141334639821433214236708667640373777187466846318630194\\ 9487298892807258697738201087769997689322881899874797172563978299167031514727744821435\\ 3785218826732663217210386436311097076444607289013988610404724784345668111668186460126\\ 9755883592179122020126123180126841834726986839920892479831881375115138978330538550274\\ 8162513638371583118781073185971083062975611933081110856507983196894999341496394996509\\ 3122171965532585683279551649783233634875314042656032015349875338898739359449069030654\\ 4622884131846965196597429175359622576520634929794994536897916292205148207319758296280\\ 8761845614002132058673973259309044737132095162540601973927995102974372145280524186218\\ 4767447352454155282281847316301542497360257699942103612325756704426945835441772896564\\ 4149847241035507859817472009316357318712266669730563110807016171044701603460590155380\\ 6797553649708463435983769227152753101366622137813294565298246991679701906184276978850\\ 6889738588331844184392532814011815755326497291985162421953577246183809913211380900800\\ 4097694439501323737492915590833287001263683936187738812398146247639422730240000000000\\ 0000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000\\ 0000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000\\ 0000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000\\ 0000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000\\ 0000000000000000000000000000000000000000000000000000000
  \approx 3,050473527\times 10^{1499}$

  ---

• $\varphi(25401600)=5806080$
  

  ---

  $\varphi(25401600)=2^{8-1}(2-1)\times3^{4-1}(3-1)\times5^{2-1}(5-1)\times7^{2-1}(7-1)=5806080$

  ---

• $D_{25401600}=\left\{\right.$ 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16, 18, 20, 21, 24, 25, 27, 28, 30, 32, 35, 36, 40, 42, 45, 48, 49, 50, 54, 56, 60, 63, 64, 70, 72, 75, 80, 81, 84, 90, 96, 98, 100, 105, 108, 112, 120, 126, 128, 135, 140, 144, 147, 150, 160, 162, 168, 175, 180, 189, 192, 196, 200, 210, 216, 224, 225, 240, 245, 252, 256, 270, 280, 288, 294, 300, 315, 320,324, 336, 350, 360, 378, 384, 392, 400, 405, 420, 432, 441, 448, 450, 480, 490, 504, 525, 540, 560, 567, 576, 588, 600, 630, 640, 648, 672, 675, 700, 720, 735, 756, 768, 784, 800, 810, 840, 864, 882, 896, 900, 945, 960, 980, 1008, 1050, 1080, 1120, 1134, 1152, 1176, 1200, 1225, 1260, 1280, 1296, 1323, 1344, 1350, 1400, 1440, 1470, 1512, 1568, 1575, 1600, 1620, 1680, 1728, 1764,1792, 1800, 1890, 1920, 1960, 2016, 2025, 2100, 2160, 2205, 2240, 2268, 2304, 2352, 2400, 2450, 2520, 2592, 2646, 2688, 2700,2800, 2835, 2880, 2940, 3024, 3136, 3150, 3200, 3240, 3360, 3456, 3528, 3600, 3675, 3780, 3840, 3920, 3969, 4032, 4050, 4200, 4320, 4410, 4480, 4536, 4704, 4725, 4800, 4900, 5040, 5184, 5292, 5376, 5400, 5600, 5670, 5760, 5880, 6048, 6272, 6300, 6400,6480, 6615, 6720, 6912, 7056, 7200, 7350, 7560, 7840, 7938, 8064, 8100, 8400, 8640, 8820, 8960, 9072, 9408, 9450, 9600, 9800,10080, 10368, 10584, 10800, 11025, 11200, 11340, 11520, 11760, 12096, 12544, 12600, 12960, 13230, 13440, 14112, 14175, 14400, 14700, 15120, 15680, 15876, 16128, 16200, 16800, 17280, 17640, 18144, 18816, 18900, 19200, 19600, 19845, 20160, 20736, 21168, 21600, 22050, 22400, 22680, 23520, 24192, 25200, 25920, 26460, 26880, 28224, 28350, 28800, 29400, 30240, 31360, 31752, 32400, 33075, 33600, 34560, 35280, 36288, 37632, 37800, 39200, 39690, 40320, 42336, 43200, 44100, 44800, 45360, 47040, 48384, 50400, 51840, 52920, 56448, 56700, 57600, 58800, 60480, 62720, 63504, 64800, 66150, 67200, 70560, 72576, 75600, 78400, 79380, 80640, 84672, 86400, 88200, 90720, 94080, 99225, 100800, 103680, 105840, 112896, 113400, 117600, 120960, 127008, 129600, 132300, 134400, 141120, 145152, 151200, 156800, 158760, 169344, 172800, 176400, 181440, 188160, 198450, 201600, 211680, 226800, 235200, 241920, 254016, 259200, 264600, 282240, 302400, 313600, 317520, 338688, 352800, 362880, 396900, 403200, 423360, 453600, 470400, 508032, 518400, 529200, 564480, 604800, 635040, 705600, 725760, 793800, 846720, 907200, 940800, 1016064, 1058400, 1209600, 1270080, 1411200, 1587600, 1693440, 1814400, 2116800, 2540160, 2822400, 3175200, 3628800, 4233600, 5080320, 6350400, 8467200, 12700800, 25401600 $\left.\right\}$

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Programas de calculadora: (.g1m - Modelos Casio fx-9860GII e fx9750GII; .g3m - Modelos Casio fx-cg10 fx-cg20 e fx-cg50; .8xp - Modelos Texas Instruments TI-84Plus CE e CET, .tns - Modelos Texas Instruments nSpire CX e nSpire CX CAS)

.g1m	.g3m	.8xp	.tns

[Editado a 19-10-2021: Adicionei a versão do programa para TI-84Plus CE]

Uma mente diferente...

Recentemente, uma explicanda trouxe-me o problema: \[ \left\{ {\begin{array}{l} {u_1 = 3} \\ {u_{n + 1} = u_n + 2n, \text{ se }n > 1} \end{array}} \right. \] Qual o valor de $\displaystyle\sum\limits_{n = 1}^{100} {u_n}$?
Respondi imediatamente que esse problema estava fora do programa da disciplina dela, mas que podia resolvê-lo na boa, e sem calculadora!
Como estava fora de questão recorrer aos meus conhecimentos de equações com diferenças, tive de ser criativo.
\begin{eqnarray*} {u_1}&{=}&{3}\\ {u_2}&{=}&{3+2}\\ {u_3}&{=}&{3+2+4}\\ {u_4}&{=}&{3+2+4+6}\\ {u_5}&{=}&{3+2+4+6+8}\\ {u_6}&{=}&{3+2+4+6+8+10}\\ {...}&{...}&{...}\\ {u_n}&{=}&{3+2\cdot\frac{(n-1)n}{2}=3+(n-1)n} \end{eqnarray*} Justifiquei-lhe o último passo com a fórmula da soma dos primeiros $n$ termos de uma progressão aritmética.
Para o passo sequinte, o cálculo do somatório, tive de ser um pouco mais criativo.
Comecei por escrever \[\sum\limits_{n = 1}^{100} {u_n}=\sum\limits_{n = 1}^{100} {\left(3+(n-1)n\right)}=300+\sum\limits_{n = 1}^{100} {n^2}-5050\] Justifiquei convenientemente os números $300$ e o $5050$, contando a famosa história de Gauss.
Mas para o somatório dos quadrados, não me lembrava da fórmula de cor, embora me apareça regularmente em exercícios de indução. Sabia deduzi-la com equações com diferenças, coisa que eu tinha de evitar porque a explicanda desconhecia.
Mas ao olhar para o papel quadriculado, ocorreu-me a fórmula: \[\sum\limits_{n = 1}^{100} {n^2}=100\times1+99\times 3+98\times 5 + ... + 1 \times (200-1) = \sum\limits_{n = 1}^{100} {(101-n)(2n-1)}\] Consegue percebê-la sem eu partilhar um desenho?

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E agora, com este desenho?

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Se fizermos $S=\displaystyle\sum\limits_{n = 1}^{100} {n^2}$, a fórmula anterior consegue reescrever-se na forma \[S=-2S+\sum\limits_{n = 1}^{100} {203n}-101\times 100 \] Que nos leva a $3S=1015050$ (número curioso) e portanto $S=338350$.
Logo \[\sum\limits_{n = 1}^{100} {u_n}=300+338350-5050=333600\] Ao que ela respondeu-me: "Percebi, mas não deve ser para resolver assim."

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PS: Quando se foi embora, escrevi um programa na calculadora que confirmou a minha solução...

Uma recta tangente vinda de Briliant.org

Como curiosidade... determine também a equação reduzida dessa recta tangente.

$64+27=91$
Equação reduzida da recta:
\[ y=\frac{64}{27}x-\frac{1024}{729}\]

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Proposta de resolução (por Carlos Paulo A. Freitas)
A equação reduzida da recta tangente à parábola de equação $y=x^2$ no ponto de coordenadas $(a,a^2)$ é $$y=2ax-a^2$$

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Uma equação da recta tangente ao gráfico da curva de equação $y=f(x)$ no ponto de coordenadas $(a,f(a))$ é $$y-f(a)=f'(a) (x-a)$$.
Considerando $f(x)=x^2$, temos $f'(a)=2a$ e então uma equação da recta tangente em $(a,a^2)$ é \[y-a^2=2a(x-a)\] que é equivalente a \[y=2ax-a^2\]

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A equação reduzida da recta tangente à cúbica de equação $y=x^3$ no ponto de coordenadas $(b,b^3)$ é $$y=3b^2x-2b^3$$

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Uma equação da recta tangente ao gráfico da curva de equação $y=f(x)$ no ponto de coordenadas $(b,f(b))$ é $$y-f(b)=f'(b) (x-b)$$.
Considerando $f(x)=x^3$, temos $f'(b)=3b^2$ e então uma equação da recta tangente em $(b,b^3)$ é \[y-b^3=3b^2(x-b)\] que é equivalente a \[y=3b^2x-2b^3\]

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Para que estas duas rectas sejam a mesma temos de ter \[ \left\{ {\begin{array}{l} {2a = 3b^2 } \\ {a^2 = 2b^3 } \end{array}} \right. \] Vamos procurar a solução não nula deste sistema, por outras palavras $a\neq0$ e $b\neq0$ pois isso dar-nos-ia a solução conhecida no enunciado (o eixo $Ox$).
\[ \left\{ {\begin{array}{l} {2a = 3b^2 } \\ {\displaystyle\frac{a}{2} = \displaystyle\frac{2}{3}b} \end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{l} {2a = 3b^2 } \\ {a = \displaystyle\frac{4}{3}b} \end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{l} {\displaystyle\frac{8}{3}b = 3b^2 } \\ {a = \displaystyle\frac{4}{3}b} \end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{l} {0 = 9b^2 - 8b} \\ {a = \displaystyle\frac{4}{3}b} \end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{l} {0 = b\left( {9b - 8} \right)} \\ {a = \displaystyle\frac{4}{3}b} \end{array}} \right.\mathop \Rightarrow \limits_{b \neq 0} \left\{ {\begin{array}{l} {b = \displaystyle\frac{8}{9}} \\ {a = \displaystyle\frac{32}{27}} \end{array}} \right. \] Portanto o declive da recta é $m=2a=\displaystyle\frac{64}{27}$ , logo a resposta ao problema original é $64+27=91$; a ordenada na origem é $-a^2=-\displaystyle\frac{1024}{729}$
Ou seja, a equação reduzida da recta é \[ y=\frac{64}{27}x-\frac{1024}{729}\]

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Um integral à moda de Feynman

O exercício que se segue foi proposto por José Manuel Sacramento no facebook.
A proposta de resolução, é minha!

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Problema: calcular

\[ \int\limits_0^{ + \infty } {\frac{{\ln \left( {\displaystyle\frac{{1 + x^{11} }}{{1 + x^3 }}} \right)}}{{\left( {1 + x^2 } \right)\ln x}}dx} \]

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Proposta de Resolução: (Vou saltar algumas justificações, falo delas num post futuro)
Considere-se o integral paramétrico: \[ I(t)=\int\limits_0^{ + \infty } {\frac{{\ln \left( {\displaystyle\frac{{1 + x^{t} }}{{1 + x^3 }}} \right)}}{{\left( {1 + x^2 } \right)\ln x}}dx} \] Então, derivando em ordem a $t$, temos \begin{eqnarray*} {I'(t)}&{=}&{\int\limits_0^{ + \infty } {\frac{\partial}{\partial t}\left( \frac{{\ln \left( {\displaystyle\frac{{1 + x^{t} }}{{1 + x^3 }}} \right)}}{{\left( {1 + x^2 } \right)\ln x}}\right)dx}}\\ {}&{=}&{\int\limits_0^{ + \infty } { \frac{x^t}{\left( {1 + x^2 } \right)\left( {1 + x^t } \right)}dx}}\\ {}&=&{\int\limits_0^{ + \infty } { \frac{x^t+1-1}{\left( {1 + x^2 } \right)\left( {1 + x^t } \right)}dx}}\\ {}&=&{\int\limits_0^{ + \infty } { \frac{1}{1 + x^2 }}-\int\limits_0^{ + \infty }{\frac{1}{\left( {1 + x^2 } \right)\left( {1 + x^t } \right)}dx}}\\ {}&=&{\frac{\pi}{2}-\int\limits_0^{ + \infty }{\frac{1}{\left( {1 + x^2 } \right)\left( {1 + x^t } \right)}dx}}\\ \end{eqnarray*}. Fazendo a substituição $y=x^{-1}$ no último integral temos \begin{eqnarray*} {I'(t)}&{=}&{\frac{\pi}{2}-I'(t)}\\ \end{eqnarray*}. Ou seja, \[2I'(t)=\frac{\pi}{2}\] \[\Leftrightarrow I'(t)=\frac{\pi}{4}\] Portanto \[I(t)=\frac{\pi}{4}t+C\] Inspeccionando a definição de $I(t)$ vemos ainda que $I(3)=0$, isso dá-nos $C=-\displaystyle\frac{3\pi}{4}$ ou seja \[I(t)=\frac{\pi}{4}t-\frac{3\pi}{4}\] Assim sendo, \[ \int\limits_0^{ + \infty } {\frac{{\ln \left( {\displaystyle\frac{{1 + x^{11} }}{{1 + x^3 }}} \right)}}{{\left( {1 + x^2 } \right)\ln x}}dx}=I(11)=\frac{\pi}{4}\times11-\frac{3\pi}{4}=\frac{8\pi}{4}=2\pi \]

Distância de um ponto a um plano (I).

Esta demonstração é inspirada na resolução de um "problema tipo" do exame de Matemática A realizado no dia 25/06/2018... em todo o território português
Considere-se o ponto $P$ de coordenadas $(x_P,y_P,z_P)$ e o plano de equação $ax+by+cz+d=0$. Vamos assumir que o ponto não pertence ao plano e que $(a,b,c)$ é um vector não nulo
A recta perpendicular ao plano que passa em $P$ tem como possível equação vectorial:

\[(x,y,z)=(x_P,y_P,z_P)+k(a,b,c); k \in \R\].
Assim, um ponto genérico desta recta tem por coordenadas $( x_P+ka,y_P+kb,z_P+kc)$
Logo, o ponto $I (x_I,y_I,z_I)$ de intersecção da recta com o plano verifica a condição:
\begin{eqnarray*} {a(x_P+ka)+b(y_P+kb)+c(z_P+kc)+d}&{=}&{0}\\ {\Leftrightarrow ax_P+by_P+cz_P+k(a^2+b^2+c^2)+d}&{=}&{0}\\ {\Leftrightarrow k}&{=}&{-\frac{ax_P+by_P+cz_P+d}{a^2+b^2+c^2}} \end{eqnarray*} Portanto \[(x_I,y_I,z_I)=(x_P,y_P,z_P)-\frac{ax_P+by_P+cz_P+d}{a^2+b^2+c^2}(a,b,c)\] ou, equivalentemente \[\frac{ax_P+by_P+cz_P+d}{a^2+b^2+c^2}(a,b,c)=(x_P-x_I,y_P-y_I,z_P-z_I)\] Assim sendo,$\overline{IP}$, a distância de $P$ ao plano verifica: \[\left\|\frac{ax_P+by_P+cz_P+d}{a^2+b^2+c^2}(a,b,c)\right\|=\left\|(x_P-x_I,y_P-y_I,z_P-z_I)\right\|\] \[\Leftrightarrow \frac{\left|ax_P+by_P+cz_P+d\right|}{a^2+b^2+c^2}\left\|(a,b,c)\right\|=\overline{IP}\] \[\Leftrightarrow \overline{IP}=\frac{\left|ax_P+by_P+cz_P+d\right|}{a^2+b^2+c^2} \sqrt{a^2+b^2+c^2}=\frac{\left|ax_P+by_P+cz_P+d\right| }{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}\] Então a distância do ponto de coordenadas $(x_P,y_P,z_P)$ ao plano de equação $ax+by+cz+d=0$ é dada por: \[\text{dist}=\frac{\left|ax_P+by_P+cz_P+d\right| }{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}\] Note-se que a fórmula mantém-se válida se o ponto $P$ pertencer ao plano.

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AVISO: Esta fórmula não está no actual programa de Matemática A, logo não pode ser usada nos exames do ensino secundário!

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(Post originalmente publicado no blog cpmathexplicações)

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Deixo aqui uma minha proposta de resolução do referido exame.

Raizes quadradas de um número complexo (I).

Seja $z=a+bi$ com $a$ e $b$ reais tais que $b\neq 0$ e $a^2+b^2\neq 0$, e $i$ a unidade imaginária.
As raízes quadradas de $z$ são os números complexos $w=x+yi$ tais que $w^2=z$, ou seja: \begin{eqnarray*} {(x+yi)^2}&=&{a+bi}\\ {\Leftrightarrow x^2-y^2+2xyi}&{=}&{a+bi} \end{eqnarray*} Portanto \[ x^2-y^2=a \wedge 2xy=b\] Sendo $b\neq 0$ temos que nem $x$ nem $y$ são nulos, portanto temos $y=\displaystyle\frac{b}{2x}$ e então \[x^2-y^2=a \Leftrightarrow x^2-\left(\frac{b}{2x}\right)^2=a\Leftrightarrow 4x^4-4ax^2-b^2=0\] que é uma equação biquadrada e portanto: \[x^2=\displaystyle\frac{4a\pm\sqrt{(4a)^2-4\times4\times(-b^2)}}{2\times4}=\displaystyle\frac{a\pm\sqrt{a^2+b^2}}{2}\] Note-se que sendo $b\neq0$ a solução com um sinal $-$ não faz sentido e portanto: \[x=\pm\sqrt{\displaystyle\frac{a+\sqrt{a^2+b^2}}{2}}\] E então \[y=\frac{b}{2x}=\frac{b}{\pm2\sqrt{\displaystyle\frac{a+\sqrt{a^2+b^2}}{2}}}=\pm\frac{b\sqrt{2}}{2\sqrt{a+\sqrt{a^2+b^2}}}\] Ou seja, as raizes quadradas de $z=a+bi$ são complexos da forma \[w=\pm\left(\sqrt{\displaystyle\frac{a+\sqrt{a^2+b^2}}{2}}+\frac{b\sqrt{2}}{2\sqrt{a+\sqrt{a^2+b^2}}}i\right)\] se $b=0$ as raízes são da forma $w=\pm \sqrt{a} $.

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Note-se que não podemos dizer que a fórmula se mantém válida se $b=0$ pois, se $a<0$ e $b=0$, \[\ReP{w}=2\sqrt{a+\sqrt{a^2+b^2}}=0\] \\ \[\ImP{w}=\pm\displaystyle\frac{b\sqrt{2}}{2\sqrt{a+\sqrt{a^2+b^2}}}=\frac{0}{0} \]

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Exemplos de aplicação:

• As raízes quadradas de -8+6i são \[w=\pm\left(\sqrt{\displaystyle\frac{-8+\sqrt{8^2+6^2}}{2}}+\frac{6\sqrt{2}}{2\sqrt{-8+\sqrt{8^2+6^2}}}i\right)=\pm(1+3i)\]
• As raízes quadradas de 3+4i são \[w=\pm\left(\sqrt{\displaystyle\frac{3+\sqrt{3^2+4^2}}{2}}+\frac{4\sqrt{2}}{2\sqrt{3+\sqrt{3^2+4^2}}}i\right)=\pm(2+i)\]
• As raízes quadradas de 1+i são \[w=\pm\left(\sqrt{\displaystyle\frac{1+\sqrt{1^2+1^2}}{2}}+\frac{1\sqrt{2}}{2\sqrt{1+\sqrt{1^2+1^2}}}i\right)=\pm\left(\sqrt{\frac{1+\sqrt{2}}{2}}+\frac{\sqrt{2}}{2\sqrt{1+\sqrt{2}}}i\right)\] Note-se que estes são os valores de $\sqrt[4]{2}e^{i\frac{\pi}{8}}$ e $\sqrt[4]{2}e^{i\frac{9\pi}{8}}$
• Para ter valores de $\cos \frac{\pi}{12}$ e $\sen \frac{\pi}{12}$ basta ver qual a raiz quadrada de $e^{i\frac{\pi}{6}}$ que tem afixo no primeiro quadrante, ou seja, com partes real e imaginária positivas. Ora $e^{i\frac{\pi}{6}}=\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{2}i$, logo a raíz que nos interessa é: \begin{eqnarray*} {w}& = &{\sqrt {\frac{{\frac{{\sqrt 3 }}{2} + 1}}{2}} + \frac{{\frac{1}{2}\sqrt 2 }}{{2\sqrt {\frac{{\sqrt 3 }}{2} + 1} }}i }\\ {}&=&{ \sqrt {\frac{{\sqrt 3 + 2}}{4}} + \frac{2}{{4\sqrt {\sqrt 3 + 2} }}i }\\ {}&=&{\frac{{\sqrt {\sqrt 3 + 2} }}{2} + \frac{1}{{2\sqrt {\sqrt 3 + 2} }}i}\\ {}&=&{\frac{{\frac{{\sqrt 6 + \sqrt 2 }}{2}}}{2} + \frac{1}{{2\left( {\frac{{\sqrt 6 + \sqrt 2 }}{2}} \right)}}i}\\ {}&=&{\frac{{\sqrt 6 + \sqrt 2 }}{4} + \frac{{\sqrt 6 - \sqrt 2 }}{4}i} \end{eqnarray*} Que nos indica que \[\cos \left(\frac{\pi}{12}\right)=\frac{\sqrt 6 + \sqrt 2 }{4}\] \[ \sen\left(\frac{\pi}{12}\right)= \frac{\sqrt 6 - \sqrt 2 }{4}\] Foi feito o seguinte cálculo auxiliar: \[ \sqrt {\sqrt 3 + 2} = \sqrt {\sqrt 3 + \frac{3}{2} + \frac{1}{2}} = \sqrt {\sqrt 3 + \left( {\sqrt {\frac{3}{2}} } \right)^2 + \left( {\sqrt {\frac{1}{2}} } \right)^2 } = \sqrt {\left( {\sqrt {\frac{3}{2}} } \right)^2 + 2\sqrt {\frac{3}{2}} \sqrt {\frac{1}{2}} + \left( {\sqrt {\frac{1}{2}} } \right)^2 } = \] \[ = \sqrt {\left( {\sqrt {\frac{3}{2}} + \sqrt {\frac{1}{2}} } \right)^2 } = \sqrt {\frac{3}{2}} + \sqrt {\frac{1}{2}} = \sqrt {\frac{{3 \times 2}}{{2 \times 2}}} + \sqrt {\frac{{1 \times 2}}{{2 \times 2}}} = \frac{{\sqrt 6 + \sqrt 2 }}{2} \]

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Actualização (10/12/2019): Está prevista uma nova edição deste post para breve...

As séries de Maclaurin das secantes trigonométrica e hiperbólica Introdução aos números de Euler

Eu vou começar pela secante trigonométrica.
Sabe-se que \[\sec(x)=\frac{1}{\cos\left(x\right)}\] como a função cosseno é par, então a função secante é par.
(Caro leitor, se isto não é óbvio, recomendo-lhe que vá ler outra coisa)

Notação:     $f^{(N)}(a)$ designa a derivada de ordem $N$ de $f$ no ponto $a$.

Se $f$ é uma função par, então \[f^{(2n+1)}(0)=0,\text{ } \forall n\in\N_0\]

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Como $f$ é par, então $f(x)=f(-x)$, logo $f'(x)=-f'(-x)$.
Tomando $x=0$ temos \begin{eqnarray*} {}&{}&{f'(0)=-f'(0)}\\ {\Leftrightarrow}&{}&{2f'(0)=0}\\ {\Leftrightarrow}&{}&{f'(0)=0} \end{eqnarray*} Para $n\in \N_0$, sendo $f$ par, procede-se da mesma forma.
Temos que: \begin{eqnarray*} f^{(2n+1)}(-x)&=&(-1)^{2n+1}f^{(2n+1)}(x)\\ {}&=&{-f^{(2n+1)}(x)} \end{eqnarray*} toma-se $x=0$ e mais uma vez: \begin{eqnarray*} {}&{}&{f^{(2n+1)}(0)=-f^{(2n+1)}(0)}\\ {\Leftrightarrow}&{}&{2f^{(2n+1)}(0)=0}\\ {\Leftrightarrow}&{}&{f^{(2n+1)}(0)=0} \end{eqnarray*}

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Isto significa que a expansão em série de MacLaurin da secante será da forma \[ f(x)=\sum\limits_{n = 0}^\infty {\frac{{f^{\left( {2n} \right)} \left( 0 \right)x^{2n} }}{{\left( {2n} \right)!}}} \] Seja $a_n=f^{\left( {2n}\right)}\left( 0 \right)$ onde $f(x)=\sec\left(x\right)$
Como \[\sec(x)\times\cos(x)=1\] (Obviamente... para os valores de $x$ para os quais $\cos(x)\neq 0$ )
Então \[ \left( {\sum\limits_{n = 0}^\infty {\frac{{a_n x^{2n} }}{{\left( {2n} \right)!}}} } \right)\left( {\sum\limits_{n = 0}^\infty {\frac{{\left( { - 1} \right)^n x^{2n} }}{{\left( {2n} \right)!}}} } \right) = 1 \] Pela fórmula da série produto de Cauchy temos que \begin{eqnarray*} {\left( {\sum\limits_{n = 0}^\infty {\frac{{a_n x^{2n} }}{{\left( {2n} \right)!}}} } \right)\left( {\sum\limits_{n = 0}^\infty {\frac{{\left( { - 1} \right)^n x^{2n} }}{{\left( {2n} \right)!}}} } \right)}& = &{\sum\limits_{n = 0}^\infty {\left( {\sum\limits_{l = 0}^n {\frac{{a_l \left( { - 1} \right)^{n - l} }}{{\left( {2l} \right)!\left( {2n - 2l} \right)!}}} } \right)x^{2n} } }\\ {}&=&{\sum\limits_{n = 0}^\infty {\left( {\frac{1}{{\left( {2n} \right)!}}\sum\limits_{l = 0}^n {\frac{{a_l \left( {2n} \right)!\left( { - 1} \right)^{n - l} }}{{\left( {2l} \right)!\left( {2n - 2l} \right)!}}} } \right)x^{2n} } }\\ {}&=&{\sum\limits_{n = 0}^\infty {\left( {\frac{1}{{\left( {2n} \right)!}}\sum\limits_{l = 0}^n {\left[ { \combin{2n}{2l}a_l } \left( { - 1} \right)^{n - l}\right]} } \right)x^{2n} } }\\ \end{eqnarray*} Portanto \[{\sum\limits_{n = 0}^\infty {\left( {\frac{1}{{\left( {2n} \right)!}}\sum\limits_{l = 0}^n {\left[ { \combin{2n}{2l}a_l } \left( { - 1} \right)^{n - l}\right]} } \right)x^{2n} } }=1\] Como $a_0=\sec\left(0\right)=1$ \[{\sum\limits_{n = 1}^\infty {\left( {\frac{1}{{\left( {2n} \right)!}}\sum\limits_{l = 0}^n {\left[ { \combin{2n}{2l}a_l } \left( { - 1} \right)^{n - l}\right]} } \right)x^{2n} } }=0\] então, para cada $n\in\N_1$ \[\sum\limits_{l = 0}^n {\left[ { \combin{2n}{2l}a_l } \left( { - 1} \right)^{n - l}\right]}=0\] \[\Leftrightarrow a_n=\sum\limits_{l = 0}^{n-1} {\left[ { \combin{2n}{2l}a_l } \left( { - 1} \right)^{n - l+1}\right]}\] Fórmula de recorrência que torna mais fácil a dedução dos coeficientes...até sem calculadora!
\begin{eqnarray*} {a_1}&=&{ \combin{2}{0}a_0 \left( { - 1} \right)^{1 - 0+1}=a_0=1}\\ {a_2}&=&{ \combin{4}{0}a_0 \left( { - 1} \right)^{2 - 0+1}+\combin{4}{2}a_1 \left( { - 1} \right)^{2 - 1+1}=-a_0+6a_1=5}\\ {a_3}&=&{ \combin{6}{0}a_0 \left( { - 1} \right)^{3 - 0+1}+\combin{6}{2}a_1 \left( { - 1} \right)^{3 - 1+1}+\combin{6}{4}a_2 \left( { - 1} \right)^{3 - 2+1}=a_0-15a_1+15a_2=1-15+75=61}\\ a_{4}&=&1385\\ a_{5}&=&50521\\ a_{6}&=&2702765\\ {}&{\vdots }&{} \end{eqnarray*} Como \[\ch (x)=\frac{e^x+e^{-x}}{2}=\frac{e^{i\cdot(-i)x}+e^{i\cdot ix}}{2}=\cos(ix)\] então \[\sech (x)=\sec(ix)={\sum\limits_{n = 0}^\infty {\frac{{a_n (ix)^{2n} }}{{\left( {2n} \right)!}}} }={\sum\limits_{n = 0}^\infty {\frac{(-1)^n{a_n x^{2n} }}{{\left( {2n} \right)!}}} }\]

Os números de Euler

Os números de Euler são uma sucessão $(E_n)$ de números inteiros definida pela série de Maclaurin da secante hiperbólica: \[ \sech x=\sum\limits_{n = 0}^\infty \frac{E_n}{n!}x^n \] Então, tendo em conta o que foi feito até agora neste texto:

• Se $n$ é impar então $E_n=0$
• Se $n$ é par então $E_n=(-1)^{n/2}{a_{n/2}}$

Uma forma mais simpática de escrever isto será:

• \[E_{2n+1}=0\]
• \[E_{2n}=(-1)^{n}{a_{n}}=\sum\limits_{l = 0}^{n-1} {\left[ \combin{2n}{2l}a_l \left( - 1\right)^{1-l}\right]} =-\sum\limits_{l = 0}^{n-1} {\left[ \combin{2n}{2l} E_{2l}\right]}\]

\[\forall n \in \N_0 \]

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[ 3 de Abril de 2018]
Abaixo deixo aqui uma lista dos primeiros números de Euler, gerada em Python. Os números de indice impar são zero, portanto omiti-os. \[ \begin{eqnarray*} {E_{0}}&{=}&{1}\\ {E_{2}}&{=}&{1}\\ {E_{4}}&{=}&{5}\\ {E_{6}}&{=}&{61}\\ {E_{8}}&{=}&{1385}\\ {E_{10}}&{=}&{50521}\\ {E_{12}}&{=}&{2702765}\\ {E_{14}}&{=}&{199360981}\\ {E_{16}}&{=}&{19391512145}\\ {E_{18}}&{=}&{2404879675441}\\ {E_{20}}&{=}&{370371188237525}\\ {E_{22}}&{=}&{69348874393137901}\\ {E_{24}}&{=}&{15514534163557086905}\\ {E_{26}}&{=}&{4087072509293123892361}\\ {E_{28}}&{=}&{1252259641403629865468285}\\ {E_{30}}&{=}&{441543893249023104553682821}\\ {E_{32}}&{=}&{177519391579539289436664789665}\\ {E_{34}}&{=}&{80723299235887898062168247453281}\\ {E_{36}}&{=}&{41222060339517702122347079671259045}\\ {E_{38}}&{=}&{23489580527043108252017828576198947741}\\ {E_{40}}&{=}&{14851150718114980017877156781405826684425}\\ {E_{42}}&{=}&{10364622733519612119397957304745185976310201}\\ {E_{44}}&{=}&{7947579422597592703608040510088070619519273805}\\ {E_{46}}&{=}&{6667537516685544977435028474773748197524107684661}\\ {E_{48}}&{=}&{6096278645568542158691685742876843153976539044435185}\\ {E_{50}}&{=}&{6053285248188621896314383785111649088103498225146815121}\\ {E_{52}}&{=}&{6506162486684608847715870634080822983483644236765385576565}\\ {E_{54}}&{=}&{7546659939008739098061432565889736744212240024711699858645581}\\ {E_{56}}&{=}&{9420321896420241204202286237690583227209388852599646009394905945}\\ {E_{58}}&{=}&{12622019251806218719903409237287489255482341061191825594069964920041}\\ {E_{60}}&{=}&{18108911496579230496545807741652158688733487349236314106008095454231325}\\ {E_{62}}&{=}&{27757101702071580597366980908371527449233019594800917578033782766889782501}\\ {E_{64}}&{=}&{45358103330017889174746887871567762366351861519470368881468843837919695760705}\\ {E_{66}}&{=}&{78862842066617894181007207422399904239478162972003768932709757494857167945376961}\\ {E_{68}}&{=}&{145618443801396315007150470094942326661860812858314932986447697768064595488862902085}\\ {E_{70}}&{=}&{285051783223697718732198729556739339504255241778255239879353211106980427546235397447421}\\ {E_{72}}&{=}&{590574720777544365455135032296439571372033016181822954929765972153659805050264501891063465}\\ {E_{74}}&{=}&{1292973664187864170497603235938698754076170519123672606411370597343787035331808195731850937881}\\ {E_{76}}&{=}&{2986928183284576950930743652217140605692922369370680702813812833466898038172015655808960288452845}\\ {E_{78}}&{=}&{7270601714016864143803280651699281851647234288049207905108309583687335688017641546191095009395592341}\\ {E_{80}}&{=}&{18622915758412697044482492303043126011920010194518556063577101095681956123546201442832293837005396878225}\\ {E_{82}}&{=}&{50131049408109796612908693678881009420083336722220539765973596236561571401154699761552253189084809951554801}\\ {E_{84}}&{=}&{141652557597856259916722069410021670405475845492837912390700146845374567994390844977125987675020436380612547605}\\ {E_{86}}&{=}&{419664316404024471322573414069418891818962628391683907039212228549032921853217838146608053808786365440570254969261}\\ {E_{88}}&{=}&{1302159590524046398125858691330818681356757613986610030678095758242404286633729262297123677199743591748006204646868985}\\ {E_{90}}&{=}&{4227240686139909064705589929214593102933845388672369082676644542650248228369590525634078984302153217507945782396923579721}\\ {E_{92}}&{=}&{14343212791976583406133682640578565858579882148843159111106574955509790196812618254848857854461550714631444034921517907250365}\\ {E_{94}}&{=}&{50817990724580425164559757643090736003482435671513413926813239886828210876247074897752122164140484881907534297068189565042330181}\\ {E_{96}}&{=}&{187833293645293026402007579184179892539001444997005361637080870116823642645755601678579681159136078780812233831035373097528077899745}\\ {E_{98}}&{=}&{723653438103385777657187661736782292986259565181067232760712431055015669043224647591792236141452770950810842191949814198134897708964641}\\ {E_{100}}&{=}&{2903528346661097497054603834764435875077553006646158945080492319146997643370625023889353447129967354174648294748510553528692457632980625125} \end{eqnarray*} \]