Das séries de Fourier a uma fórmula recursiva para a Função zeta de números pares (positivos).

“The only way to learn mathematics is to do mathematics.” - Paul Halmos

Hoje, vou começar por rever ou mesmo introduzir, três conceitos: Arranjos, séries de Fourier e função zeta de Euler (A famosa zeta de Riemann é uma extensão desta função ao conjunto dos complexos). E com eles vou calcular a zeta de $2,4,6,8,...,2n,...$ de números pares positivos.

Sejam $n,p\in\N_1$ com $p\leq n$. Dado um conjunto de cardinal $n$, arranjos de $n$ elementos $p$ a $p$ (ou só "arranjos de $n$ $p$ a $p$") é o número de sequências de $p$ elementos distintos que é possível formar com elementos desse conjunto. Esse número representa-se por \[ \nPr{n}{p} \] Tem-se que \[ \nPr{n}{p} =n \times \left(n-1\right)\times\cdots\times \left(n-p+1\right)\] ou equivalentemente \[ \nPr{n}{p} =\frc{n!}{\left(n-p+1\right)!}\]

Note-se que o número $p$ é o número de factores do produto. Por exemplo $\nPr{2021}{3}$ é um produto com três factores: $$\nPr{2021}{3}=2021\times2020\times2019$$ (É por isso que esta definição está aqui! Esta observação vai ser útil no cálculo de um integral.)

A função zeta de Euler é a função de domínio $]1,+\infty[$ definida por \[ \zeta (s) = \sum\limits_{n = 1}^{ + \infty } {\frc{1}{{n^s }}} \text{ }\forall s\in]1,+\infty[ \] Note-se que como a função é definida em cada ponto por uma série de Dirichlet, a função está bem definida (também há quem lhes chame séries-p, mas acho esse nome péssimo, e portanto nos meus textos, essa designação está banida).

Uma série de Dirichlet é uma série da forma $\sum\limits_{n = n_0}^{ + \infty } {\frc{1}{{n^\alpha }}}$, para $n_0\in\N_1$, e converge se e só se $\alpha>1$ )

No texto de hoje, vou limitar-me à humilde tarefa de calcular o valor exacto de $\zeta (2k)$ para $k$ natural, no domínio da função. (Tenciono voltar a usar esta função em textos futuros, recorrendo a outras ferramentas, mas por hoje, isto é suficiente)

Seja $f:\R\to\R$ uma função seccionalmente diferenciável e periódica de período $2L$. Então a função possui uma representação em série de Fourier:
\[ \tilde{f}(x) = a_0 + \sum\limits_{n = 1}^{ + \infty } {\left[{a_n \cos \left( {\frc{{n\pi }}{L}x} \right) + b_n \sen \left( {\frc{{n\pi }}{L}x} \right)}\right]} \] em que \[ \tilde{f}\left( x \right) = \left\{ {\begin{array}{cl} {f\left( x \right)}&{ \text{se a função }f\text{ for contínua em }x} \\ {}&{} \\ {\frc{1}{2}\left( {\mathop {\lim }\limits_{t \to x^ - } f\left( t \right) + \mathop {\lim }\limits_{t \to x^ + } f\left( t \right)} \right)} &{ \text{se a função }f\text{ tiver uma descontinuidade em }x} \\ \end{array}} \right. \] Os coeficientes $a_n$ e $b_n$ calculam-se pelas fórmulas de Euler: \[ a_0 = \frc{1}{{2L}}\int\limits_{ - L}^L {f\left( x \right)dx} \] \[ a_n = \frc{1}{L}\int\limits_{ - L}^L {f\left( x \right)\cos \left( {\frac{{n\pi }}{L}x} \right)dx} \] \[ b_n = \frc{1}{L}\int\limits_{ - L}^L {f\left( x \right)\sen \left( {\frac{{n\pi }}{L}x} \right)dx} \]

A primeira parte deste texto costuma (ou costumava) ser um exercício comum em cadeiras onde se introduzem séries de Fourier.
Eu vou saltar algumas deduções, mas o leitor mais curioso pode consultar qualquer livro que introduza o assunto.
Exercício:

Considere-se a função $f$ de domínio $\R$, tal que $f(x)=x^2$ em $]-\pi,\pi]$, e $f$ é periódica de período $2\pi$.
Obtenha o desenvolvimento de $f$ em série de Fourier.


Uma possível resolução:

Se aplicarmos as fórmulas de Euler acima obtemos:
\[a_0=\frc{\pi^2}{3}\] \[a_n=\frc{4}{n^2}(-1)^n\] \[b_n=0 \text{ a função integranda é ímpar, e está a ser integrada num intervalo do tipo }[-L,L]\] E estes resultados permitem-nos escrever \[ f(x) = \frc{{\pi ^2 }}{3} + 4\sum\limits_{n = 1}^{ + \infty } {\left[{\frc{{( - 1)^n }}{{n^2 }}\cos \left( {nx} \right)}\right]} \]

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E pronto. O exercício está resolvido.:
Mas, sabemos que $f(\pi)=\pi^2$, logo, substituindo na fórmula obtida temos \[ \pi ^2 = \frac{{\pi ^2 }}{3} + 4\sum\limits_{n = 1}^{ + \infty } {\frac{1}{{n^2 }}} \] \[ \Leftrightarrow \frc{{2\pi ^2 }}{3} = 4\sum\limits_{n = 1}^{ + \infty } {\frc{1}{{n^2 }}} \] \[ \Leftrightarrow \frc{{\pi ^2 }}{6} = \sum\limits_{n = 1}^{ + \infty } {\frc{1}{{n^2 }}} \] Se recordarmos a definição da função zeta (de Euler), acabei de mostrar que \[\zeta\left(2\right)= \frc{{\pi ^2 }}{6}\]

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Recorrendo a séries de Fourier, é possível calcular os valores exactos das somas de muitas outras séries, incluindo valores da função zeta.
Vamos a mais um exemplo. Considere-se agora a função $g$ de domínio $\R$, tal que $g(x)=x^{4}$ em $]-\pi,\pi]$, e $g$ é periódica de período $2\pi$.
Se aplicarmos as fórmulas de Euler obtemos: \[a_0=\frc{\pi^4}{5}\] \[a_n=8\left(\frc{\pi^2}{n^2}-\frc{6}{n^4}\right)(-1)^n\] \[b_n=0\] então \[ g(x) = \frc{\pi^4}{5} + 8\sum\limits_{n = 1}^{ + \infty } {\left[{\left(\frc{\pi^2}{n^2}-\frc{6}{n^4}\right)(-1)^n\cos \left( {nx} \right)}\right]} \] Como no exercício anterior, se fizermos $x=\pi$ temos \[ \pi^4 = \frc{\pi^4}{5} + 8\sum\limits_{n = 1}^{ + \infty } {\left[{\left(\frc{\pi^2}{n^2}-\frc{6}{n^4}\right)}\right]} \] \[\Leftrightarrow \frac{{4\pi ^4 }}{5} = 8\left( {\pi ^2 \sum\limits_{n = 1}^{ + \infty } {\frc{1}{{n^2 }}} - 6\sum\limits_{n = 1}^{ + \infty } {\frc{1}{{n^4 }}} } \right) \] Resolvendo em ordem a $\sum\limits_{n = 1}^{ + \infty } {\frac{1}{{n^4 }}}$ temos \[ \sum\limits_{n = 1}^{ + \infty } {\frac{1}{{n^4 }}} = \frac{{\pi ^4 }}{{90}} \] ou seja, \[ \zeta(4) = \frac{{\pi ^4 }}{{90}} \] Depois destes dois exemplos, consideremos um caso mais geral: Seja $k\in\N$, e considere-se a função $h$ de domínio $\R$, tal que $h(x)=x^{2k}$ em $]-\pi,\pi]$, e $h$ é periódica de período $2\pi$.
Se aplicarmos as fórmulas de Euler obtemos: \[ a_0 = \frc{\pi ^{2k}}{2k + 1} \] \[ b_{n} = \frc{1}{\pi}\int\limits_{ - \pi }^\pi {x^{2k} \sen \left( {nx} \right)dx}=0 \text { pois a função integranda é ímpar.} \] Quanto a uma expressão para $(a_n)$, a tarefa não é simples. Mas eu fiz as contas e tenho aqui uma expressão. \[ a_{n} = \frc{1}{\pi}\int\limits_{ - \pi }^\pi {x^{2k} \cos \left( {nx} \right)}dx = 2\sum\limits_{j = 1}^k {\left[ {\frc{{\left( { - 1} \right)^{n + j + 1} \pi ^{2k - 2j} }}{{n^{2j} }} \cdot\nPr{2k}{2j-1} } \right]} \] Se tiver curiosidade sobre o cálculo de $a_n$, utilize o botão que se segue.

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A fórmula de primitivação por partes diz-nos que \[ \int {x^m \cos \left( {\alpha x} \right)} dx = \frc{{\sen \left( {\alpha x} \right)}}{\alpha }x^m - \frc{m}{\alpha }\int {x^{m - 1} \sen \left( {\alpha x} \right)} dx \] \[ \int {x^m \sen \left( {\alpha x} \right)} dx = - \frc{{\cos \left( {\alpha x} \right)}}{\alpha }x^m + \frc{m}{\alpha }\int {x^{m - 1} \cos \left( {\alpha x} \right)} dx \] As primitivas \[\int {x^{2k} \cos \left( {\alpha x} \right)} dx\] calculam-se alternando estas duas fórmulas. Para $k=1$ temos \[ \int {x^2 \cos \left( {\alpha x} \right)} dx = \left( {\frc{{x^2 }}{\alpha } - \frc{2}{{\alpha ^3 }}} \right)\sen \left( {\alpha x} \right) + \frc{{2x}}{{\alpha ^2 }}\cos \left( {\alpha x} \right) + C;C\in\R \] Para $k=2$ temos \[ \int {x^4 \cos \left( {\alpha x} \right)} dx = \left( {\frc{{x^4 }}{\alpha } - \frc{{4 \times 3x^2 }}{{\alpha ^3 }} + \frc{{4 \times 3 \times 2 \times 1}}{{\alpha ^5 }}} \right)\sen \left( {\alpha x} \right) + \left( {\frc{{4x^3 }}{{\alpha ^2 }} - \frc{{4 \times 3 \times 2 x}}{{\alpha ^4 }}} \right)\cos \left( {\alpha x} \right) + C;C\in\R \] Para $k=3$ temos \[ \int {x^6 \cos \left( {\alpha x} \right)} dx = \left( {\frc{{x^6 }}{\alpha } - \frc{{6 \times 5x^4 }}{{\alpha ^3 }} + \frc{{6 \times 5 \times 4 \times 3x^2}}{{\alpha ^5 }} - \frc{{6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}}{{\alpha ^7 }}} \right)\sen \left( {\alpha x} \right) \\ + \left( {\frc{{6x^5 }}{{\alpha ^2 }} - \frc{{6 \times 5 \times 4x^3 }}{{\alpha ^4 }} + \frc{{6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2x}}{{\alpha ^6 }}} \right)\cos \left( {\alpha x} \right) + C;C\in\R \] (Estas contas devem ser feitas à mão, sem recorrer a software de computação algébrica, ou perderão os detalhes que estão nas fórmulas que apresentei - Eu fiz as contas, tenho-as aqui comigo, só não partilho os passos todos, porque quero deixar parte da diversão para o leitor, e porque não me apetece passar umas horas a escrever $\LaTeX$ :) ) \[\cdots\] Começa a vislumbrar-se o padrão \[ \int {x^{2k} \cos \left( {\alpha x} \right)} dx = \left( {\sum\limits_{j = 0}^k {\frc{{\left( { - 1} \right)^j \nPr{2k}{2j}x^{2k - 2j} }}{{\alpha ^{2j + 1} }}} } \right)\sin \left( {\alpha x} \right) + \left( {\sum\limits_{j = 1}^k {\frc{{\left( { - 1} \right)^{j + 1} \nPr{2k}{2j-1}x^{2k - 2j + 1} }}{{\alpha ^{2j} }}} } \right)\cos \left( {\alpha x} \right) + C; C\in\R \] Depois, só para garantir a validade das fórmulas, devem provar-se por indução em $k$.
Agora basta recorrer a esta fórmula para calcular o integral \[a_{n} = \frc{1}{\pi}\int\limits_{ - \pi }^\pi {x^{2k} \cos \left( {nx} \right)}dx \] e o resultado é imediato.

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Assim sendo, temos que \[ h\left( x \right) = \frac{{\pi ^{2k} }}{{2k + 1}} + \sum\limits_{n = 1}^{ + \infty } {\left[ {2\sum\limits_{j = 1}^k {\left[ {\frac{{\left( { - 1} \right)^{n + j + 1} \pi ^{2k - 2j} }}{{n^{2j} }} \cdot \nPr{2k}{2j-1}} \right]} \left( { - 1} \right)^n \cos \left( {nx} \right)} \right]} \] Como $h(\pi)=\pi^{2k}$ temos então que \[ \pi^{2k} = \frac{{\pi ^{2k} }}{{2k + 1}} + \sum\limits_{n = 1}^{ + \infty } {\left[ {2\sum\limits_{j = 1}^k {\left[ {\frac{{\left( { - 1} \right)^{ j + 1} \pi ^{2k - 2j} }}{{n^{2j} }} \cdot \nPr{2k}{2j-1}} \right]} } \right]} \] \[\Leftrightarrow \frac{{2k\pi ^{2k} }}{{2k + 1}} = \sum\limits_{n = 1}^{ + \infty } {\left[ {2\sum\limits_{j = 1}^k {\left[ {\frac{{\left( { - 1} \right)^{ j + 1} \pi ^{2k - 2j} }}{{n^{2j} }} \cdot \nPr{2k}{2j-1}} \right]} } \right]} \] \[\Leftrightarrow \frac{{k\pi ^{2k} }}{{2k + 1}} = \sum\limits_{j = 1}^k \sum\limits_{n = 1}^{ + \infty } { {\left[ {\frac{{\left( { - 1} \right)^{ j + 1} \pi ^{2k - 2j} }}{{n^{2j} }} \cdot \nPr{2k}{2j-1}} \right]} } \] \[\Leftrightarrow \frac{k}{{2k + 1}} = \sum\limits_{j = 1}^k {\left[ {\frac{{\left( { - 1} \right)^{j + 1}\cdot \nPr{2k}{2j-1}}}{{\pi ^{2j} }}\sum\limits_{n = 1}^{ + \infty } {\frac{1}{{n^{2j} }}} } \right]} \] \[\Leftrightarrow \frac{k}{{2k + 1}} = \sum\limits_{j = 1}^k {\left[ {\frac{{\left( { - 1} \right)^{j + 1} \cdot\nPr{2k}{2j-1}}}{{\pi ^{2j} }}\zeta\left(2j\right)} \right]} \] \[\Leftrightarrow \frac{k}{{2k + 1}} = \sum\limits_{j = 1}^{k-1} {\left[ {\frac{{\left( { - 1} \right)^{j + 1} \cdot\nPr{2k}{2j-1}}}{{\pi ^{2j} }}\zeta\left(2j\right)} \right]} + {\left[ {\frac{{\left( { - 1} \right)^{k + 1}\cdot \nPr{2k}{2k-1}}}{{\pi ^{2k} }}\zeta\left(2k\right)} \right]} \] \[\Leftrightarrow \zeta \left( {2k} \right) = \frac{{k\pi ^{2k} \left( { - 1} \right)^{k + 1} }}{{\left( {2k + 1} \right)!}} + \sum\limits_{j = 1}^{k - 1} {\frac{{\left( { - 1} \right)^{k + j + 1} \pi ^{2k-2j} }}{{\left( {2k - 2j + 1} \right)!}}\zeta \left( {2j} \right)} \]

$\blacksquare$

Seja $k\in\N_1$. Então, \[ \zeta \left( {2k} \right) = \frac{{k\pi ^{2k} \left( { - 1} \right)^{k + 1} }}{{\left( {2k + 1} \right)!}} + \sum\limits_{j = 1}^{k - 1} {\frac{{\left( { - 1} \right)^{k + j + 1} \pi ^{2k-2j} }}{{\left( {2k - 2j + 1} \right)!}}\zeta \left( {2j} \right)} \]

Exemplos:
$k=1$ \[ \zeta \left( 2 \right) = \frac{{\pi ^2 }}{{3!}} + \sum\limits_{j = 1}^0 {\frac{{\left( { - 1} \right)^{k + j + 1} \pi ^{2 - 2j} }}{{\left( {2k - 2j + 1} \right)!}}\zeta \left( {2j} \right)} = \frac{{\pi ^2 }}{6} + 0 = \frac{{\pi ^2 }}{6} \] $k=2$ \[ \zeta \left( 4 \right) = \frac{{2\pi ^4 \left( { - 1} \right)}}{{5!}} + \frac{{\pi ^2 }}{{3!}}\zeta \left( 2 \right) = \frac{{ - \pi ^4 }}{{60}} + \frac{{\pi ^4 }}{{36}} = \frac{{ - 3\pi ^4 + 5\pi ^4 }}{{180}} = \frac{{2\pi ^4 }}{{180}} = \frac{{\pi ^4 }}{{90}} \] $k=3$ \[ \zeta \left( 6 \right) = \frac{{3\pi ^6 }}{{7!}} + \sum\limits_{j = 1}^2 {\frac{{\left( { - 1} \right)^{3 + j + 1} \pi ^{6 - 2j} }}{{\left( {6 - 2j + 1} \right)!}}\zeta \left( {2j} \right)} = \frac{{3\pi ^6 }}{{7!}} - \frac{{\pi ^4 }}{{5!}}\zeta \left( 2 \right) + \frac{{\pi ^2 }}{{3!}}\zeta \left( 4 \right) = \frac{{\pi ^6 }}{{945}} \] $k=4$ \[ \zeta \left( 8 \right) = \frac{{4\pi ^8 \left( { - 1} \right)}}{{9!}} + \sum\limits_{j = 1}^3 {\frac{{\left( { - 1} \right)^{4 + j + 1} \pi ^{8 - 2j} }}{{\left( {8 - 2j + 1} \right)!}}\zeta \left( {2j} \right)} = - \frac{{4\pi ^8 }}{{9!}} + \frac{{\pi ^6 }}{{7!}}\zeta \left( 2 \right) - \frac{{\pi ^4 }}{{5!}}\zeta \left( 4 \right) + \frac{{\pi ^2 }}{{3!}}\zeta \left( 6 \right) = \frac{{\pi ^8 }}{{9450}} \] Os cálculos sugerem que há uma forma "mais bonita" para a fórmula... Será que existe mesmo? (nada de spoilers, a função zeta está convidada a voltar a este blog)
A fórmula é implementável em calculadoras com computação algébrica.
Abaixo partilho dois screenshots da minha TI-nspire CX CAS (Capturados com TILP2 para linux)
Se houver curiosidade, pressionando o botão abaixo, mostro os valores da função zeta para os pares de 2 a 100, obtidos com esta fórmula, em milissegundos, numa cópia do Mathematica 12 (para uso não comercial) num Raspberry Pi 4.
Por hoje é tudo. Até à próxima!

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\begin{eqnarray*} {\zeta(2)}&{=}&{\frc{\pi^{2}}{6}}\\ {\zeta(4)}&{=}&{\frc{\pi^{4}}{90}}\\ {\zeta(6)}&{=}&{\frc{\pi^{6}}{945}}\\ {\zeta(8)}&{=}&{\frc{\pi^{8}}{9450}}\\ {\zeta(10)}&{=}&{\frc{\pi^{10}}{93555}}\\ {\zeta(12)}&{=}&{\frc{691 \pi^{12}}{638512875}}\\ {\zeta(14)}&{=}&{\frc{2 \pi^{14}}{18243225}}\\ {\zeta(16)}&{=}&{\frc{3617 \pi^{16}}{325641566250}}\\ {\zeta(18)}&{=}&{\frc{43867 \pi^{18}}{38979295480125}}\\ {\zeta(20)}&{=}&{\frc{174611 \pi^{20}}{1531329465290625}}\\ {\zeta(22)}&{=}&{\frc{155366 \pi^{22}}{13447856940643125}}\\ {\zeta(24)}&{=}&{\frc{236364091 \pi^{24}}{201919571963756521875}}\\ {\zeta(26)}&{=}&{\frc{1315862 \pi^{26}}{11094481976030578125}}\\ {\zeta(28)}&{=}&{\frc{6785560294 \pi^{28}}{564653660170076273671875}}\\ {\zeta(30)}&{=}&{\frc{6892673020804 \pi^{30}}{5660878804669082674070015625}}\\ {\zeta(32)}&{=}&{\frc{7709321041217 \pi^{32}}{62490220571022341207266406250}}\\ {\zeta(34)}&{=}&{\frc{151628697551 \pi^{34}}{12130454581433748587292890625}}\\ {\zeta(36)}&{=}&{\frc{26315271553053477373 \pi^{36}}{20777977561866588586487628662044921875}}\\ {\zeta(38)}&{=}&{\frc{308420411983322 \pi^{38}}{2403467618492375776343276883984375}}\\ {\zeta(40)}&{=}&{\frc{261082718496449122051 \pi^{40}}{20080431172289638826798401128390556640625}}\\ {\zeta(42)}&{=}&{\frc{3040195287836141605382 \pi^{42}}{2307789189818960127712594427864667427734375}}\\ {\zeta(44)}&{=}&{\frc{5060594468963822588186 \pi^{44}}{37913679547025773526706908457776679169921875}}\\ {\zeta(46)}&{=}&{\frc{103730628103289071874428 \pi^{46}}{7670102214448301053033358480610212529462890625}}\\ {\zeta(48)}&{=}&{\frc{5609403368997817686249127547 \pi^{48}}{4093648603384274996519698921478879580162286669921875}}\\ {\zeta(50)}&{=}&{\frc{39604576419286371856998202 \pi^{50}}{285258771457546764463363635252374414183254365234375}}\\ {\zeta(52)}&{=}&{\frc{123256264328536916515065383362 \pi^{52}}{8761982491474419367550817114626909562924278968505859375}}\\ {\zeta(54)}&{=}&{\frc{116599854539539449685672495250764 \pi^{54}}{81807125729900063867074959072425603825198823017351806640625}}\\ {\zeta(56)}&{=}&{\frc{708397979803779072481547354189494 \pi^{56}}{4905352087939496310826487207538302184255342959123162841796875}}\\ {\zeta(58)}&{=}&{\frc{11652912186052419567178865654349796 \pi^{58}}{796392368980577121745974726570063253238310542073919837646484375}}\\ {\zeta(60)}&{=}&{\frc{4860932561935022288161219976319280984165964 \pi^{60}}{3278777586273629598615520165380455583231003564645636125000418914794921875}}\\ {\zeta(62)}&{=}&{\frc{3174344628151447365665300608362164168 \pi^{62}}{21132271510899613925529439369536628424678570233931462891949462890625}}\\ {\zeta(64)}&{=}&{\frc{106783830147866529886385444979142647942017 \pi^{64}}{7016125464333780819415029165079856003277532103367584994756141174316406250}}\\ {\zeta(66)}&{=}&{\frc{133872729284212332186510857141084758385627191 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\pi^{86}}{349538086043843717584559187055386621548470304913596772372737435524697231069047713981709496784210205078125}}\\ {\zeta(88)}&{=}&{\frc{238441179758912274181002077094420335153772777376732480781258161922554 \pi^{88}}{13383510964174348021497060628653950829663288548327870152944013988358928114528962242087062453152690410614013671875}}\\ {\zeta(90)}&{=}&{\frc{943245823216866239907298680999372067020203959735717692985236172582338028 \pi^{90}}{522532651330971490226753590247329744050384290675644135735656667608610471400391047234539824350830981313610076904296875}}\\ {\zeta(92)}&{=}&{\frc{225319295340441309215552665832795956462494171081640894438837622057381956 \pi^{92}}{1231931818039911948327467370123161265684460571086659079080437659781065743269173212919832661978537311246395111083984375}}\\ {\zeta(94)}&{=}&{\frc{207798094736977782060817307134161907056767389821735595138079166856961608 \pi^{94}}{11213200675690943223287032785929540201272600687465377745332153847964679254692602138023498144562090675557613372802734375}}\\ {\zeta(96)}&{=}&{\frc{211600449597266513097597728109824233673043954389060234150638733420050668349987259 \pi^{96}}{112694926530960148011367752417874063473378698369880587800838274234349237591647453413782021538312594164677406144702434539794921875}}\\ {\zeta(98)}&{=}&{\frc{2771765741751244719349025205975657371728252886877734184043835153060936614622 \pi^{98}}{14569479835935377894165191004250040526616509162234077285176247476968227225810918346966001491701692846112140419483184814453125}}\\ {\zeta(100)}&{=}&{\frc{189196075638244250590454866138987443745405683066133872266771392408622790830394495422 \pi^{100}}{9815205420757514710108178059369553458327392260750404049930407987933582359080767225644716670683512153512547802166033089160919189453125}} \end{eqnarray*}

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Bibliografia sugerida
(Séries de Fourier)

• Kreyszig, Erwin, "Advanced Engineering Mathematics, 10th Edition",wiley
• Braun,M, "Diferential Equations and their applications, fourth edition",Springer
• Agudo, F.R.Dias, "Análise Real, Volume 2",Escolar editora
• Barreira, Luis, "Análise complexa e equações diferenciais, 4ª edição",IST Press
• Girão, Pedro Martins, "Introdução à Análise complexa, séries de Fourier e equações diferenciais",IST Press

(apenas para consulta, se houver curiosidade, eu não usei nenhum deles...)

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Soma dos primeiros $n$ quadrados

A primeira vez que vi a fórmula $1^2+2^2+\cdots+n^2=\frc{n(n+1)(2n+1)}{6}$ foi num exercício de indução matemática.
Com o passar dos anos foram-me aparecendo outras deduções para a fórmula.
Uma óbvia é converter o problema numa equação de diferenças e resolver, e foi um dos primeiros exemplos que testei assim qua aprendi equações de diferenças-
(Encontram uma versão dessa ideia no youtube, aqui: https://www.youtube.com/watch?v=OpA7oNmHobM)
Outra dedução de que gosto muito é visual: https://www.youtube.com/watch?v=aXbT37IlyZQ
Mas há muitas outras.
Por exemplo, recentemente encontrei esta https://www.youtube.com/watch?v=gVMEtOXdhs8.

Hoje apresento uma que me ocorreu durante uma explicação online de Probabilidades e Estatística.
Não é propriamente elegante, visto que vou "recorrer a um exército para matar uma mosca" (eu sei que a expressão é 'recorrer a um canhão para matar uma mosca' , mas aqui pode-se dizer que vou recorrer a vários canhões).
Vou recordar algumas definições:

Seja $X$ uma variável aleatória discreta e $\P$ uma medida de probabilidade \[ X = \left\{ {\begin{array}{cl} {x_i }&{i\in \I} \\ {} \\ {p_i^{} = \P\left( {X = x_i } \right)} \\ \end{array}} \right. \] O valor esperado (ou valor médio, ou esperança matemática, ou momento de primeira ordem) de $X$ é \[ \E(X) = \sum\limits_{i \in \I} {x_i p_i } \] desde que se tenha \[ \E(X) = \sum\limits_{i \in \I} {|x_i| p_i } < \infty \]

Seja $X$ uma variável aleatória discreta e $\P$ uma medida de probabilidade \[ X = \left\{ {\begin{array}{cl} {x_i }&{i\in \I} \\ {} \\ {p_i^{} = \P\left( {X = x_i } \right)} \\ \end{array}} \right. \] O Momento de ordem $n$ da variável aleatória $X$ é \[ \E(X^n) = \sum\limits_{i \in \I} {x_i^n p_i } \] desde que, uma vez mais, se tenha \[ \E(X) = \sum\limits_{i \in \I} {|x_i|^n p_i } < \infty \]

Seja $X$ uma variável aleatória discreta. A função geradora de momentos da variável aleatória $X$ é \[ M_X \left( t \right) = \E\left( {e^{tX} } \right) \]

Depois destas definições, recordo também um resultado

Seja $X$ uma variável aleatória. \[ \left. {\frac{{d^n }}{{dt^n }}M_X (t)} \right|_{t = 0} = \E\left( {X^n } \right) \]

Vamos a isto. Seja $X$ uma variável aleatória com distribuição uniforme discreta de parâmetro $n$ com $n\in\N_1$, ou seja, \[ X \til \text{Uniforme}(n) \] \[ P(X = i) = \left\{ {\begin{array}{ll} {\frc{1}{n}}&{,i\in\{1,\cdots,n\}} \\ {} &{} \\ {0} & {\text{, caso contrário}} \end{array}} \right. \] Então:

\[ M_X \left( t \right) = \E\left( {e^{tX} } \right) = \frc{1}{n}\sum\limits_{i = 1}^n {e^{ti} = } \left\{ {\begin{array}{ll} {\frc{{e^t }}{n}\frc{{1 - e^{nt} }}{{1 - e^t }}}&{,\text{se } t\neq 0} \\ {}&{} \\ {1} &{,\text{se } t = 0} \end{array}} \right. \] para $t\in\R$

A partir deste resultado provam-se os seguintes

\[ \frc{d}{{dt}}\left[{M_X \left( t \right)}\right] = \left\{ {\begin{array}{cl} {\frc{{e^t - \left( {n + 1} \right)e^{\left( {n + 1} \right)t} + ne^{\left( {n + 2} \right)t} }}{{n\left( {1 - e^t } \right)^2 }}}&{,\text{se } t\neq 0} \\ {}&{} \\ {\frc{{n + 1}}{2}}&{,\text{se } t = 0} \end{array}} \right. \] \[ \frc{{d^2 }}{{dt^2 }}\left[{M_X} \left( t \right)\right] = \left\{ {\begin{array}{cl} {\frc{{e^{2t} + e^t - \left( {n + 1} \right)^2 e^{\left( {n + 1} \right)t} + \left( {2n^2 + 2n - 1} \right)e^{\left( {n + 2} \right)t} - n^2 e^{\left( {n + 3} \right)t} }}{{n\left( {1 - e^t } \right)^3 }}}&{,\text{se } t\neq 0} \\ {}&{} \\ {\frc{{\left( {n + 1} \right)\left( {2n + 1} \right)}}{6}}&{,\text{se } t = 0} \end{array}} \right. \]

Consequentemente

\[ \E(X) = \frc{n+1}{2} \] \[ \E(X^2) = \frc{{\left( {n + 1} \right)\left( {2n + 1} \right)}}{6} \]

Atentendo à definição de momento de ordem 2 temos que: \[ \E\left( {X^2 } \right) = \sum\limits_{i = 1}^n {\left( {i^2 \cdot \frc{1}{n}} \right)} = \frc{1}{n}\sum\limits_{i = 1}^n { {i^2 } } \] Então, pelo último teorema: \[ \frc{1}{n}\sum\limits_{i = 1}^n { {i^2 }} = \frc{{\left( {n + 1} \right)\left( {2n + 1} \right)}}{6} \] E imediatamente, sai \[ \sum\limits_{i = 1}^n { {i^2 }} = \frc{{n\left( {n + 1} \right)\left( {2n + 1} \right)}}{6} \]

$\blacksquare$

Qual é o número seguinte?

Muitos de nós já encontrámos problemas do tipo:

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Problema

• Qual é o número que se segue?
• Indica o termo geral da sucessão cujos primeiros termos são:

1. 1,2,3,4,...
2. 2,4,6,8,...
3. 1,-4,9,-16,...
4. 2,4,8,16,...

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Certamente, muitos responderão:

1. Número seguinte:$5$, termo geral $a_n=n$


2. Número seguinte:$10$, termo geral $b_n=2n$


3. Número seguinte:$25$, termo geral $c_n=(-1)^{n+1}n^2$


4. Número seguinte:$32$, termo geral $d_n=2^n$

Estarão correctos?
Sim... e não!
Há um problema na formulação destas questões.
É que na realidade não há resposta única!
Pedir "o" número seguinte, quando na verdade a resposta não é única, não faz sentido
Imagino que o leitor esteja a pensar "Este tipo está maluco! Como não há resposta única?"

Por exemplo, poderia apetecer-me responder

1. Número seguinte:$2021$, termo geral $a_n= 84n^{4}- 840{n}^{3}+2940{n}^{2}- 4199{n}+2016$
   


2. Número seguinte:$77$, termo geral $b_n= \displaystyle\frac{67}{24}n^{4}-\displaystyle\frac{335}{12}{n}^{3}+\displaystyle\frac{2345}{24}{n}^{2}-\displaystyle\frac{1651}{12}{n}+67 $


3. Número seguinte:$0$, termo geral $c_n= \displaystyle\frac{45}{8}n^{4}-\displaystyle\frac{787}{12}{n}^{3}+\displaystyle\frac{2095}{8}{n}^{2}-\displaystyle\frac{4991}{12}{n}+215 $


4. Número seguinte:$2020$, termo geral $d_n=\displaystyle\frac{995}{12}n^{4}-\displaystyle\frac{4973}{6}{n}^{3}+\displaystyle\frac{34813}{12}{n}^{2}-\displaystyle\frac{24859}{6}{n}+1990$

Não estou a ser troll. Podem verificar, sem problema nenhum, que as minhas respostas satisfazem as condições do enunciado, e também dão os números que apresentei.
Recomendo mesmo que faça as contas!
[Se pressionar no botão que se segue pode ver screenshots da minha calculadora CASIO fx-CG20 onde mostro as minhas contas feitas.]

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Está convencido que as minhas expressões geram os números do enunciado e também os números que eu disse? [Se não está, faça as contas... garanto que não estou a vigarizar...]
Note que o enunciado não impede que o nosso termo geral seja definido por ramos!
Portanto, eu até poderia dar uma resposta um bocadinho diferente.

\[ a_5=2021\\ a_n = \left\{ {\begin{array}{c} {n\text{ se }n \leq 4} \\ {2021\text{ se }n > 4} \end{array}} \right. \]

\[ b_5=77\\ b_n = \left\{ {\begin{array}{c} {2n\text{ se }n \leq 4} \\ {77\text{ se }n > 4} \end{array}} \right. \]

\[ c_5=0\\ c_n = \left\{ {\begin{array}{c} {(-1)^{n+1}n^2\text{ se }n \leq 4} \\ {0\text{ se }n > 4} \end{array}} \right. \]

\[ d_5=2020\\ d_n = \left\{ {\begin{array}{c} {2^n\text{ se }n \leq 4} \\ {2020\text{ se }n > 4} \end{array}} \right. \]

Não digam que "não estou a seguir o padrão". Quem vos garante que "o padrão" não é uma das fórmulas que indiquei? Fui eu que escrevi o enunciado!
Estando o enunciado como está, os valores de $a_5$, $b_5$, $c_5$, $d_5$ são arbitrários! E assim sendo, não há expressões únicas para as expressões dos termos gerais.
Portanto a resposta a "Qual é o número que se segue?" pode muito bem ser: "Um número qualquer"!
E está correcta!
Querem que a resposta seja "única"? Formulem a pergunta de outra forma.

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Como foi que eu obtive as expressões que escrevi antes de escrever as versões definidas por ramos?
Penso que deve ser óbvio.
Se não for, continue a leitura!
Recentemente encontrei no facebook um post onde pediam "o" termo geral para a sucessão. \[18,16,14,13,...\] Não sendo uma coisa "óbvia", deduzi o polinómio interpolador de 3º grau para os pontos $(1,18),(2,16),(3,14),(4,13)$: \[ \begin{array}{|c||c|c|c|c|} \hline {i} & {0} & {1} & {2} & {3} \\ \hline\hline {x}_{i} & {1} & {2} & {3} & {4} \\ {y}_{i} & {18} & {16} & {14} & {13} \\ \hline \end{array} \] Tabela de diferenças divididas associada a estes pares ordenados: \[ \begin{array}{c|c|ccc} {x} & {y} & {y[.,.]} & {y[.,.,.]} & {y[.,.,.,.]} \\ \hline {1} & {18} & { } & { } & { } \\ { } & { } & {- 2} & { } & { } \\ {2} & {16} & { } & {0} & { } \\ { } & { } & {- 2} & { } & {\displaystyle\frac{1}{6}} \\ {3} & {14} & { } & {\displaystyle\frac{1}{2}} & { } \\ { } & { } & {- 1} & { } & { } \\ {4} & {13} & { } & { } & { } \\ \hline \end{array} \] Polinómio interpolador na forma de Newton: \[ P(x)=18- 2\left( x - 1\right)+0\left( x - 1\right)\left( x - 2\right)+\displaystyle\frac{1}{6}\left( x - 1\right)\left( x - 2\right)\left( x - 3\right) \] Polinómio interpolador na forma canónica \[ P(x) = \displaystyle\frac{1}{6}x^{3}- {x}^{2}-\displaystyle\frac{1}{6}{x}+19 \] Logo, uma possível expressão geral para a sucessão, pode ser: \[ u_n = \displaystyle\frac{1}{6}n^{3}- {n}^{2}-\displaystyle\frac{1}{6}{n}+19=\displaystyle\frac{n^{3}-6n^2-n}{6}+19 \] Para ser honesto, na altura resolvi a questão bem rapidamente, com a minha calculadora, e não o fiz como apresentei.
O polinómio interpolador de Lagrange para $N+1$ pontos sem repetições de abcissas coincide com a regressão polinomial de grau $N$ para esses pontos
[Posso sugerir a demonstração disso como exercício, (ver comentário 1 no fim)...Fi-lo uma vez para reduzir uma lista de trabalho que eu tinha para metade...].
Ou seja, se fizerem uma regressão polinomial de grau $3$ para os $4$ pontos que se seguem \[(1,18),(2,16),(3,14),(4,13)\] obtêm o mesmo polinómio.

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Já perceberam como obtive as expressões polinomiais?
Moral da história: Qual é o número que se segue?
Resposta: O número que vos apetecer!
Até uma próxima oportunidade. Carlos Paulo

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Comentários:

1. A demonstração de que o polinómio interpolador de Lagrange é a curva de regressão polinomial descrita no texto é óbvia: qual é mesmo a distância dos pontos ao gráfico da função descrita pelo polinómio interpolador?
2. O algoritmo das diferenças divididas apresentado no texto, foi totalmente gerado por uma criação minha, a cpcalculadorajs, que esteve alojada no serviço de homepages do sapo entre 2004 e 2014.O serviço fechou em 2014.
   A cpcalculadorajs calculou o polinómio, e gerou todo o código LaTeX.
   Em 2008, um professor, numa tentativa de me insultar e menosprezar o meu trabalho disse-me que não via a utilidade daquilo.
   Na altura respondi: Está na Internet, e corre em qualquer computador, em qualquer sistema operativo sem necessidade de software especial. Eu não preciso do Mathematica. nem do Matlab, nem de uma linguagem de programação. Basta-me ter um browser.
   Hoje em dia existem centenas de sites que usam a mesma filosofia de trabalho...
   A cpcalculadoraJS já não está online... mas continua a estar nos meus computadores. Aqui em casa, uma cópia está num RaspberryPi 4B.
   Para este texto, levei menos de 30 segundos a introduzir os pontos, e a ter o polinómio calculado, e o LaTeX gerado e copiado para aqui.
   

Um programa de calculadora para exercícios com o binómio de Newton.

O binómio de Newton é tão belo como a Vénus de Milo.
O que há é pouca gente para dar por isso.
óóóó---óóóóóó óóó---óóóóóóó óóóóóóóó
(O vento lá fora.)
Álvaro de Campos - Heterónimo de Fernando Pessoa



As imagens que se seguem são capturas de uma das minhas fichas usadas em explicações.

É um dos "exercícios tipo" (odeio esta designação e também exercícios que encaixam nesta definição), associados ao binómio de Newton.
Há mais de 20 anos, um bocadinho farto de resolver coisas destas, decidi "atacar" o caso geral e implementá-lo numa calculadora.
Hoje, vou mostrar como o fiz.

O caso geral destes exercícios, aplicado a binómios da forma \[\left(ax^s+bx^t\right)^n\] é:

• Escrever (uma das possíveis formas d)o desenvolvimento do binómio
• Determinar o coeficiente de um $x^p$, ou o termo de grau $p$

O procedimento para resolução de coisas destas é 'mecânico'.
Assim sendo, é relativamente fácil resolver os casos gerais e implementar numa calculadora. \begin{eqnarray*} {\left( {ax^s + bx^t } \right)^n}&{=}&{ \sum\limits_{p = 0}^n {\combin{n}{p}\left( {ax^s } \right)^{n - p} } \left( {bx^t } \right)^p }\\ {}&{=}&{ \sum\limits_{p = 0}^n {\combin{n}{p}a^{n - p} x^{s(n - p)} } b^p x^{tp} }\\ {}&{=}&{ \sum\limits_{p = 0}^n {\combin{n}{p}a^{n - p}b^p x^{sn - sp+tp} } }\\ \end{eqnarray*}

• Para escrever o desenvolvimento, basta fazer $p$ percorrer o conjunto $\{0,1,\cdots, n\}$.
• Para determinar o coeficiente de um $x^k$, começamos por resolver a equação $sn - sp+tp=k$.
  
  A solução é: \[p=\frac{sn-k}{s-t}\] Se este $p$ não for um número inteiro do conjunto $\{0,1,\cdots, n\}$, ficamos a saber que esse coeficiente é zero. Caso contrário, o coeficiente é $ {\combin{n}{p}a^{n - p}b^p }$, (ou seja, o termo é $ {\combin{n}{p}a^{n - p}b^p x^k }$ ) . Este é um daqueles programas que já tenho há mais de 20 anos. Esteve implementado numa Casio Cfx 9950G, e TI83plus ... e também corre nas calculadoras actuais.
  

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  Exemplo, vamos resolver o exercício 19 do início deste texto, recorrendo a uma implementação destas ideias: Determine os coeficientes de $x$ e $x^2$ no desenvolvimento de \[ \left( {\sqrt x + \frac{1}{{\sqrt[3]{x}}}} \right)^{12} \]
  Resolução \[ \left( {\sqrt x + \frac{1}{{\sqrt[3]{x}}}} \right)^{12} = \left( {x^{\frac{1}{2}} + x^{ - \frac{1}{3}} } \right)^{12} \] Coeficientes: $a=1$ e $b=1$
  Expoentes: $s=\displaystyle\frac{1}{2}$; $t=-\displaystyle\frac{1}{3}$ e $n=12$
  
  
  
  
  

  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  O coeficiente de x^2 é... zero!
  Não me peçam o programa. (ainda tenho versões antigas, até ao ano 2001...)
  Eu já dei a ideia...
  Eventualmente um dia vai parar à secção "Material" deste blog.

Do método das tangentes aos fractais de Newton

Considere o gráfico cartesiano de uma função $f$ de domínio $\R$, e contradomínio contido em $\R$. Vamos ainda assumir que $f$ é diferenciável em $\R$

1. Seja $x_n$ um ponto do domínio de $f$. Qual é a equação reduzida da recta tangente ao gráfico de $f$ no ponto de abcissa $x_n$?
   
   

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   \[y=f'(x_n)x-f'(x_n)x_n+f(x_n)\]

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2. Assumindo que a recta não é horizontal, ela intersecta o eixo dos $x$ num ponto. Seja $x_{n+1}$ a abcissa desse ponto. Determine $x_{n+1}$.
   
   

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   \[x_{n+1}=x_n-\frac{f(x_n)}{f'(x_n)}\]

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3. Partindo de um valor real $x_0$ inicial, a fórmula do exercício anterior define, por recorrência, uma sucessão. Assumindo que a sucessão $(x_n)$ converge para um limite $l\in\R$, tal que $f'(l)\neq 0$. Calcule $f(l)$.
   Que concluí sobre o limite $l$ ?
   
   

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   (nota: vou utilizar a convenção habitual escrever $\lim$ sem escrever por baixo que $n\to\infty$... para onde querem que os naturais tendam mesmo?)
   Aplicando limites a ambos os termos da igualdade do exercício anterior, temos \[\lim x_{n+1}=\lim x_n-\lim \frac{f(x_n)}{f'(x_n)}\] \[\Leftrightarrow \lim \frac{f(x_n)}{f'(x_n)}=0\] \[\Leftrightarrow \lim f(x_n)=0\] Sendo $f$ diferenciável em $l$, $f$ é contínua em $l$, logo \[ f( \lim x_n)=0\] ou seja \[f( l)=0\] Por outras palavras: $l$ é um zero de $f$.
   PS: Se alguém me pede bibliografia para isto, mando-o passear.

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O método de obtenção de valores aproximados de zeros através desta sucessão $(x_n)$ é conhecido por "Método das tangentes", "Método de Newton", "método de Newton-Raphson" e sou capaz de jurar que já li algures "Newton-Fourier", e é estudado em várias cadeiras de Análise Numérica/Métodos numéricos em muitos cursos no ensino superior.

Fractais de Newton

Se resolveu os três exercícios que propus, em particular o último, facilmente perceberá que se $f$ for agora uma função complexa de variável complexa, diferenciável no plano complexo, partindo de um $z_0$ inicial e assumindo que a sucessão definida por recorrência por \[z_{n+1}=z_n-\frac{f(z_n)}{f'(z_n)}\] converge, ela convergirá para um zero de $f$.
Por exemplo a função $f(z)=z^3-1$ tem três zeros: $1, -\displaystyle\frac{1}{2}+\displaystyle\frac{\sqrt{3}}{2}i , -\displaystyle\frac{1}{2}-\displaystyle\frac{\sqrt{3}}{2}i$.
Para que zero é que a sucessão converge?
Naturalmente, dependerá do valor do $z_0$.
Vamos fazer este exercício mental: vamos atribuir uma cor a cada um dos zeros.

• verde : 1
• vermelho : $-\displaystyle\frac{1}{2}+\displaystyle\frac{\sqrt{3}}{2}i$
• azul : $-\displaystyle\frac{1}{2}-\displaystyle\frac{\sqrt{3}}{2}i$

Depois, vamos percorrer todo o plano complexo, usar cada ponto do plano como $z_0$, e pintar o correspondente afixo (ou imagem pontual) no plano, de acordo com o limite da sucessão...
A seguir reproduzo uma imagem aproximada do que se obtém percorrendo o rectangulo $\left[-3,3\right]\times \left[-1.6875,1,6875\right]$

Podemos ainda escurecer os pontos de acordo com a convergência do método. Se a convergência for mais rápida, fica mais claro e se for mais lenta (ou nem convergir) fica mais escuro.

A imagem obtida, é aquilo a que se chama um Fractal de Newton.
Eu uso uma versão desta imagem nos meus cartões...

E até neste vídeo... As imagens que apresento foram geradas em C++ recorrendo a algumas bibliotecas, mas já o fiz, por exemplo, em Pascal (!).
Hoje em dia é fácil gerar estas imagens para qualquer equação em varias linguagens como por exemplo Python (eu não estaria a afirmar isto se já não o tivesse feito).
Podem passar pelo meu deviantart e ver mais alguns fractais de Newton.
Detalhes sobre como implementar isto?
Este blog é sobre Matemática e ciências exactas, mas posso pensar no assunto e publicar noutro sítio, desde que me prometam respeitar os direitos de autor...

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Actualização (17/07/2020)
Agradecimentos:Margarida Gouveia, Beatriz Martins e Sónia Correia Martins

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Quantos algarismos tem um número natural?

Recentemente, perguntei a alguém se sabia me dizer quantos algarismos tem $2^{2020}$, quando escrito na forma usual (na nossa base 10).
Permiti que usasse calculadora :)
Não foi a primeira vez que fiz este tipo indecente de perguntas a alguém.
Principalmente, porque já sabia responder a isto desde o meu secundário!
[Eh! Não é show-off! Não gosto de show-off! É só para perceberem que não precisam de "conhecimentos avançados"!].

Por exemplo podem ler o texto que escrevi em 2017 no blog carlospaulices:

CarlosPaulices no século XXI: o número de algarismos...

Como atacar o problema?
Hoje, exponho o raciocínio que me ocorreu há cerca de 25 anos, a fórmula, a dedução da fórmula e finalmente a resposta à questão com que iniciei este texto.
Pensemos num número natural ao acaso.
Por exemplo no número $1977$ (ano muito importante: estreou o Star Wars... e só por mero acaso, também foi o ano em que eu nasci)
Em notação científica este número escreve-se: \[1977=1,977\times 10^3\] Como é óbvio, aquele 3 do expoente do 10 está relacionado com o número de algarismos do número 1977.
Vamos tentar com outro número natural ao acaso, que, insisto, só por acaso, me passou pela cabeça: \[13121977=1,3121977\times 10^7\] Estou a notar um padrão. Parece que o número de algarismos, $n_a(N)$ é o expoente daquele 10, somado de uma unidade.
Expoente do 10? Isso não parece um logaritmo de base 10?
\[\log_{10} 13121977=\log_{10} \left(1,3121977\times 10^7\right)=\log_{10}1,3121977+\log_{10} 10^7=\log_{10}1,3121977+7\] Aquele logaritmo de $1,3121977$ está entre 0 e 1... e isso vai acontecer sempre (Se há 25 anos eu sabia porquê, se você sabe o que é um logaritmo, também sabe porquê).
Isso quer dizer que a parte inteira do logaritmo base $10$ de $13121977$ é $7$
Hoje em dia, eu escrevo isso assim: \[ \left\lfloor {\log _{10} 13121977} \right\rfloor = 7 \] (na altura, eu escrevia como está no blog carlospaulices, porque há 25 anos era a notação da minha calculadora e eu não conhecia outra)
Ou seja, tinha chegado à fórmula $n_a-1=\left\lfloor {\log _{10} N}\right\rfloor$, ou equivalentemente:
\[n_a=1+\left\lfloor {\log _{10} N}\right\rfloor\] Isto é bonito... consegue-se demonstrar? Sim, mas vou deixar como exercício!
Pronto, se for muito preguiçoso, ou não tiver ideias, pode ver a minha demonstração clicando neste botão:

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Seja $N$ um número natural com $n_a$ algarismos em base 10. Isso quer dizer que o número se escreve na forma \[N=a_{n_a}a_{n_a-1}\cdots a_1\] onde os $a_i$, com $i\in \{1,...,n_a\}$ são algarismos entre 0 e 9, exceptuando o $a_{n_a}$, que é um algarismo entre 1 e 9.
Outra forma de escrever isto é : \[N=a_1+ a_2\times10+a_3\times10^2+\cdots+a_{n_a}\times10^{n_a-1}\] Escrever o número em notação científica na verdade significa colocar o $10^{n_a-1}$ em evidência! \[N=10^{n_a-1}\left(\frac{a_1}{10^{n_a-1}}+ \frac{a_2}{10^{n_a-2}}+\frac{a_3}{10^{n_a-3}}+\cdots+a_{n_a}\right)\] Assim sendo \begin{eqnarray*} {\left\lfloor \log_{10} N\right\rfloor}&=&{\left\lfloor \log_{10}{10^{n_a-1}\left(\frac{a_1}{10^{n_a-1}}+ \frac{a_2}{10^{n_a-2}}+\frac{a_3}{10^{n_a-3}}+\cdots+a_{n_a}\right)} \right\rfloor}\\ {}&=&{\left\lfloor \log_{10}{10^{n_a-1}}+ \log_{10}{\left(\frac{a_1}{10^{n_a-1}}+ \frac{a_2}{10^{n_a-2}}+\frac{a_3}{10^{n_a-3}}+\cdots+a_{n_a}\right)} \right\rfloor}\\ {}&=&{\left\lfloor n_a-1+ \log_{10}{\left(\frac{a_1}{10^{n_a-1}}+ \frac{a_2}{10^{n_a-2}}+\frac{a_3}{10^{n_a-3}}+\cdots+a_{n_a}\right)} \right\rfloor}\\ {}&=&{ n_a-1 } \end{eqnarray*} Assim sendo, \[{\left\lfloor \log_{10} N\right\rfloor}=n_a-1\] Ou, equivalentemente: \[{\left\lfloor \log_{10} N\right\rfloor+1}=n_a\]

$\blacksquare$

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Com esta fórmula, já consegue determinar o número de algarismos de $2^{2020}$?
Os meus ex-alunos e ex-explicandos a quem propus coisas semelhantes conseguiram:

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\[n_a=1+\left\lfloor \log_{10}2^{2020}\right\rfloor=1+\left\lfloor 2020\log_{10}2\right\rfloor=609\]

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Se percebeu o que acabei de escrever, então, certamente conseguirá concluir que o número de algarismos de um número natural numa base $b>1$, natural, será dado pela fórmula: \[n_a={\left\lfloor \log_{b} N\right\rfloor+1}\]

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Exercício: Quantos algarismos tem o factorial de $1977$ ? (número escolhido ao acaso...)

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\[5660\]

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Pista/sugestão: qualquer calculadora decente actual tem logaritmos base 10... e somatórios! (Sim, as outras são indecentes!)

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Uma fórmula simples e útil no m.r.u.v.

Num movimento rectilíneo uniformemente variado (ou seja, $a$ constante) é válida a fórmula: \[v^2-v_0^2=2a\Delta x\] Consegue deduzi-la?

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\[ \left\{ {\begin{array}{l} {x = x_0 + v_0 t + \displaystyle\frac{1}{2}at^2 } \\ {v = v_0 + at} \end{array}} \right. \] \[ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{l} {x - x_0 = \left( {v_0 + \displaystyle\frac{1}{2}at} \right)t} \\ {v - v_0 = at} \end{array}} \right. \] \[ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{l} {\Delta x = \left( {v_0 + \displaystyle\frac{{v - v_0 }}{2}} \right)\left( {\displaystyle\frac{{v - v_0 }}{a}} \right)} \\ {v - v_0 = at} \end{array}} \right. \] \[ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{l} {\Delta x = \left( {\displaystyle\frac{{v + v_0 }}{2}} \right)\left( {\displaystyle\frac{{v - v_0 }}{a}} \right)} \\ {v - v_0 = at} \end{array}} \right. \] \[ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{l} {\Delta x = \displaystyle\frac{{\left( {v + v_0 } \right)\left( {v - v_0 } \right)}}{2a}} \\ {v - v_0 = at} \end{array}} \right. \] \[ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{l} {2a\Delta x = v^2 - v_0 ^2 } \\ {v - v_0 = at} \end{array}} \right. \]

$\blacksquare$

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PS: Não faço ideia se esta fórmula é permitida no exame de FQ do ensino secundário. Como manda o bom senso, não utilizem fórmulas sem antes confirmar se as podem usar com o vosso professor.

O seno de 18º

Esta ocorreu-me ao olhar para uma estrela de 5 pontas, neste Natal.
Há uns bons anos, partindo de "uma estrela regular de 5 pontas" (não vamos discutir a precisão matemática desta designação, ok?), ocorreu-me uma forma de deduzir o cosseno de $36^{\circ}$. Está em https://cpaulof2.blogspot.com/2013/06/o-numero-de-ouro-parte-3-o-pentagrama-e.html.
Nesse post, eu mostrei que \[\cos 36^{\circ}=\frac{\phi}{2}\] onde $\phi$ é o número de ouro \[\phi=\frac{1+\sqrt{5}}{2}\] Ora, uma fórmula que acabo por utilizar sempre que me aparecem alunos a pedir explicações de cadeiras que envolvem cálculo integral é
\[{\sen}^{2} \alpha=\frac{1-\cos (2\alpha)}{2}\] (um dia destes anexo uns formulários de trigonometria e de séries ao blog...)
Com umas pequenas manipulações algébricas escreve-se \begin{eqnarray*} {{\sen}^{2} 18^{\circ}}&=&{\frac{1-\cos 36^{\circ}}{2}}\\ {}&=&{\frac{1-\displaystyle\frac{1+\sqrt{5}}{4}}{2}}\\ {}&=&{\frac{4-1-\sqrt{5}}{8}}\\ {}&=&{\frac{3-\sqrt{5}}{8}} \end{eqnarray*} Vou tentar transformar $\displaystyle\frac{3-\sqrt{5}}{8}$ no quadrado de um número positivo. \begin{eqnarray*} {\frac{3-\sqrt{5}}{8}}&=&{\frac{6-2\sqrt{5}}{16}}\\ {}&=&{\frac{5-2\sqrt{5}+1}{16}}\\ {}&=&{\frac{\sqrt{5}^2-2\sqrt{5}+1^2}{4^4}}\\ {}&=&{\left(\frac{\sqrt{5}-1}{4}\right)^2} \end{eqnarray*} Conclusão: \[\sen 18^{\circ}=\frac{\sqrt{5}-1}{4}\]

$\blacksquare$

Feliz Natal

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Podem ver uma demonstração alternativa, e que se pode apresentar a alunos do ensino secundário em: https://www.youtube.com/watch?v=_00oskWLtII.
Hoje em dia encontra-se de tudo no youtube... mas eu pertenço à velha escola: Prefiro pensar e fazer eu...

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Curiosidade diabólica(26/12/2019) \begin{eqnarray*} {\sen 666^{\circ}}&=&{\sen 306^{\circ}}\\ {}&=&{\sen -54^{\circ}}\\ {}&=&{-\sen 54^{\circ}}\\ {}&=&{-\cos 36 ^{\circ}}\\ {}&=&{-\frac{\phi}{2}} \end{eqnarray*}

Uma curiosidade sobre a constante de Euler-Mascheroni

Em explicações, às vezes aparecem-nos coisas que desconhecíamos, ou que não tínhamos notado até esse momento.
Há uns anos numa lista de exercícios de Probabilidades e Estatística de um aluno da professora Sandra Mendonça (Universidade da Madeira), apareceu, (como curiosidade) a igualdade
\[\gamma=-\Gamma'(1)\]
Onde $\gamma$ é a constante de Euler-Mascheroni.
Fui à minha calculadora, e observei (numericamente) o resultado.
O que se passava é que a definição que eu conhecia de $\gamma$, não era aquela, portanto devia ser possível deduzir a partir da definição que eu tinha, ou de alguma das fórmulas que eu conhecia.
Fui à Wikipedia. Reencontrei a propriedade, mas nada de prova...
Pensei um pouco e consegui chegar à demonstração que deixo aqui hoje.

Vou começar por partilhar convosco um pequeno e antigo pdf meu, de 12 páginas sobre a função Gama (de Euler).

https://drive.google.com/open?id=1Pn2yjn4z0AoLbqozwJcyGfVcdr-p32b4

Nesse pdf, na página 10 recordo a "minha" definição da constante de Euler-Mascheroni :

\[\gamma  = \lim\limits_{n\to \infty} \left( {\sum\limits_{k = 1}^n {\frac{1}{k}}  - \ln n} \right)\]

E mais abaixo, nessa mesma página apresento (e demonstro) a fórmula produto de Weierstrass

\[
\frac{1}{{\Gamma \left( x \right)}} = xe^{  \gamma x} \prod\limits_{k = 1}^\infty  {\left( {1 + \frac{x}{k}} \right)e^{ - \frac{x}{k}} }
\]

Como função auxiliar vou introduzir a função digama, $\psi$ , que é a derivada logarítmica da Gama, isto é

\[
\psi (x): = \left( {\ln \Gamma \left( x \right)} \right)^\prime   = \frac{\Gamma '\left( x \right)}{\Gamma \left( x \right)}
\]

Da fórmula produto de Weierstrass, (aplicando logaritmos a ambos os membros) é imediato que
\[
 - \ln \Gamma \left( x \right) = \ln x +\gamma x + \sum\limits_{k = 1}^{ + \infty } {\left[ {\ln \left( {\frac{{k + x}}{k}} \right) - \frac{x}{k}} \right]}
\]

Derivando ambos os membros temos
\[ - \psi \left( x \right) = \frac{1}{x} + \gamma  + \sum\limits_{k = 1}^{ + \infty } \left[ \frac{1}{k + x}- \frac{1}{k} \right] \]
Para $x=1$ temos \[ -\frac{\Gamma '\left( 1 \right)}{\Gamma \left( 1 \right)} = 1 + \gamma + \sum\limits_{k = 1}^{ + \infty }\left[ \frac{1}{k + 1} - \frac{1}{k} \right] \]

Como a série do lado direito é uma série de Mengoli que converge para $-1$ e $\Gamma(1)=0!=1$

Sai 

\[-\Gamma'(1)=\gamma\]

$\blacksquare$

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PS: A Wikipedia apresenta outros resultados curiosos... :)

Uma dedução das fórmulas do movimento rectilíneo uniformemente variado

Está na moda a (errada) filosofia de que as demonstrações só interessam aos matemáticos. Sem provas pregam-se dogmas, e não ciência. Biologia, Física, Geologia, Matemática, Química são ciências e não religiões. Uma formação científica decente deve ser capaz de dar demonstrações aos alunos, sem se tornar maçadora e aborrecida.

Hoje vou partir da definição de "movimento rectilíneo uniformemente variado" e deduzir as equações da velocidade e das posições, sem recorrer explícitamente ao cálculo integral.
[Esta prova ocorreu-me ontem num esclarecimento de dúvidas de Física de 11º... porque a vi quando eu estava no meu ensino secundário]

movimento rectilíneo uniformemente variado (m.r.u.v.) é um movimento rectilíneo em que a aceleração é constante e tem um valor $a$.

Se é constante, a aceleração média é também constante e igual ao mesmo valor $a$, ou seja
\[\frac{\Delta v}{\Delta t} =a \]
Isso significa que se o objecto inicia o movimento no instante $t=0$ com velocidade $v_0$, noutro instante $t$ terá velocidade $v$, cuja fórmula pode ser facilmente deduzida:
\begin{eqnarray*} {\frac{\Delta v}{\Delta t} =a}{\Leftrightarrow}{\frac{v-v_0}{t-0} =a}\\ {}{\Leftrightarrow}{v-v_0=at}\\ {}{\Leftrightarrow}{v=v_0+at} \end{eqnarray*}

Portanto a equação das velocidades é \[v=v_0+at\]
Num gráfico velocidade-tempo, esta velocidade é uma função afim, ou seja, tem o gráfico de uma recta.

A área entre o gráfico da velocidade e o eixo dos "$t$" dá-nos a variação de posição $\Delta x$ (porquê?).

E assim, para deduzirmos a equação do movimento basta recordar e aplicar a fórmula da área do trapézio:
\[A= \frac{B+b}{2}\times h\]
Onde $B$ e $b$ são as bases e $h$ a altura do trapézio.
Portanto \[\Delta x=\frac{(v_0+at)+v_0}{2}\times t=v_0t+\frac{1}{2}at^2\] Assumindo que no instante $t$ o objecto está na posição $x$ e no instante $t=0$ estava na posição $x_0$, temos \[x-x_0=v_0t+\frac{1}{2}at^2\]
Ou seja \[x=x_0+v_0t+\frac{1}{2}at^2\]
Que é a equação do movimento do objecto.