Comprimentos de curvas

 Suponhamos que temos uma curva, em $\R^n$ parametrizada pela função $$\gamma:I\subseteq \R \to \R^n$$ Rigorosamente, gosto de chamar a estas curvas linhas parametrizadas mas percebi que cada um chama o que lhe apetecer.
Se $I$ for um intervalo limitado e fechado $[a,b]$, chamamos à curva caminho e o comprimento do caminho é dado por

. \[ L\left( \gamma \right) = \int\limits_a^b {\left\| {\gamma '\left( t \right)} \right\|} dt \] Eu aprendi isto na licenciatura,mas isto encontra-se em vários livros de análise e cálculo em $\R^n$ (Com demonstrações correctas).
Por exemplo, a circunferência de centro $(a,b)$ e raio $r>0$ pode ser parametrizada por \[ \gamma \left( t \right) = \left( {a + r\cos t,b + r\sen t} \right),t \in \left[ {0,2\pi } \right] \] e o comprimento da circunferência (ou se preferirem, o perímetro da circunferência) é dado por: \[ \begin{eqnarray*} {L\left( \gamma \right)}&{ = }&{\int\limits_0^{2\pi } {\left\| {\gamma '\left( t \right)} \right\|} dt } \\ { }&{ = }&{\displaystyle\int\limits_0^{2\pi } {\left\| {\left( { - r\sen t,r\cos t} \right)} \right\|} dt } \\ { }&{ = }&{ \int\limits_0^{2\pi } {\sqrt {\left( { - r\sen t} \right)^2 + \left( {r\cos t} \right)^2 } } dt } \\ { }&{ = }&{ \int\limits_0^{2\pi } {\sqrt {r^2 \left( {\sen t} \right)^2 + r^2 \left( {\cos t} \right)^2 } } dt } \\ %{ }&{ = }&{ \int\limits_0^{2\pi } {\sqrt {r^2 \left( \senEL{2} t + \cos ^2 t} \right)} } dt }\\ { }&{ = }&{ \int\limits_0^{2\pi } {\sqrt {r^2 } } dt }\\ { }&{ = }&{ \int\limits_0^{2\pi } r dt }\\ { }&{ = }&{2\pi r} \end{eqnarray*} \] É óbvio que o centro não poderia interferir no perímetro da circunferência, e dada a definição história de $\pi$, este exercício é bem estúpido. Mas pronto, é uma verificação, e vou repetir a estupidez mais uma vez neste post.
O gráfico de uma função $f$ contínua no intervalo $[a,b]$ é um caminho que pode ser parametrizado pela parametrização canónica:
\[\gamma(t)=(t,f(t)),t\in[a,b]\] e o seu comprimento é, naturalmente \[ L\left( \gamma \right) = \int\limits_a^b {\left\| {\gamma '\left( t \right)} \right\|} dt = \int\limits_a^b {\left\| {\left( {1,f'\left( t \right)} \right)} \right\|} dt = \int\limits_a^b {\sqrt {1 + \left( {f'\left( t \right)} \right)^2 } } dt \] Fórmula que já usei aqui neste blog, no post $P$, o primo do $\pi$
(é por causa desse texto, que estou a escrever este... é que eu tenciono usar isto, para, bem, depois se tiverem curiosidade, virão cá ver)
Uma curva em coordenadas polares, $r=\rho\left(\theta\right), \theta\in\left[\theta_1,\theta_2\right]$ pode ser parametrizada por \[ \gamma \left( t \right) = \left( {\rho \left( t \right)\cos t,\rho \left( t \right)\sen t} \right),t \in \left[ {\theta _1 ,\theta _2 } \right] \] E o seu comprimento é então \[ \begin{array}{l} L\left( \gamma \right) = \displaystyle\int\limits_{\theta _1 }^{\theta _2 } {\left\| {\gamma '\left( t \right)} \right\|} dt = \displaystyle\int\limits_{\theta _1 }^{\theta _2 } {\left\| {\left( {\rho '\left( t \right)\cos t - \rho \left( t \right)\sen t,\rho '\left( t \right)\sen t + \rho \left( t \right)\cos t} \right)} \right\|} dt \\ = \displaystyle\int\limits_{\theta _1 }^{\theta _2 } {\sqrt {\left( {\rho '\left( t \right)\cos t - \rho \left( t \right)\sen t} \right)^2 + \left( {\rho '\left( t \right)\sen t + \rho \left( t \right)\cos t} \right)^2 } } dt \\ = \displaystyle\int\limits_{\theta _1 }^{\theta _2 } {\sqrt {\left( {\rho '\left( t \right)\cos t} \right)^2 - 2\rho '\left( t \right)\rho \left( t \right)\cos t\sen t + \left( {\rho \left( t \right)\sen t} \right)^2 + \left( {\rho '\left( t \right)\sen t} \right)^2 + 2\rho '\left( t \right)\rho \left( t \right)\cos t\sen t + \left( {\rho \left( t \right)\cos t} \right)^2 } } dt \\ = \displaystyle\int\limits_{\theta _1 }^{\theta _2 } {\sqrt {\left( {\rho '\left( t \right)\cos t} \right)^2 + \left( {\rho \left( t \right)\sen t} \right)^2 + \left( {\rho '\left( t \right)\sen t} \right)^2 + \left( {\rho \left( t \right)\cos t} \right)^2 } } dt \\ % = \displaystyle\int\limits_{\theta _1 }^{\theta _2 } {\sqrt {\left( {\rho '\left( t \right)} \right)^2 \cos ^2 t + \left( {\rho \left( t \right)} \right)^2 \sen ^2 t + \left( {\rho '\left( t \right)} \right)^2 \sen ^2 t + \left( {\rho \left( t \right)} \right)^2 \cos ^2 t} } dt \\ = \displaystyle\int\limits_{\theta _1 }^{\theta _2 } {\sqrt {\left( {\rho \left( t \right)} \right)^2 + \left( {\rho '\left( t \right)} \right)^2 } } dt \end{array} \] (Eu gosto do aspecto desta fórmula...)
Vamos a mais um exempo "estúpido"? Uma circunferência de raio $R$ ($R>0$), e centro na origem, tem como equação,em coordenadas polares, $r=R$, ou seja $\rho(\theta)=R$ com $\theta\in[0,2\pi]$ então, (risos) \[L(\gamma)=\int\limits_{0 }^{2\pi } {\sqrt {\left( {\rho \left( t \right)} \right)^2 + \left( {\rho '\left( t \right)} \right)^2 } } dt=\int\limits_{0 }^{2\pi } {\sqrt {R^2 + 0^2 }} =2\pi R \] Daqui a uns tempos uso isto para coisas mais engraçadas.

Um problema de geometria elementar (I)

As redes sociais são perda de tempo? Depende do que se faz nelas. O mesmo se pode dizer de muita coisa. Eu sigo páginas de muitos assuntos, e claro que não podia deixar de ser, muitas de Matemática. A imagem veio de uma página do facebook, "Mathematics is Poetry".
$m$ e $n$ são áreas, $x$ é o comprimento de um segmento de recta. Aquilo é um semi-circulo de diâmetro $20$, logo, o raio é $10$ e a área do semicírculo é \[A=\frac{\pi\times10^2}{2}=50\pi\]

portanto já sabemos que $m < 50\pi$
Se chamarmos $l$ á àrea do semicirculo que não faz parte de $m$, as coisas ficam mais simples.

Então $m+l=50\pi$ e $l+n$ é a área de um triângulo de base $20$ e altura $x$.
 Assim sendo $l+n=\frc{20x}{2}=10x$
Agora, o problema tem uma resolução simples.

\[ \left\{ {\begin{array}{c} {m = n + 47} \\ {m + l = 50\pi } \\ {l + n = 10x} \end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{c} {m - n = 47} \\ {m + l = 50\pi } \\ {l + n = 10x} \end{array}} \right. \] Subtraindo as duas últimas equações vem $m-n=50\pi-10x$, então, pela primeira equação, \[47=50\pi-10x\] que é equivalente a \[10x=50\pi-47\] e a \[x=5\pi-\frac{47}{10}\] Não é um problema complicado, mas também não é evidente à primeira vista, para quem nunca resolveu um problema destes.

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Esteréotipos e ideias pré-concebidas sobre qualquer coisa ou assunto, tornam-vos idiotas e péssimas pessoas.
Como o anormal que neste momento dá aulas de Teoria da Medida e da Probabilidade, e de Análise Funcional na Universidade da Madeira. Eu tenho legitimidade para chamar a esse imbecil o que me apetecer, e não é uma ideia pré-concebida. Há 26 anos que a Universidade da Madeira desce continuamente na minha consideração por manter esse anormal nos seus quadros, independentemente dos artigos que publica.
Quem discordar, ou pior, se atrever a tentar defender o #$#$#, deixou de ser bem vindo aqui.
Faça o favor de desaparecer e não voltar a qualquer blog meu.
[ Há uma razão para isto: sempre que eu tentei resolver coisas a bem, levei com prepotência ]

Há muito tempo atrás, antes de terem inventado os limites.

Introdução

 Hoje em dia, no secundário, e no ensino superior, nas várias variantes de disciplinas de Análise Matemática, quando se ensina "como deve ser", ensinam-se derivadas de funções reais de variável real, e derivadas de funções complexas de variável complexa pela sua definição como limite de um quociente.
Os integrais, no ensino superior quando se dá a sua construção, são construidos pelas definições de Riemann, Darboux, Stieltjges, ou Lebesgue.
 (Ainda conheço outras, mas nunca vi alguém atrever-se a ensiná-las em cadeiras introdutórias, e sim, há quem ensine o Integral de Lebesgue numa cadeira introdutória...)

Note-se, como eu digo na página "Notações e convenções" que eu não uso, e recuso-me a utilizar a palavra "integral" para referir-me a primitivas. Utiliza-se quase a mesma notação para integrais e primitivas, hipoteticamente por razões de vou falar abaixo.
Este post é diferente de todos os outros e vou classificá-lo de "ficção científica histórica", em primeiro lugar, porque não quero insultar, e muito menos ofender os historiadores, por quem tenho um grande respeito.

Em segundo lugar, porque depois de inúmeras leituras (de livros!) ao longo dos anos (e alguns documentários, nomeadamente da BBC), fiquei com esta ideia de como as coisas se passaram.
Não posso dar certezas. Não estive lá! (Será que estive?)

(divagação)

Pessoalmente considero criminoso ensinar integrais sem se ensinar (pelo menos) uma construcção, como se faz em muitas disciplinas de "cálculo" por este país fora (eu dei explicações por muitos anos e tive alunos de todo o país (Portugal), portanto, não estou a referir-me a nenhum sítio em particular, façam o favor de não se sentir atingidos).
A falta de tempo não pode servir de desculpa para tudo. Matemática não é uma religião, e não pode interessar só aos matemáticos. Quando se 'ensinam' coisas sem explicar porquês, está-se a pregar e não a ensinar. Que, pode não parecer, são coisas bem diferentes. Pregar leva as pessoas a perder tempo (que poderia ser útil noutra coisa), e até fazer afirmações e perguntas que não seriam bem pertinentes seriam estúpidas!

"Diferenciais"

Derivadas e integrais foram concebidos antes de se criarem os limites. Não me interpretem mal. Os limites são necessários por muito boas razões, e resolvem uma série de problemas que a abordagem que vou apresentar abaixo tem.

Hoje em dia o símbolo "$dx$" é visto pela "Matemática não-standard" como uma coisa, pela "Geometria Diferencial" como outra (eu gosto de ambas, mas vou tentar não falar delas neste texto ) e pelos físicos como outra.
Para a maioria dos matemáticos que desconhece aquelas três àreas, é só uma notação (!!!).

Originalmente $dx$, que vamos designar por "diferencial de $x$" era visto como uma variação infinitesimal de $x$, que está próxima da (se não é mesmo a) versão ainda utilizada pelo pessoal de Física.

Uma quantidade infinitamente pequena, mas que não é zero (!!! Se soubessem a quantidade de piadas que eu, e algumas pessoas fizemos com isto até ter visto o potencial da ideia...)
Portanto, vamos olhar para "$dx$" como sendo "o comprimento de um ponto" (repito: infinitamente pequeno mas não zero )

O comprimento do segmento de recta $[a,b]$ é então "o somatório integral de todos os comprimentos dos pontos pertencentes ao intervalo $[a,b]$" . E obviamente, esse comprimento é $b-a$ .

Esse somatório, vou representar, como Leibniz,  por

$$\int\limits_a^b dx$$O símbolo $\int$ é um elongamento da letra S, de summa (soma, em latim).Então a afirmação de há pouco resume-se a\[\int\limits_a^b {dx} = b-a\]

Integrais (integrais definidos)

Vou falar de integrais antes de falar de derivadas? Sim! O conceito de área, que está na origem do conceito de integral, é bem mais antigo.

Utilizando o tipo de raciocínio da secção anterior, "a área de um segmento de recta de comprimento c" será "$c\times dx$" . Estamos a olhar para um segmento de recta como se fosse um rectângulo de lados "c e dx" (Sim, eu sei, não digam nada, vamos lá respeitar o raciocínio)

Assim sendo, se pensarmos no gráfico de uma função $f$, positiva, (contínua, pelas definições actuais), a área entre o gráfico de $f$ e o eixo dos $x$, no intervalo $[a,b]$ é o "somatório integral" das áreas de todos os segmentos verticais que unem o eixo dos $x$ ao gráfico de $f$. 

Em cada ponto $x$, a área do segmento acima dele é $f(x)dx$.

Logo a área (a azul, na figura) 

é, como podem adivinhar, a soma de todos os produtos $f(x)dx$ quando $x$ percorre o intervalo $[a,b]$.
Utilizando a notação introduzida anteriormente, \[A=\int\limits_a^b {f(x)dx}\]

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$\int\limits_a^b {f(x)dx}$ designa-se por integral definido de $f$ entre $a$ e $b$

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Esta é uma notação para integrais que, como devem saber, se usa até hoje.

(Dá para brincar mais um pouco com estas ideias, por exemplo, se a função não for positiva ou se $a$ for maior do que $b$ como atribuir um significado, mas isso escapa ao objectivo deste texto, por isso deixo para outra oportunidade)

O cálculo de áreas já é uma coisa séria, e que na altura ainda tinha sérios problemas. Aqueles "$dx$" tiveram mesmo de ser estudados, e assim nasceu o "cálculo diferencial".

Arquimedes, já tinha um método para calcular áreas, Newton e Leibnitz simplesmente deram o passo seguinte sobre os trabalhos de muitos outros.

O próprio Newton reconheceu, em 1675, numa carta, 
"If I have seen further [than others], it is by standing on the shoulders of giants."

(embora a expressão shoulders of giants tenha sido popularizada muito antes dele)

Derivadas

Em cada ponto $x$ podemos desenhar aquele triângulo da figura abaixo. $dx$ é, como estabelecemos anteriormente "a espessura do ponto $x$", e $dy$ é o quanto variou $y$ do ponto de abcissa $x$ anterior para o 'actual'  (concordo que é uma bonita confusão, mas por favor, abstenham-se disso).

A taxa de variação, será então, o declive do segmento de recta a vermelho, ou seja, o quociente \[\frc{df(x)}{dx}\]
A este quociente, vamos chamar derivada de $f$ no ponto $x$.
(Não fiquem chocados, Leibniz concebeu mesmo as derivadas como quocientes de diferenciais).
Sem fugir a este tipo de raciocínio, o declive da recta tangente ao gráfico de $f$ no ponto $x$ é também $\frc{df(x)}{dx}$.
Consegue explicar porquê?

O comprimento de uma curva

Pela imagem anterior o comprimento $L$ da curva será a soma de todos os $dh$ correspondentes aos $dx$ no intervalo $[a,b]$.
Como estabelecido anteriormente, \[L=\int_a^b dh\]  $dh$ consegue calcular-se pelo teorema de Pitágoras, portanto $$dh=\sqrt{ (dx)^2+(dy)^2 }$$ pondo $(dx)^2$ em evidência, temos: $$dh=\sqrt{ (dx)^2+(dy)^2 }=\sqrt{ \left(1+\left(\frc{dy}{dx}\right)^2\right)(dx)^2 }=\sqrt{ \left(1+\left(\frc{dy}{dx}\right)^2\right)}dx $$ Então \[L=\int_a^b dh=\int_a^b\sqrt{ 1+\left(\frc{dy}{dx}\right)^2}dx \]

Conclusão

É engraçado, como com ideias hoje em dia consideradas erradas se chegam a resultados correctos. Algumas destas ideias ocorreram-me quando eu ainda estava no secundário, como piadas, que trocava com um colega de turma.
Este texto ocorreu-me depois de uma conversa com o Rafael Luís, que deixou um comentário no post anterior, a quem mando um abraço.
Podem perguntar-se se há forma de trazer estas ideias de volta para o mundo actual e de as tornar válidas outra vez.
Bem, para isso vou ter de falar-vos de números hiper-reais e de "Matemática não-standard". O assunto "Matemática não-standard" foi-me apresentado pelo professor Luis Canto Loura durante uma divagação numa aula de Análise Matemática III.
Eu acabei por investigar e adquirir material sobre o assunto. Posso garantir-vos que há forma de trazer estas ideias de volta ... Só que, o trabalho é hercúleo, e, será mesmo que compensa?

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Ah, esqueci-me de uma coisa: Porque é que tanbém se usa o símbolo $\int$ para primitivas?
Resposta: olhem com olhos de ver para o teorema fundamental do cálculo.

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PS:

• Como eu disse, isto é 'ficção científica histórica', no entanto a criação de um sistema de números que contemple de forma rigorosa 'infinitesimais' (os tais infinitamente pequenos que não são zero) faz-se em ANS (Análise não-standard). Não quero mesmo fazê-lo neste texto, nem sei ainda se consigo fazê-lo de forma aceitável e respeitável(!) neste blog.
• "Há muito tempo atrás"... aquele atrás precisa mesmo de estar ali? Eu acho que não, e o chatGPT também acha que não!
  
• Texto (ainda) em revisão, mas já pode ser lido. Nesta fase, (ainda) aceito sugestões.
• Sendo 'ficção', é uma estupidez eu expor bibliografia, mas vou acabar por mais cedo ou mais tarde deixar uma secção bibliográfica neste blog. Vou sugerir livros (!), não de História, mas de Matemática, em particular de análise não-standard [ Simpatizo com a Internet,mas nada bate um bom livro, até acho que a parte mais interessante da Wikipedia costuma ser a bibliografia contida nas referências ]

P, o primo do π

 Em https://www.facebook.com/share/r/1A5j8LkLf2/, a Inês Guimarães (Mathgurl) apresentou-nos esta propriedade:

Em qualquer parábola, se traçarmos uma paralela à tangente ao vértice que passa pelo foco, ela corta a parábola em dois pontos, $A$ e $B$.
O quociente entre o comprimento do arco de parábola que une os pontos $A$ e $B$ e o comprimento do menor segmento que une o foco à directriz é constante.
Vamos chamar $P$ a essa constante, e ainda temos que \[P=\ln \left(1+\sqrt{2})\right)+\sqrt{2}\]

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Este $P$ é designado por constante universal das parábolas.

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A afirmação de que $P$ é constante é gira... A primeira coisa que me ocorreu foi "eu acho que sei provar isso". E de facto, sei. E provei. Deixei o meu rascunho manuscrito na minha página do facebook . Hoje vou apenas reescrever essa prova aqui, com mais algum cuidado.
Sem perda de generalidade, vamos supor que a equação da parábola é \[y=ax^2+bx+c\] com $a>0$ e $b,c\in\R$. Na verdade, para a afirmação feita eu até podia considerar $b=c=0$, mas não o vou fazer.
Neste blog, no post do dia 22 de Agosto de 2024 eu mostrei que as coordenadas do foco desta parábola são \[\left(x_F,y_F\right)=\left(-\frac{b}{2a},\frac{1-\Delta}{4a}\right)\] onde $\Delta=b^2-4ac$

Então, para determinar as coordenadas dos pontos $A$ e $B$ apenas tenho de resolver a equação \[ax^2+bx+c=y_F\] Ou seja \begin{eqnarray*} {\Leftrightarrow}&{ }&{ax^2+bx+c = \frac{1-\Delta}{4a}}\\ {\Leftrightarrow}&{ }&{ax^2+bx+c = \frac{1-b^2+4ac}{4a}}\\ {\Leftrightarrow}&{ }&{4a^2x^2+4abx+4ac =1-b^2+4ac}\\ {\Leftrightarrow}&{ }&{4a^2x^2+4abx+b^2 =1}\\ {\Leftrightarrow}&{}&{(2ax+b)^2 =1}\\ {\Leftrightarrow}&{ }&{2ax+b =\pm 1}\\ {\Leftrightarrow}&{ }&{2ax =-b\pm 1}\\ {\Leftrightarrow}&{ }&{x =\frac{-b\pm 1}{2a}} \end{eqnarray*} Assim sendo temos \[A\left(\frac{-b- 1}{2a},y_F\right)\text{ ; }B\left(\frac{-b+ 1}{2a},y_F\right)\] O comprimento do arco de parábola é dado pela conhecida fórmula \[ l = \int\limits_{x_A}^{x_B} {\sqrt {1 + \left( {y'} \right)^2 } dx} \] Onde $x_A$ e $x_B$ são as abcissas dos pontos $A$ e $B$, respectivamente.
Portanto, vamos lá a isso \begin{eqnarray*} {l}&{=}&{\int\limits_{x_A}^{x_B} {\sqrt {1 + \left( {y'} \right)^2 } dx}}\\ { }&{=}&{\int\limits_{\frc{-b- 1}{2a}}^{\frc{-b+ 1}{2a}} {\sqrt {1 + \left( {2ax+b} \right)^2 } dx}} \end{eqnarray*} Para calcular este integral dá-me jeito usar a substituição $ \sh \gamma=2ax+b $ ou seja $\gamma=\argsh \left(2ax+b\right)$ e $x=\frac{\sh \gamma -b}{2a}$ que nos leva a \[\frac{dx}{d\gamma}=\frac{\ch \gamma}{2a}\] por outro lado \[ x=x_A \Rightarrow \gamma=\argsh(-1)=-\argsh 1\] \[ x=x_B \Rightarrow \gamma=\argsh 1\] Então \begin{eqnarray*} {\int\limits_{\frac{-b- 1}{2a}}^{\frac{-b+ 1}{2a}} {\sqrt {1 + \left( {2ax+b} \right)^2 } dx}}&{=}&{\frac{1}{2a}\int\limits_{-\argsh 1}^{argsh 1} {\sqrt {1 + \shq \gamma } \ch \gamma d\gamma}}\\ { }&{=}&{\frac{1}{2a}\int\limits_{-\argsh 1}^{\argsh 1} {\chq \gamma d\gamma}}\\ { }&{=}&{\frac{1}{2a}\int\limits_{-\argsh 1}^{\argsh 1} {\frac{ 1+\ch\left(2\gamma\right)}{2} d\gamma}}\\ { }&{=}&{\frac{1}{4a}\int\limits_{-\argsh 1}^{\argsh 1} {1+\ch\left(2\gamma\right) d\gamma}}\\ { }&{=}&{\frac{1}{4a}\left[ {\gamma + \frac{{\sh(2\gamma )}}{2}} \right]_{ - \argsh 1}^{\argsh 1} }\\ { }&{=}&{\frac{1}{4a}\left[ {\gamma + \sh \gamma \ch \gamma } \right]_{ - \argsh 1}^{\argsh 1} }\\ { }&{=}&{\frac{1}{4a}\left[ 2 \argsh 1 + 2\sh (\argsh 1) \ch (\argsh 1) \right] }\\ { }&{=}&{\frac{1}{2a}\left[ \ln(1+\sqrt{2}) + 1 \sqrt{1+1} \right] }\\ { }&{=}&{\frac{1}{2a}\left[ \ln(1+\sqrt{2}) + \sqrt{2} \right] } \end{eqnarray*} A distância entre o foco e a directriz, é o dobro da distância do foco ao vértice.
Assim\[d(F,V)=2\left(y_F-y_V\right)=2\left(\frac{1-\Delta}{4a}-\frac{-\Delta}{4a}\right)=\frac{1}{2a}\].

Notem que $b$ e $c$ desapareceram dos cálculos, portanto, eu podia mesmo ter desaparecido com eles logo no princípio.

Assim, finalmente \[P=\frac{\frc{1}{2a}\left[ \ln(1+\sqrt{2}) + \sqrt{2} \right]}{\frc{1}{2a}}=\ln(1+\sqrt{2}) + \sqrt{2}\]

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Será que existem "constantes" deste tipo para as hipérboles e elipses?
Eu tenho a resposta... mas vão ter de esperar, ou tentar chegar lá sozinhos.

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PS: Para quem ainda não sabe, em Setembro de 2024, durante uma crise convulsiva, eu parti uma vértebra. Sinto dores até hoje... Portanto os meus posts passaram a ser ainda mais irregulares. Podem ir passando por aqui.

Feliz 1³+2³+3³+4³+5³+6³+7³+8³+9³

Produto externo (produto vectorial/cross product) como produto matricial

 O produto vectorial, ou como eu prefiro chamar, produto externo, é um produto entre dois vectores cujo resultado é um terceiro, ortogonal aos dois iniciais. No espaço euclidiano $\R^3$ define-se assim:

\[\left( {a,b,c} \right) \times \left( {d,e,f} \right)= \left( {bf - ce,cd - af,ae - bd} \right)\]

Esta definição não é muito simpática, por isso, costuma-se ensinar uma mnemónica que recorre a um simbolo de determinante.

Este produto tem algumas propriedades interessantes.Se ${\vec u}$ , ${\vec v}$ e ${\vec w}$ forem vectores do espaço, e $\alpha$, $\beta$ números reais então: ${\vec u} \times ( \alpha {\vec v}+\beta{\vec w})=\alpha \vec u \times \vec v + \beta \vec u \times \vec w $ Isso significa que a função "multiplicar por um vector" utilizando o produto externo, é uma "aplicação linear". Traduzindo para português, dá para escrever como produto por uma matriz.
Vou deixar aqui duas formas de como o fazer. A prova, visto que é simples, deixo como exercício.
(Assim evito resolver um exercício de álgebra linear a algum aluno mais preguiçoso)
Se os vectores forem vistos como matrizes coluna, então \[ \left( {a,b,c} \right) \times \left( {d,e,f} \right) = \left[ {\begin{array}{*c} 0 & { - c} & b \\ c & 0 & { - a} \\ { - b} & a & 0 \end{array}} \right]\left[ {\begin{array}{*{20}c} d \\ e \\ f \end{array}} \right] \] Ou, se forem vistos como matrizes linha \[ \left( {a,b,c} \right) \times \left( {d,e,f} \right) = \left[ {\begin{array}{c} a & b & c \\ \end{array}} \right]\left[ {\begin{array}{c} 0 & { - f} & e \\ f & 0 & { - d} \\ { - e} & d & 0 \end{array}} \right] \] Estas duas últimas igualdades também mostram que o produto externo por um vector fixo é uma aplicação linear antisimétrica.
Qual é a utilidade disto?
Suponham (por exemplo, informaticamente)  que o ambiente no qual estão a trabalhar não tem o produto externo, e precisam mesmo dele... (já me aconteceu).

Um raio

Em https://cpaulof2.blogspot.com/2014/03/da-equacao-da-bissectriz-as-coordenadas.html eu partilhei uma fórmula para deduzir as coordenadas do incentro de um triângulo.
No momento em que escrevo estas linhas, estou acamado, no hospital Nélio Mendonça com movimentos mínimos (tenho uma vértebra partida).
Nem consigo levantar-me ou sentar-me... :'(
Deparei-me com este problema, que obviamente, não é para resolver com aquilo, mas dadas as minhas limitações, espero que fechem os olhos e aceitem a minha solução, que em vez de dar valores aproximados vai dar a solução exacta, se estiver correcta.

Com os dados apresentados, se a origem do referêncial for o ponto de tangência da circunferência com o lado [AC] temos:

$A=(-4,0)$, $B=\left(0, 4 \tan 30^o\right)=\left(0, \frc{4\sqrt{3}}{3}\right)$ e  $C=(4,0)$

O perímetro é $p=8+2\times\frc{4}{\cos 30^o}=8+2\times\frc{8}{\sqrt{3}}$

E o raio da circunferência não é mais do que a ordenada do incentro:

\[r=\frc{ay_A+by_B+cy_C}{p}=\frc{8\times\frc{4\sqrt{3}}{3} }{8+\frc{16}{\sqrt{3}}}=8-4\sqrt{3}\]

Indo à calculadora

Portanto, $1.07$
Sem nada disto, pensando como alguém que acabou de aprender trigonometria, e tem apenas uma calculadora científica, ou uma tabela(!), como se faz?
[Como prometido, abaixo está a resposta, dada em Dezembro de 2024 ]

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Vou começar por redesenhar o triângulo.

(O desenho foi feito no geogebra)
Como $A\hat BC=120^0$ então $B\hat{C}A=B\hat{A}C=\displaystyle\frac{180^0-120^0}{2}=30^0$. Para facilitar a exposiçao vou desenhar os pontos $I$ (Incentro do triângulo $[ABC]$), $D$, ponto de tangência da circunferênca inscrita no triângulo com o lado $[AB]$ e $E$, ponto de tangência da circunferênca inscrita no triângulo com o lado $[AC]$.

Os triângulos $[AEI]$ e $[ADI]$ são semelhantes e têm as mesmas dimensões, por serem ambos rectângulos com a mesma hipotenusa e um cateto igual (ao raio da circunferência).
Isso significa que os ângulos $I\hat{A}E$ e $I\hat{A}D$ têm a mesma amplitude, que é $\displaystyle\frac{30^0}{2}=15^0$.
Então
\[ \tan 15^0 = \frac{{\overline {EI} }}{4} \Leftrightarrow 4\tan 15^0 = \overline {EI} \]


Ora, $\overline {EI} $ é o raio $r$ pedido.
Assim sendo $r=\overline {EI} = 4\tan 15^0\approx{1,07179676972}\approx{1,07}$

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Fórmulas de Viéte

 

Recentemente encontrei estas fórmulas na página "Math.magazine" no facebook.
A demostração é simples se recorrermos à identidade de Euler, fórmula de De Moivre e Binómio de Newton: \[ \cos (nx) + i\sin (nx) = e^{nxi} = \left( {\cos x + i\sin x} \right)^n = \sum\limits_{k = 0}^n {\left( {\begin{array}{c} n \\ k \end{array}} \right)} \left( {\cos x} \right)^k \left( {\sin x} \right)^{n - k} i^{n - k} \] Como \[ i = e^{i\frac{\pi }{2}} \] Então \begin{eqnarray*} { \sum\limits_{k = 0}^n {\left( {\begin{array}{c} n \\ k \end{array}} \right)} \left( {\cos x} \right)^k \left( {\sin x} \right)^{n - k} i^{n - k}}&{=}&{\sum\limits_{k = 0}^n {\left( {\begin{array}{c} n \\ k \end{array}} \right)} \left( {\cos x} \right)^k \left( {\sin x} \right)^{n - k} \left( {e^{i\frac{\pi }{2}} } \right)^{n - k} }\\ {}&{=}&{\sum\limits_{k = 0}^n {\left( {\begin{array}{c} n \\ k \end{array}} \right)} \left( {\cos x} \right)^k \left( {\sin x} \right)^{n - k} \left( {e^{i\frac{{(n - k)\pi }}{2}} } \right) }\\ {}&{=}&{ \sum\limits_{k = 0}^n {\left( {\begin{array}{c} n \\ k \end{array}} \right)} \left( {\cos x} \right)^k \left( {\sin x} \right)^{n - k} \left( {\cos \frac{{(n - k)\pi }}{2} + i\sin \frac{{(n - k)\pi }}{2}} \right)} \\ {}&{=}&{\sum\limits_{k = 0}^n {\left( {\begin{array}{c} n \\ k \\ \end{array}} \right)} \left( {\cos x} \right)^k \left( {\sin x} \right)^{n - k} \cos \frac{{(n - k)\pi }}{2}+i\sum\limits_{k = 0}^n {\left( {\begin{array}{c} n \\ k \end{array}} \right)} \left( {\cos x} \right)^k \left( {\sin x} \right)^{n - k} \sin \frac{{(n - k)\pi }}{2}} \end{eqnarray*} Assim sendo, tomando as partes reais e imaginárias de cada membro da igualdade, temos \[\cos (nx)=\sum\limits_{k = 0}^n {\left( {\begin{array}{c} n \\ k \end{array}} \right)} \left( {\cos x} \right)^k \left( {\sin x} \right)^{n - k} \cos \frac{{(n - k)\pi }}{2}\] \[\sin (nx)=\sum\limits_{k = 0}^n {\left( {\begin{array}{c} n \\ k \end{array}} \right)} \left( {\cos x} \right)^k \left( {\sin x} \right)^{n - k} \sin \frac{{(n - k)\pi }}{2}\]

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PS: Deixei um documento na secção de material com estas fórmulas, e os desenvolvimentos de $n=2$ até $n=10$, gerados com o Mathematica 14.

Uma fórmula para as coordenadas do foco de uma parábola

 A foto é de um caderno meu de 1994. Um caderno de programas de calculadora. 
O leitor não imagina a quantidade absurda de disparates que já ouvi sobre os meus programas. Como pode confirmar, ali não há informática¹ . Apenas fórmulas... matemáticas. 
Aquilo para mim era tão óbvio que nem escrevi as deduções (risos).

Escrevo este post porque algumas pessoas que começam a aprender a programar calculadoras (actualmente em python), de vez em quando pedem-me sugestões e eu costumo pedir as coordenadas do foco da parábola de equação $$y=ax^2+bx+c, \text{ }a\neq 0$$
Toda a gente dá-me as coordenadas do vértice, e não do foco.

Ó pessoal. Eu sou matemático! Eu sei o que pedi! Eu pedi O FOCO!

No meu tempo, as cónicas faziam parte do programa do ensino secundário, e ainda reapareciam no ensino superior.

Há várias formas fáceis de deduzir a fórmula do vértice. Deixo isso como exercício para o leitor interessado que ainda desconheça a fórmula.
Hoje só vamos deduzir a fórmula do foco, e já agora, uma fórmula para a directriz da parábola.
O que é uma directriz?
Vamos começar por rever a definição de parábola.

Considere-se uma recta $\mathcal{d}$ e um ponto $F$ exterior à recta.

Ao conjunto dos pontos $P$ do plano que são equidistantes do ponto $F$ e da recta $\mathcal{d}$ chamamos parábola.

O ponto $F$ chama-se foco e a recta $\mathcal{d}$ chama-se directriz.

A dedução que apresento aqui, é mais sofisticada do que a que fiz na altura.
Vamos considerar $\mathcal{d}$ uma recta horizontal, com equação $y=y_d$ onde $y_d\in\R$, e $F$ o ponto de coordenadas $(x_F,y_F)$. $x_F$ e $y_F$ também são números reais, mas como pela definição não podemos ter $y_F=y_d$ vamos começar por considerar $y_F>y_d$.
De acordo com a definição, se $P(x,y)$ é um ponto da parábola então $$ d(P,F)=d(P,d)$$ Ou seja, \[\sqrt{(x-x_F)^2+(y-y_F)^2}=|y-y_d|\] Elevando ambos os termos da equação ao quadrado temos \[{(x-x_F)^2+(y-y_F)^2}=\left(y-y_d\right)^2\] que é equivalente a \[{(x-x_F)^2=\left(y-y_d\right)^2-(y-y_F)^2}\] e por sua vez, a \[{(x-x_F)^2=\left(y-y_d-y+y_F\right)\left(y-y_d+y-y_F\right)}\] e a \[{(x-x_F)^2=\left(y_F-y_d\right)\left(2y-y_d-y_F\right)}\] logo \[y=\frac{1}{2\left(y_F-y_d\right)}(x-x_F)^2+\frac{y_F+y_d}{2}\] ou, na versão que me vai dar mais jeito \[y=\frac{1}{2\left(y_F-y_d\right)}x^2-\frac{x_F}{\left(y_F-y_d\right)}x+\frac{x_F^2}{2\left(y_F-y_d\right)}+\frac{y_F+y_d}{2}\] Portanto, temos uma equação do tipo $y=ax^2+bx+c$ com \[ \left\{ {\begin{array}{*{20}l} {a = \frc{1}{{2\left( {y_F - y_d } \right)}}} \\ {b = - \frc{{x_F }}{{y_F - y_d }}} \\ {c = \frc{{x_F ^2 }}{{2\left( {y_F - y_d } \right)}} + \frc{{y_F + y_d }}{2}} \end{array}} \right. \] Agora é só resolver o sistema em ordem a $x_F,y_F$ e $y_d$. Como isto são só contas, vou colar aqui os meus cálculos, sem os explicar.
\[ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}l} {a = \frc{1}{{2\left( {y_F - y_d } \right)}}} \\ { - \frc{b}{{2a}} = x_F } \\ {c = \frc{{b^2}}{{4a}} + \frc{{y_F + y_d }}{2}} \end{array}} \right. \] \[ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}l} {y_F - y_d = \frc{1}{{2a}}} \\ {x_F = - \frc{b}{{2a}}} \\ {y_F + y_d = 2c - \frc{{b^2}}{{2a}}} \end{array}} \right. \] \[ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}l} {2y_d = 2c - \frc{{b^2}}{{2a}} - \frc{1}{{2a}}} \\ {x_F = - \frc{b}{{2a}}} \\ {2y_F = \frc{1}{{2a}} + 2c - \frc{{b^2}}{{2a}}} \end{array}} \right. \] \[ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}l} {y_d = \frc{{4ac - b^2 - 1}}{{4a}}} \\ {x_F = - \frc{b}{{2a}}} \\ {y_F = \frc{{1 + 4ac - b^2}}{{4a}}} \end{array}} \right. \] e fazendo \[\Delta=b^2-4ac\] temos \[ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}l} {y_d = - \frc{{1+\Delta}}{{4a}}} \\ {x_F = - \frc{b}{{2a}}} \\ {y_F = \frc{{1 - \Delta }}{{4a}}} \end{array}} \right. \] As fórmulas continuam válidas se $y_d>y_F$ (pode verificar como exercício)
Portanto, as coordenadas do foco são $$\left(-\frac{b}{2a},\frac{{1 - \Delta }}{{4a}}\right)$$ e uma equação da directriz é \[y = - \frac{{1 + \Delta}}{{4a}}\] Para a próxima que eu vos pedir um foco, é mesmo o foco! Está aqui a fórmula.

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Como eu disse, há cerca de 30 anos, eu deduzi isto de uma forma (bem mais) simples, e correcta.
Alguém quer tentar chegar a essa dedução?

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PS:

• Para ser mais preciso, o título devia ser 'uma fórmula para as coordenadas cartesianas do foco de uma parábola com uma equação do tipo $y=ax^2+bx+c$', mas permitam-me o abuso de linguagem
• Falta ali mais uma justificação no princípio do texto, que fica a cargo do leitor.
• Na foto do meu caderno, falta o ponto B. Isto porque um dia, há muitos muitos anos, o caderno, dentro da minha mochila, apanhou uma valente chuvada... alumas coisas ficaram borradas ou desapareceram. A cor verde parece ter sido a que mais sofreu.
  
• Por motivos a que sou alheio, alguns quadrados desapareceram das fórmulas durante a dedução (eu fiz a dedução directamente no LaTeX que escrevi aqui, e confirmei antes de postar, por isso não sei o que se passou). Já corrigi, mas é possível que ainda falte algum...
• Recentemente, alguém de Matemática perguntou-me o que é um foco. O que é que andam a ensinar nos cursos actuais?
• Texto escrito num Raspberry pi 4.

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¹ Nunca subestimem o poder da ignorância.

Desenhos numa calculadora

Um dos meus (muitos) passatempos é o desenho.

Estive a converter um esboço meu da Kara In-Ze (supergirl/DCAU) numa versão digital.
 Podem visitar a minha galeria DeviantArt clicando na imagem.

Em 1994, quando me ofereceram a minha primeira calculadora gráfica (Casio fx-6300G), explorei como poderia fazer desenhos na calculadora. Assim que aprendi a programar a calculadora numa versão muito elementar do Casio-BASIC (lendo o manual), foi um dos meus primeiros programas.

Em 1996, comprei uma Casio cfx-9800G. Esta calculadora tinha um ecrã maior e tinha matrizes. Matrizes permitiram-me rever os conceitos por detrás do meu programa de desenho.

Em 1997 comprei uma casio cfx-9950G. E nesta criei o meu terceiro programa de desenho.
(A versão final é de 1999, e ainda corre nas calculadoras actuais)

Qual é a Matemática por detrás disto?

O ecrã utilizável tem resolução 127 × 63 pixels. ( $x$ × $y$, não batam, é assim que está no manual da calculadora)

Assim, comecei por definir a janela $[1,127]×[1,63]$ 

A forma mais simples de desenhar é com traços. Matematicamente, um traço pode ser visto como um segmento de recta.  Um segmento de recta era desenhado com o comando "Line", portanto, era possivel.

Então pensei numa forma de, recolhendo as coordenadas do ponto inicial $(x_i,y_i)$ e do ponto final $(x_f,y_f)$, codificá-las num único número através da fórmula:

\[s=100x_i+y_i+\frac{x_f}{1000}+\frac{y_f}{100000}\]

Por exemplo o segmento que une os pontos de coordenadas $(123,45)$ e $(10,60)$ é convertido no número $12345.01060$.

Com isto converti um desenho "sequência de traços" numa lista de números.

O programa da calculadora guarda as listas em colunas de uma matriz (a matriz L da calculadora).

Naturalmente, é fácil reverter o processo... a calculadora, além das operações básicas tem as funções "parte inteira" e "parte fraccionária".

Eu acabei por usar algumas das ideias por detrás deste programa para outras calculadoras.  (Nomeadamente a Ti84plus)

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PS:

1. Inicialmente este post ia ser um vídeo "Aqui há Matemática". Os vídeos ficam para uma próxima oportunidade.
2. Dedico este post a todos os meus ex-explicandos e ex-alunos dos últimos 28 anos.
   (A dedicatória, deve-se ao facto de eu ter cessado funções)
3. Dedico este post também à MathGurl (duvido que ela vá ver isto, é só uma forma de eu vos mandar para o canal dela) .
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5. Eu mudei o desenho no dia 23 de Agosto de 2024. O original, está aqui.