Em https://cpaulof2.blogspot.com/2014/03/da-equacao-da-bissectriz-as-coordenadas.html eu partilhei uma fórmula para deduzir as coordenadas do incentro de um triângulo.
No momento em que escrevo estas linhas, estou acamado, no hospital Nélio Mendonça com movimentos mínimos (tenho uma vértebra partida).
Nem consigo levantar-me ou sentar-me... :'( Deparei-me com este problema, que obviamente, não é para resolver com aquilo, mas dadas as minhas limitações, espero que fechem os olhos e aceitem a minha solução, que em vez de dar valores aproximados vai dar a solução exacta, se estiver correcta.
Com os dados apresentados, se a origem do referêncial for o ponto de tangência da circunferência com o lado [AC] temos:
$A=(-4,0)$, $B=\left(0, 4 \tan 30^o\right)=\left(0, \frc{4\sqrt{3}}{3}\right)$ e $C=(4,0)$
O perímetro é $p=8+2\times\frc{4}{\cos 30^o}=8+2\times\frc{8}{\sqrt{3}}$
E o raio da circunferência não é mais do que a ordenada do incentro:
Portanto, $1.07$
Sem nada disto, pensando como alguém que acabou de aprender trigonometria, e tem apenas uma calculadora científica, ou uma tabela(!), como se faz? [Como prometido, abaixo está a resposta, dada em Dezembro de 2024 ]
Vou começar por redesenhar o triângulo.
(O desenho foi feito no geogebra)
Como $A\hat BC=120^0$ então $B\hat{C}A=B\hat{A}C=\displaystyle\frac{180^0-120^0}{2}=30^0$.
Para facilitar a exposiçao vou desenhar os pontos $I$ (Incentro do triângulo $[ABC]$), $D$, ponto de tangência da circunferênca inscrita no triângulo com o lado $[AB]$ e $E$, ponto de tangência da circunferênca inscrita no triângulo com o lado $[AC]$.
Os triângulos $[AEI]$ e $[ADI]$ são semelhantes e têm as mesmas dimensões, por serem ambos rectângulos com a mesma hipotenusa e um cateto igual (ao raio da circunferência). Isso significa que os ângulos $I\hat{A}E$ e $I\hat{A}D$ têm a mesma amplitude, que é $\displaystyle\frac{30^0}{2}=15^0$.
Então
\[
\tan 15^0 = \frac{{\overline {EI} }}{4} \Leftrightarrow 4\tan 15^0 = \overline {EI}
\]
Ora, $\overline {EI} $ é o raio $r$ pedido. Assim sendo $r=\overline {EI} = 4\tan 15^0\approx{1,07179676972}\approx{1,07}$
A foto é de um caderno meu de 1994. Um caderno de programas de calculadora. O leitor não imagina a quantidade absurda de disparates que já ouvi sobre os meus programas. Como pode confirmar, ali não há informática1 . Apenas fórmulas... matemáticas. Aquilo para mim era tão óbvio que nem escrevi as deduções (risos).
Escrevo este post porque algumas pessoas que começam a aprender a programar calculadoras (actualmente em python), de vez em quando pedem-me sugestões e eu costumo pedir as coordenadas do foco da parábola de equação $$y=ax^2+bx+c, \text{ }a\neq 0$$ Toda a gente dá-me as coordenadas do vértice, e não do foco.
Ó pessoal. Eu sou matemático! Eu sei o que pedi! Eu pedi O FOCO!
No meu tempo, as cónicas faziam parte do programa do ensino secundário, e ainda reapareciam no ensino superior.
Há várias formas fáceis de deduzir a fórmula do vértice. Deixo isso como exercício para o leitor interessado que ainda desconheça a fórmula. Hoje só vamos deduzir a fórmula do foco, e já agora, uma fórmula para a directriz da parábola. O que é uma directriz? Vamos começar por rever a definição de parábola.
Considere-se uma recta $\mathcal{d}$ e um ponto $F$ exterior à recta.
Ao conjunto dos pontos $P$ do plano que são equidistantes do ponto $F$ e da recta $\mathcal{d}$ chamamos parábola.
O ponto $F$ chama-se foco e a recta $\mathcal{d}$ chama-se directriz.
A dedução que apresento aqui, é mais sofisticada do que a que fiz na altura.
Vamos considerar $\mathcal{d}$ uma recta horizontal, com equação $y=y_d$ onde $y_d\in\R$, e $F$ o ponto de coordenadas $(x_F,y_F)$. $x_F$ e $y_F$ também são números reais, mas como pela definição não podemos ter $y_F=y_d$ vamos começar por considerar $y_F>y_d$.
De acordo com a definição, se $P(x,y)$ é um ponto da parábola então $$ d(P,F)=d(P,d)$$ Ou seja,
\[\sqrt{(x-x_F)^2+(y-y_F)^2}=|y-y_d|\]
Elevando ambos os termos da equação ao quadrado temos
\[{(x-x_F)^2+(y-y_F)^2}=\left(y-y_d\right)^2\]
que é equivalente a
\[{(x-x_F)^2=\left(y-y_d\right)^2-(y-y_F)^2}\]
e por sua vez, a
\[{(x-x_F)^2=\left(y-y_d-y+y_F\right)\left(y-y_d+y-y_F\right)}\]
e a
\[{(x-x_F)^2=\left(y_F-y_d\right)\left(2y-y_d-y_F\right)}\]
logo
\[y=\frac{1}{2\left(y_F-y_d\right)}(x-x_F)^2+\frac{y_F+y_d}{2}\]
ou, na versão que me vai dar mais jeito
\[y=\frac{1}{2\left(y_F-y_d\right)}x^2-\frac{x_F}{\left(y_F-y_d\right)}x+\frac{x_F^2}{2\left(y_F-y_d\right)}+\frac{y_F+y_d}{2}\]
Portanto, temos uma equação do tipo $y=ax^2+bx+c$
com
\[
\left\{ {\begin{array}{*{20}l}
{a = \frc{1}{{2\left( {y_F - y_d } \right)}}} \\
{b = - \frc{{x_F }}{{y_F - y_d }}} \\
{c = \frc{{x_F ^2 }}{{2\left( {y_F - y_d } \right)}} + \frc{{y_F + y_d }}{2}}
\end{array}} \right.
\]
Agora é só resolver o sistema em ordem a $x_F,y_F$ e $y_d$. Como isto são só contas, vou colar aqui os meus cálculos, sem os explicar.
\[
\Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}l}
{a = \frc{1}{{2\left( {y_F - y_d } \right)}}} \\
{ - \frc{b}{{2a}} = x_F } \\
{c = \frc{{b^2}}{{4a}} + \frc{{y_F + y_d }}{2}}
\end{array}} \right.
\]
\[
\Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}l}
{y_F - y_d = \frc{1}{{2a}}} \\
{x_F = - \frc{b}{{2a}}} \\
{y_F + y_d = 2c - \frc{{b^2}}{{2a}}}
\end{array}} \right.
\]
\[
\Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}l}
{2y_d = 2c - \frc{{b^2}}{{2a}} - \frc{1}{{2a}}} \\
{x_F = - \frc{b}{{2a}}} \\
{2y_F = \frc{1}{{2a}} + 2c - \frc{{b^2}}{{2a}}}
\end{array}} \right.
\]
\[
\Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}l}
{y_d = \frc{{4ac - b^2 - 1}}{{4a}}} \\
{x_F = - \frc{b}{{2a}}} \\
{y_F = \frc{{1 + 4ac - b^2}}{{4a}}}
\end{array}} \right.
\]
e fazendo \[\Delta=b^2-4ac\] temos
\[
\Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}l}
{y_d = - \frc{{1+\Delta}}{{4a}}} \\
{x_F = - \frc{b}{{2a}}} \\
{y_F = \frc{{1 - \Delta }}{{4a}}}
\end{array}} \right.
\]
As fórmulas continuam válidas se $y_d>y_F$ (pode verificar como exercício)
Portanto, as coordenadas do foco são $$\left(-\frac{b}{2a},\frac{{1 - \Delta }}{{4a}}\right)$$ e uma equação da directriz é \[y = - \frac{{1 + \Delta}}{{4a}}\]
Para a próxima que eu vos pedir um foco, é mesmo o foco! Está aqui a fórmula.
Como eu disse, há cerca de 30 anos, eu deduzi isto de uma forma (bem mais) simples, e correcta. Alguém quer tentar chegar a essa dedução?PS:
Para ser mais preciso, o título devia ser 'uma fórmula para as coordenadas cartesianas do foco de uma parábola com uma equação do tipo $y=ax^2+bx+c$', mas permitam-me o abuso de linguagem
Falta ali mais uma justificação no princípio do texto, que fica a cargo do leitor.
Na foto do meu caderno, falta o ponto B. Isto porque um dia, há muitos muitos anos, o caderno, dentro da minha mochila, apanhou uma valente chuvada... alumas coisas ficaram borradas ou desapareceram. A cor verde parece ter sido a que mais sofreu.
Por motivos a que sou alheio, alguns quadrados desapareceram das fórmulas durante a dedução (eu fiz a dedução directamente no LaTeX que escrevi aqui, e confirmei antes de postar, por isso não sei o que se passou). Já corrigi, mas é possível que ainda falte algum...
Recentemente, alguém de Matemática perguntou-me o que é um foco. O que é que andam a ensinar nos cursos actuais?
Estive a converter um esboço meu da Kara In-Ze (supergirl/DCAU) numa versão digital. Podem visitar a minha galeria DeviantArt clicando na imagem.
Em 1994, quando me ofereceram a minha primeira calculadora gráfica (Casio fx-6300G), explorei como poderia fazer desenhos na calculadora. Assim que aprendi a programar a calculadora numa versão muito elementar do Casio-BASIC (lendo o manual), foi um dos meus primeiros programas.
Em 1996, comprei uma Casio cfx-9800G. Esta calculadora tinha um ecrã maior e tinha matrizes. Matrizes permitiram-me rever os conceitos por detrás do meu programa de desenho.
Em 1997 comprei uma casio cfx-9950G. E nesta criei o meu terceiro programa de desenho. (A versão final é de 1999, e ainda corre nas calculadoras actuais)
Qual é a Matemática por detrás disto?
O ecrã utilizável tem resolução 127 × 63 pixels. ( $x$ × $y$, não batam, é assim que está no manual da calculadora)
Assim, comecei por definir a janela $[1,127]×[1,63]$
A forma mais simples de desenhar é com traços. Matematicamente, um traço pode ser visto como um segmento de recta. Um segmento de recta era desenhado com o comando "Line", portanto, era possivel.
Então pensei numa forma de, recolhendo as coordenadas do ponto inicial $(x_i,y_i)$ e do ponto final $(x_f,y_f)$, codificá-las num único número através da fórmula:
Eu não costumo dar explicações de Álgebra (pura) nem de Teoria dos Números. Não me aparecem muitos pedidos, e por isso não se justifica perder muito tempo a rever esses assuntos. Mas, há coisas das quais ainda me lembro, sem ter de rever. Recentemente apareceu-me um caso de um aluno que se referia "à" igualdade de Bézout como se fosse única.
O que é uma igualdade de Bézout? Dados dois naturais $a$ e $b$, se $d=mdc(a,b)$, então existem inteiros $x$ e $y$ tais que \[ax+by=d\]
E esta igualdade é uma igualdade de Bézout. É única? Não.
Por exemplo \[mdc(21,30)=3\]e
\begin{eqnarray*}
{21\times 3+30\times (-2)}&{=}&{3}\\
{21\times 13+30\times (-9)}&{=}&{3}\\
{21\times 23+30\times (-16)}&{=}&{3}\\
{21\times 33+30\times (-23)}&{=}&{3}\\
{21\times 43+30\times (-30)}&{=}&{3}
\end{eqnarray*} São cinco exemplos distinto de igualdades de Bézout. Quantas há? Infinitas. Neste caso particular, todos os pares \[(x,y)=(3+10s,-2-7s) ; s\in\Z\] tornam a igualdade \[21x+30y=3\] numa proposição verdadeira.
Como obter todas as igualdades de Bézout referente a um par de naturais $(a,b)$?
Basta resolver a equação diofantina linear
\[ax+by=mdc(a,b)\]
Como se resolve isto? Bem... fica para um próximo post. Ou, se tiver pressa, pesquise. Eu não me ofendo :)
De há alguns anos para cá, o número de alunos que me pergunta "O que é o teorema fundamental do cálculo?" tem aumentado significativamente. Não sei se devido a excessivos powerpoints (Lamento, ler powerpoints, por mais bonitos que sejam, não é dar aulas, é perder tempo e fazer o público perder tempo...). Mas também não ponho as mãos no fogo por toda a gente que me procura.
O teorema diz simplesmente que, num conjunto onde as coisas que constam da fórmula estão bem definidas (e fazem sentido), é válida a fórmula
Claro que se combinarmos isto com a regra de derivação da função composta, sai isto:
\[ \left( {\int\limits_{\varphi \left( x \right)}^{\psi \left( x \right)} {f\left( t \right)dt} } \right)^\prime = f(\psi \left( x \right))\psi '\left( x \right) - f(\varphi \left( x \right))\varphi '\left( x \right) \]
Mas, dá para generalizar, e deduzir versões mais complicadas.
Uma das causas da minha irregularidade a publicar neste blog, é que desde uns meses depois do ínicio da pandemia COVID-19 dou explicações online a uma média de 12 cadeiras por semestre sem falar das explicações ao ensino secundário
Em várias das cadeiras de Cálculo, Matemática e Análise Matemática ensinam-se derivadas de ordem $n$, polinómios e séries de Taylor (e MacLaurin).
Se para algumas pessoas é fácil e rápido detectar padrões, para outras, nem por isso.
Assim, eu acabo por sugerir a toda a gente que, ao calcular uma derivada de ordem $n$, "não simplifique as contas".
Passo a explicar: se $k$ for uma constante e $f$ uma função, então a derivada de $kf$ é $k$ vezes a derivada de $f$
Então, a derivada de, por exemplo ${5 \times f \times 10}$ também é ${5 \times f' \times 10}$.
Até perceberem o padrão, deixem o $5$ e o $10$ onde estão. Não convertam para $50 f'$
Exemplo:
Este exemplo é simples, e até dava bem para fazer sem este truque, mas o objectivo é que percebam a onde quero chegar.
Considere-se a função $f(x)=\ln(1-x)$
então:
\[
f'\left( x \right) = \frac{{ - 1}}{{1 - x}} = {\color{green} - \left( {1 - x} \right)^{ - 1} }
\]
\[
f''\left( x \right) = \left( {\color{green} - \left( {1 - x} \right)^{ - 1} } \right)' = {\color{green} -} {\color{red}\left( { - 1} \right)\left( {1 - x} \right)^{ - 2} ( - 1)}
\]
pois \[
\left( {u^n } \right)' = nu^{n - 1} u'
\]
continuando,
\[
f'''\left( x \right) = {\color{green} -} {\color{red}\left( { - 1} \right)}{\color{blue}\left( { - 2} \right)\left( {1 - x} \right)^{ - 3} ( - 1)}{\color{red}\left( { - 1} \right)}
\]
\[
f''''\left( x \right) = {\color{green} -}{\color{red}\left( { - 1} \right)}{\color{blue}\left( { - 2} \right)} \left( { - 3} \right)\left( {1 - x} \right)^{ - 4} ( - 1){\color{blue}\left( { - 1} \right)}{\color{red}\left( { - 1} \right)}
\]
Ou seja, as constantes, vou deixando "quietas", onde aparecem.
Será que depois disto, continua a ser difícil concluir que se $n\ge 1$
\[
f^{(n)} (x) = - \frac{{\left( {n - 1} \right)!}}{{\left( {1 - x} \right)^n }}
\]
?
Claro que por mim, depois disto, o correcto ainda seria provar a fórmula, por exemplo, recorrendo, por exemplo, ao método de indução.
Sugestão: tente com alguns exemplos mais complicados... e depois tente obter as fórmulas de séries de Taylor/MacLaurin referentes a esses exemplos.
“The only way to learn mathematics is to do mathematics.” - Paul Halmos
Hoje, vou começar por rever ou mesmo introduzir, três conceitos: Arranjos, séries de Fourier e função zeta de Euler (A famosa zeta de Riemann é uma extensão desta função ao conjunto dos complexos).
E com eles vou calcular a zeta de $2,4,6,8,...,2n,...$ de números pares positivos.
Sejam $n,p\in\N_1$ com $p\leq n$. Dado um conjunto de cardinal $n$, arranjos de $n$ elementos $p$ a $p$ (ou só "arranjos de $n$ $p$ a $p$") é o número de sequências de $p$ elementos distintos que é possível formar com elementos desse conjunto. Esse número representa-se por \[ \nPr{n}{p} \]
Tem-se que \[ \nPr{n}{p} =n \times \left(n-1\right)\times\cdots\times \left(n-p+1\right)\]
ou equivalentemente \[ \nPr{n}{p} =\frc{n!}{\left(n-p+1\right)!}\]
Note-se que o número $p$ é o número de factores do produto.
Por exemplo $\nPr{2021}{3}$ é um produto com três factores: $$\nPr{2021}{3}=2021\times2020\times2019$$ (É por isso que esta definição está aqui! Esta observação vai ser útil no cálculo de um integral.)
A função zeta de Euler é a função de domínio $]1,+\infty[$ definida por
\[
\zeta (s) = \sum\limits_{n = 1}^{ + \infty } {\frc{1}{{n^s }}} \text{ }\forall s\in]1,+\infty[
\]
Note-se que como a função é definida em cada ponto por uma série de Dirichlet, a função está bem definida (também há quem lhes chame séries-p, mas acho esse nome péssimo, e portanto nos meus textos, essa designação está banida).
Uma série de Dirichlet é uma série da forma $\sum\limits_{n = n_0}^{ + \infty } {\frc{1}{{n^\alpha }}}$, para $n_0\in\N_1$, e converge se e só se $\alpha>1$ )
No texto de hoje, vou limitar-me à humilde tarefa de calcular o valor exacto de $\zeta (2k)$ para $k$ natural, no domínio da função.
(Tenciono voltar a usar esta função em textos futuros, recorrendo a outras ferramentas, mas por hoje, isto é suficiente)
Seja $f:\R\to\R$ uma função seccionalmente diferenciável e periódica de período $2L$. Então a função possui uma representação em série de Fourier:
\[
\tilde{f}(x) = a_0 + \sum\limits_{n = 1}^{ + \infty } {\left[{a_n \cos \left( {\frc{{n\pi }}{L}x} \right) + b_n \sen \left( {\frc{{n\pi }}{L}x} \right)}\right]}
\]
em que
\[
\tilde{f}\left( x \right) = \left\{ {\begin{array}{cl}
{f\left( x \right)}&{ \text{se a função }f\text{ for contínua em }x} \\
{}&{} \\
{\frc{1}{2}\left( {\mathop {\lim }\limits_{t \to x^ - } f\left( t \right) + \mathop {\lim }\limits_{t \to x^ + } f\left( t \right)} \right)} &{ \text{se a função }f\text{ tiver uma descontinuidade em }x} \\
\end{array}} \right.
\]
Os coeficientes $a_n$ e $b_n$ calculam-se pelas fórmulas de Euler:
\[
a_0 = \frc{1}{{2L}}\int\limits_{ - L}^L {f\left( x \right)dx}
\]
\[
a_n = \frc{1}{L}\int\limits_{ - L}^L {f\left( x \right)\cos \left( {\frac{{n\pi }}{L}x} \right)dx}
\]
\[
b_n = \frc{1}{L}\int\limits_{ - L}^L {f\left( x \right)\sen \left( {\frac{{n\pi }}{L}x} \right)dx}
\]
A primeira parte deste texto costuma (ou costumava) ser um exercício comum em cadeiras onde se introduzem séries de Fourier. Eu vou saltar algumas deduções, mas o leitor mais curioso pode consultar qualquer livro que introduza o assunto. Exercício:
Considere-se a função $f$ de domínio $\R$, tal que $f(x)=x^2$ em $]-\pi,\pi]$, e $f$ é periódica de período $2\pi$.
Obtenha o desenvolvimento de $f$ em série de Fourier.
Uma possível resolução:
Se aplicarmos as fórmulas de Euler acima obtemos:
\[a_0=\frc{\pi^2}{3}\]
\[a_n=\frc{4}{n^2}(-1)^n\]
\[b_n=0 \text{ a função integranda é ímpar, e está a ser integrada num intervalo do tipo }[-L,L]\]
E estes resultados permitem-nos escrever
\[
f(x) = \frc{{\pi ^2 }}{3} + 4\sum\limits_{n = 1}^{ + \infty } {\left[{\frc{{( - 1)^n }}{{n^2 }}\cos \left( {nx} \right)}\right]}
\]
$\blacksquare$
E pronto. O exercício está resolvido.:
Mas,
sabemos que $f(\pi)=\pi^2$, logo, substituindo na fórmula obtida temos
\[
\pi ^2 = \frac{{\pi ^2 }}{3} + 4\sum\limits_{n = 1}^{ + \infty } {\frac{1}{{n^2 }}}
\]
\[
\Leftrightarrow \frc{{2\pi ^2 }}{3} = 4\sum\limits_{n = 1}^{ + \infty } {\frc{1}{{n^2 }}}
\]
\[
\Leftrightarrow \frc{{\pi ^2 }}{6} = \sum\limits_{n = 1}^{ + \infty } {\frc{1}{{n^2 }}}
\]
Se recordarmos a definição da função zeta (de Euler), acabei de mostrar que \[\zeta\left(2\right)= \frc{{\pi ^2 }}{6}\]
$\blacksquare$
Recorrendo a séries de Fourier, é possível calcular os valores exactos das somas de muitas outras séries, incluindo valores da função zeta.
Vamos a mais um exemplo.
Considere-se agora a função $g$ de domínio $\R$, tal que $g(x)=x^{4}$ em $]-\pi,\pi]$, e $g$ é periódica de período $2\pi$.
Se aplicarmos as fórmulas de Euler obtemos:
\[a_0=\frc{\pi^4}{5}\]
\[a_n=8\left(\frc{\pi^2}{n^2}-\frc{6}{n^4}\right)(-1)^n\]
\[b_n=0\]
então
\[
g(x) = \frc{\pi^4}{5} + 8\sum\limits_{n = 1}^{ + \infty } {\left[{\left(\frc{\pi^2}{n^2}-\frc{6}{n^4}\right)(-1)^n\cos \left( {nx} \right)}\right]}
\]
Como no exercício anterior, se fizermos $x=\pi$ temos
\[
\pi^4 = \frc{\pi^4}{5} + 8\sum\limits_{n = 1}^{ + \infty } {\left[{\left(\frc{\pi^2}{n^2}-\frc{6}{n^4}\right)}\right]}
\]
\[\Leftrightarrow
\frac{{4\pi ^4 }}{5} = 8\left( {\pi ^2 \sum\limits_{n = 1}^{ + \infty } {\frc{1}{{n^2 }}} - 6\sum\limits_{n = 1}^{ + \infty } {\frc{1}{{n^4 }}} } \right)
\]
Resolvendo em ordem a $\sum\limits_{n = 1}^{ + \infty } {\frac{1}{{n^4 }}}$ temos
\[
\sum\limits_{n = 1}^{ + \infty } {\frac{1}{{n^4 }}} = \frac{{\pi ^4 }}{{90}}
\]
ou seja,
\[
\zeta(4) = \frac{{\pi ^4 }}{{90}}
\]
Depois destes dois exemplos, consideremos um caso mais geral:
Seja $k\in\N$, e considere-se a função $h$ de domínio $\R$, tal que $h(x)=x^{2k}$ em $]-\pi,\pi]$, e $h$ é periódica de período $2\pi$.
Se aplicarmos as fórmulas de Euler obtemos:
\[
a_0 = \frc{\pi ^{2k}}{2k + 1}
\]
\[
b_{n} = \frc{1}{\pi}\int\limits_{ - \pi }^\pi {x^{2k} \sen \left( {nx} \right)dx}=0 \text { pois a função integranda é ímpar.}
\]
Quanto a uma expressão para $(a_n)$, a tarefa não é simples. Mas eu fiz as contas e tenho aqui uma expressão.
\[
a_{n} = \frc{1}{\pi}\int\limits_{ - \pi }^\pi {x^{2k} \cos \left( {nx} \right)}dx
= 2\sum\limits_{j = 1}^k {\left[ {\frc{{\left( { - 1} \right)^{n + j + 1} \pi ^{2k - 2j} }}{{n^{2j} }} \cdot\nPr{2k}{2j-1} } \right]}
\]
Se tiver curiosidade sobre o cálculo de $a_n$, utilize o botão que se segue.
A fórmula de primitivação por partes diz-nos que
\[
\int {x^m \cos \left( {\alpha x} \right)} dx = \frc{{\sen \left( {\alpha x} \right)}}{\alpha }x^m - \frc{m}{\alpha }\int {x^{m - 1} \sen \left( {\alpha x} \right)} dx
\]
\[
\int {x^m \sen \left( {\alpha x} \right)} dx = - \frc{{\cos \left( {\alpha x} \right)}}{\alpha }x^m + \frc{m}{\alpha }\int {x^{m - 1} \cos \left( {\alpha x} \right)} dx
\]
As primitivas \[\int {x^{2k} \cos \left( {\alpha x} \right)} dx\] calculam-se alternando estas duas fórmulas.
Para $k=1$ temos
\[
\int {x^2 \cos \left( {\alpha x} \right)} dx = \left( {\frc{{x^2 }}{\alpha } - \frc{2}{{\alpha ^3 }}} \right)\sen \left( {\alpha x} \right) + \frc{{2x}}{{\alpha ^2 }}\cos \left( {\alpha x} \right) + C;C\in\R
\]
Para $k=2$ temos
\[
\int {x^4 \cos \left( {\alpha x} \right)} dx = \left( {\frc{{x^4 }}{\alpha } - \frc{{4 \times 3x^2 }}{{\alpha ^3 }} + \frc{{4 \times 3 \times 2 \times 1}}{{\alpha ^5 }}} \right)\sen \left( {\alpha x} \right) + \left( {\frc{{4x^3 }}{{\alpha ^2 }} - \frc{{4 \times 3 \times 2 x}}{{\alpha ^4 }}} \right)\cos \left( {\alpha x} \right) + C;C\in\R
\]
Para $k=3$ temos
\[
\int {x^6 \cos \left( {\alpha x} \right)} dx = \left( {\frc{{x^6 }}{\alpha } - \frc{{6 \times 5x^4 }}{{\alpha ^3 }} + \frc{{6 \times 5 \times 4 \times 3x^2}}{{\alpha ^5 }} - \frc{{6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}}{{\alpha ^7 }}} \right)\sen \left( {\alpha x} \right) \\
+ \left( {\frc{{6x^5 }}{{\alpha ^2 }} - \frc{{6 \times 5 \times 4x^3 }}{{\alpha ^4 }} + \frc{{6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2x}}{{\alpha ^6 }}} \right)\cos \left( {\alpha x} \right) + C;C\in\R
\]
(Estas contas devem ser feitas à mão, sem recorrer a software de computação algébrica, ou perderão os detalhes que estão nas fórmulas que apresentei - Eu fiz as contas, tenho-as aqui comigo, só não partilho os passos todos, porque quero deixar parte da diversão para o leitor, e porque não me apetece passar umas horas a escrever $\LaTeX$ :) )
\[\cdots\]
Começa a vislumbrar-se o padrão
\[
\int {x^{2k} \cos \left( {\alpha x} \right)} dx = \left( {\sum\limits_{j = 0}^k {\frc{{\left( { - 1} \right)^j \nPr{2k}{2j}x^{2k - 2j} }}{{\alpha ^{2j + 1} }}} } \right)\sin \left( {\alpha x} \right) + \left( {\sum\limits_{j = 1}^k {\frc{{\left( { - 1} \right)^{j + 1} \nPr{2k}{2j-1}x^{2k - 2j + 1} }}{{\alpha ^{2j} }}} } \right)\cos \left( {\alpha x} \right) + C; C\in\R
\]
Depois, só para garantir a validade das fórmulas, devem provar-se por indução em $k$.
Agora basta recorrer a esta fórmula para calcular o integral
\[a_{n} = \frc{1}{\pi}\int\limits_{ - \pi }^\pi {x^{2k} \cos \left( {nx} \right)}dx \] e o resultado é imediato.
Se houver curiosidade, pressionando o botão abaixo, mostro os valores da função zeta para os pares de 2 a 100, obtidos com esta fórmula, em milissegundos, numa cópia do Mathematica 12 (para uso não comercial) num Raspberry Pi 4.
Por hoje é tudo. Até à próxima!
A primeira vez que vi a fórmula $1^2+2^2+\cdots+n^2=\frc{n(n+1)(2n+1)}{6}$ foi num exercício de indução matemática.
Com o passar dos anos foram-me aparecendo outras deduções para a fórmula.
Uma óbvia é converter o problema numa equação de diferenças e resolver, e foi um dos primeiros exemplos que testei assim qua aprendi equações de diferenças-
(Encontram uma versão dessa ideia no youtube, aqui: https://www.youtube.com/watch?v=OpA7oNmHobM)
Outra dedução de que gosto muito é visual:
https://www.youtube.com/watch?v=aXbT37IlyZQ
Mas há muitas outras. Por exemplo, recentemente encontrei esta https://www.youtube.com/watch?v=gVMEtOXdhs8.
Hoje apresento uma que me ocorreu durante uma explicação online de Probabilidades e Estatística.
Não é propriamente elegante, visto que vou "recorrer a um exército para matar uma mosca" (eu sei que a expressão é 'recorrer a um canhão para matar uma mosca' , mas aqui pode-se dizer que vou recorrer a vários canhões).
Vou recordar algumas definições:
Seja $X$ uma variável aleatória discreta e $\P$ uma medida de probabilidade
\[
X = \left\{ {\begin{array}{cl}
{x_i }&{i\in \I} \\
{} \\
{p_i^{} = \P\left( {X = x_i } \right)} \\
\end{array}} \right.
\]
O valor esperado (ou valor médio, ou esperança matemática, ou momento de primeira ordem) de $X$ é
\[
\E(X) = \sum\limits_{i \in \I} {x_i p_i }
\]
desde que se tenha
\[
\E(X) = \sum\limits_{i \in \I} {|x_i| p_i } < \infty
\]
Seja $X$ uma variável aleatória discreta e $\P$ uma medida de probabilidade
\[
X = \left\{ {\begin{array}{cl}
{x_i }&{i\in \I} \\
{} \\
{p_i^{} = \P\left( {X = x_i } \right)} \\
\end{array}} \right.
\]
O Momento de ordem $n$ da variável aleatória $X$ é
\[
\E(X^n) = \sum\limits_{i \in \I} {x_i^n p_i }
\]
desde que, uma vez mais, se tenha
\[
\E(X) = \sum\limits_{i \in \I} {|x_i|^n p_i } < \infty
\]
Seja $X$ uma variável aleatória discreta. A função geradora de momentos da variável aleatória $X$ é
\[
M_X \left( t \right) = \E\left( {e^{tX} } \right)
\]
Depois destas definições, recordo também um resultado
Seja $X$ uma variável aleatória.
\[
\left. {\frac{{d^n }}{{dt^n }}M_X (t)} \right|_{t = 0} = \E\left( {X^n } \right)
\]
Vamos a isto.
Seja $X$ uma variável aleatória com distribuição uniforme discreta de parâmetro $n$ com $n\in\N_1$, ou seja,
\[
X \til \text{Uniforme}(n)
\]
\[
P(X = i) = \left\{ {\begin{array}{ll}
{\frc{1}{n}}&{,i\in\{1,\cdots,n\}} \\
{} &{} \\
{0} & {\text{, caso contrário}}
\end{array}} \right.
\]
Então:
Muitos de nós já encontrámos problemas do tipo:Problema
Qual é o número que se segue?
Indica o termo geral da sucessão cujos primeiros termos são:
1,2,3,4,...
2,4,6,8,...
1,-4,9,-16,...
2,4,8,16,...
Certamente, muitos responderão:
Número seguinte:$5$, termo geral $a_n=n$
Número seguinte:$10$, termo geral $b_n=2n$
Número seguinte:$25$, termo geral $c_n=(-1)^{n+1}n^2$
Número seguinte:$32$, termo geral $d_n=2^n$
Estarão correctos?
Sim... e não!
Há um problema na formulação destas questões.
É que na realidade não há resposta única!
Pedir "o" número seguinte, quando na verdade a resposta não é única, não faz sentido
Imagino que o leitor esteja a pensar "Este tipo está maluco! Como não há resposta única?"
Por exemplo, poderia apetecer-me responder
Número seguinte:$2021$, termo geral $a_n= 84n^{4}- 840{n}^{3}+2940{n}^{2}- 4199{n}+2016$
Número seguinte:$77$, termo geral $b_n= \displaystyle\frac{67}{24}n^{4}-\displaystyle\frac{335}{12}{n}^{3}+\displaystyle\frac{2345}{24}{n}^{2}-\displaystyle\frac{1651}{12}{n}+67 $
Número seguinte:$0$, termo geral $c_n= \displaystyle\frac{45}{8}n^{4}-\displaystyle\frac{787}{12}{n}^{3}+\displaystyle\frac{2095}{8}{n}^{2}-\displaystyle\frac{4991}{12}{n}+215 $
Número seguinte:$2020$, termo geral $d_n=\displaystyle\frac{995}{12}n^{4}-\displaystyle\frac{4973}{6}{n}^{3}+\displaystyle\frac{34813}{12}{n}^{2}-\displaystyle\frac{24859}{6}{n}+1990$
Não estou a ser troll. Podem verificar, sem problema nenhum, que as minhas respostas satisfazem as condições do enunciado, e também dão os números que apresentei.
Recomendo mesmo que faça as contas! [Se pressionar no botão que se segue pode ver screenshots da minha calculadora CASIO fx-CG20 onde mostro as minhas contas feitas.]
Está convencido que as minhas expressões geram os números do enunciado e também os números que eu disse? [Se não está, faça as contas... garanto que não estou a vigarizar...]
Note que o enunciado não impede que o nosso termo geral seja definido por ramos!
Portanto, eu até poderia dar uma resposta um bocadinho diferente.
\[
a_5=2021\\
a_n = \left\{ {\begin{array}{c}
{n\text{ se }n \leq 4} \\
{2021\text{ se }n > 4}
\end{array}} \right.
\]
\[
b_5=77\\
b_n = \left\{ {\begin{array}{c}
{2n\text{ se }n \leq 4} \\
{77\text{ se }n > 4}
\end{array}} \right.
\]
\[
c_5=0\\
c_n = \left\{ {\begin{array}{c}
{(-1)^{n+1}n^2\text{ se }n \leq 4} \\
{0\text{ se }n > 4}
\end{array}} \right.
\]
\[
d_5=2020\\
d_n = \left\{ {\begin{array}{c}
{2^n\text{ se }n \leq 4} \\
{2020\text{ se }n > 4}
\end{array}} \right.
\]
Não digam que "não estou a seguir o padrão". Quem vos garante que "o padrão" não é uma das fórmulas que indiquei? Fui eu que escrevi o enunciado!
Estando o enunciado como está, os valores de $a_5$, $b_5$, $c_5$, $d_5$ são arbitrários! E assim sendo, não há expressões únicas para as expressões dos termos gerais.
Portanto a resposta a "Qual é o número que se segue?" pode muito bem ser: "Um número qualquer"!
E está correcta!
Querem que a resposta seja "única"? Formulem a pergunta de outra forma.
Como foi que eu obtive as expressões que escrevi antes de escrever as versões definidas por ramos?
Penso que deve ser óbvio.
Se não for, continue a leitura!
Recentemente encontrei no facebook um post onde pediam "o" termo geral para a sucessão.
\[18,16,14,13,...\]
Não sendo uma coisa "óbvia", deduzi o polinómio interpolador de 3º grau para os pontos $(1,18),(2,16),(3,14),(4,13)$:
\[
\begin{array}{|c||c|c|c|c|}
\hline
{i} & {0} & {1} & {2} & {3} \\
\hline\hline
{x}_{i} & {1} & {2} & {3} & {4} \\
{y}_{i} & {18} & {16} & {14} & {13} \\
\hline
\end{array}
\]
Tabela de diferenças divididas associada a estes pares ordenados:
\[
\begin{array}{c|c|ccc}
{x} & {y} & {y[.,.]} & {y[.,.,.]} & {y[.,.,.,.]} \\
\hline
{1} & {18} & { } & { } & { } \\
{ } & { } & {- 2} & { } & { } \\
{2} & {16} & { } & {0} & { } \\
{ } & { } & {- 2} & { } & {\displaystyle\frac{1}{6}} \\
{3} & {14} & { } & {\displaystyle\frac{1}{2}} & { } \\
{ } & { } & {- 1} & { } & { } \\
{4} & {13} & { } & { } & { } \\
\hline
\end{array}
\]
Polinómio interpolador na forma de Newton: \[
P(x)=18- 2\left( x - 1\right)+0\left( x - 1\right)\left( x - 2\right)+\displaystyle\frac{1}{6}\left( x - 1\right)\left( x - 2\right)\left( x - 3\right) \]
Polinómio interpolador na forma canónica \[
P(x) = \displaystyle\frac{1}{6}x^{3}- {x}^{2}-\displaystyle\frac{1}{6}{x}+19 \]
Logo, uma possível expressão geral para a sucessão, pode ser:
\[
u_n = \displaystyle\frac{1}{6}n^{3}- {n}^{2}-\displaystyle\frac{1}{6}{n}+19=\displaystyle\frac{n^{3}-6n^2-n}{6}+19 \]
Para ser honesto, na altura resolvi a questão bem rapidamente, com a minha calculadora, e não o fiz como apresentei.
O polinómio interpolador de Lagrange para $N+1$ pontos sem repetições de abcissas coincide com a regressão polinomial de grau $N$ para esses pontos [Posso sugerir a demonstração disso como exercício, (ver comentário 1 no fim)...Fi-lo uma vez para reduzir uma lista de trabalho que eu tinha para metade...].
Ou seja, se fizerem uma regressão polinomial de grau $3$ para os $4$ pontos que se seguem
\[(1,18),(2,16),(3,14),(4,13)\]
obtêm o mesmo polinómio.
Já perceberam como obtive as expressões polinomiais? Moral da história: Qual é o número que se segue? Resposta: O número que vos apetecer!
Até uma próxima oportunidade.
Carlos Paulo
Comentários:
A demonstração de que o polinómio interpolador de Lagrange é a curva de regressão polinomial descrita no texto é óbvia: qual é mesmo a distância dos pontos ao gráfico da função descrita pelo polinómio interpolador?
O algoritmo das diferenças divididas apresentado no texto, foi totalmente gerado por uma criação minha, a cpcalculadorajs, que esteve alojada no serviço de homepages do sapo entre 2004 e 2014.O serviço fechou em 2014.
A cpcalculadorajs calculou o polinómio, e gerou todo o código LaTeX.
Em 2008, um professor, numa tentativa de me insultar e menosprezar o meu trabalho disse-me que não via a utilidade daquilo.
Na altura respondi: Está na Internet, e corre em qualquer computador, em qualquer sistema operativo sem necessidade de software especial. Eu não preciso do Mathematica. nem do Matlab, nem de uma linguagem de programação. Basta-me ter um browser.
Hoje em dia existem centenas de sites que usam a mesma filosofia de trabalho...
A cpcalculadoraJS já não está online... mas continua a estar nos meus computadores. Aqui em casa, uma cópia está num RaspberryPi 4B.
Para este texto, levei menos de 30 segundos a introduzir os pontos, e a ter o polinómio calculado, e o LaTeX gerado e copiado para aqui.
