31/12/2024
15/11/2024
Produto externo (produto vectorial/cross product) como produto matricial
O produto vectorial, ou como eu prefiro chamar, produto externo, é um produto entre dois vectores cujo resultado é um terceiro, ortogonal aos dois iniciais. No espaço euclidiano $\R^3$ define-se assim:
\[\left( {a,b,c} \right) \times \left( {d,e,f} \right)= \left( {bf - ce,cd - af,ae - bd} \right)\]Esta definição não é muito simpática, por isso, costuma-se ensinar uma mnemónica que recorre a um simbolo de determinante.
Este produto tem algumas propriedades interessantes.Se ${\vec u}$ , ${\vec v}$ e ${\vec w}$ forem vectores do espaço, e $\alpha$, $\beta$ números reais então:
${\vec u} \times ( \alpha {\vec v}+\beta{\vec w})=\alpha \vec u \times \vec v + \beta \vec u \times \vec w $
Isso significa que a função "multiplicar por um vector" utilizando o produto externo, é uma "aplicação linear". Traduzindo para português, dá para escrever como produto por uma matriz.
Vou deixar aqui duas formas de como o fazer. A prova, visto que é simples, deixo como exercício.
(Assim evito resolver um exercício de álgebra linear a algum aluno mais preguiçoso)
Se os vectores forem vistos como matrizes coluna, então \[ \left( {a,b,c} \right) \times \left( {d,e,f} \right) = \left[ {\begin{array}{*c} 0 & { - c} & b \\ c & 0 & { - a} \\ { - b} & a & 0 \end{array}} \right]\left[ {\begin{array}{*{20}c} d \\ e \\ f \end{array}} \right] \] Ou, se forem vistos como matrizes linha \[ \left( {a,b,c} \right) \times \left( {d,e,f} \right) = \left[ {\begin{array}{c} a & b & c \\ \end{array}} \right]\left[ {\begin{array}{c} 0 & { - f} & e \\ f & 0 & { - d} \\ { - e} & d & 0 \end{array}} \right] \] Estas duas últimas igualdades também mostram que o produto externo por um vector fixo é uma aplicação linear antisimétrica.
Qual é a utilidade disto?
Suponham (por exemplo, informaticamente) que o ambiente no qual estão a trabalhar não tem o produto externo, e precisam mesmo dele... (já me aconteceu).
25/09/2024
Um raio
Em https://cpaulof2.blogspot.com/2014/03/da-equacao-da-bissectriz-as-coordenadas.html eu partilhei uma fórmula para deduzir as coordenadas do incentro de um triângulo.
No momento em que escrevo estas linhas, estou acamado, no hospital Nélio Mendonça com movimentos mínimos (tenho uma vértebra partida).
Nem consigo levantar-me ou sentar-me... :'(
Deparei-me com este problema, que obviamente, não é para resolver com aquilo, mas dadas as minhas limitações, espero que fechem os olhos e aceitem a minha solução, que em vez de dar valores aproximados vai dar a solução exacta, se estiver correcta.
Com os dados apresentados, se a origem do referêncial for o ponto de tangência da circunferência com o lado [AC] temos:
Portanto, $1.07$
Sem nada disto, pensando como alguém que acabou de aprender trigonometria, e tem apenas uma calculadora científica, ou uma tabela(!), como se faz?
[Como prometido, abaixo está a resposta, dada em Dezembro de 2024 ]
Vou começar por redesenhar o triângulo.
(O desenho foi feito no geogebra)
Como $A\hat BC=120^0$ então $B\hat{C}A=B\hat{A}C=\displaystyle\frac{180^0-120^0}{2}=30^0$. Para facilitar a exposiçao vou desenhar os pontos $I$ (Incentro do triângulo $[ABC]$), $D$, ponto de tangência da circunferênca inscrita no triângulo com o lado $[AB]$ e $E$, ponto de tangência da circunferênca inscrita no triângulo com o lado $[AC]$.
Os triângulos $[AEI]$ e $[ADI]$ são semelhantes e têm as mesmas dimensões, por serem ambos rectângulos com a mesma hipotenusa e um cateto igual (ao raio da circunferência).
Isso significa que os ângulos $I\hat{A}E$ e $I\hat{A}D$ têm a mesma amplitude, que é $\displaystyle\frac{30^0}{2}=15^0$.
Então
\[ \tan 15^0 = \frac{{\overline {EI} }}{4} \Leftrightarrow 4\tan 15^0 = \overline {EI} \]
Ora, $\overline {EI} $ é o raio $r$ pedido.
Assim sendo $r=\overline {EI} = 4\tan 15^0\approx{1,07179676972}\approx{1,07}$
No momento em que escrevo estas linhas, estou acamado, no hospital Nélio Mendonça com movimentos mínimos (tenho uma vértebra partida).
Nem consigo levantar-me ou sentar-me... :'(
Deparei-me com este problema, que obviamente, não é para resolver com aquilo, mas dadas as minhas limitações, espero que fechem os olhos e aceitem a minha solução, que em vez de dar valores aproximados vai dar a solução exacta, se estiver correcta.
$A=(-4,0)$, $B=\left(0, 4 \tan 30^o\right)=\left(0, \frc{4\sqrt{3}}{3}\right)$ e $C=(4,0)$
O perímetro é $p=8+2\times\frc{4}{\cos 30^o}=8+2\times\frc{8}{\sqrt{3}}$
E o raio da circunferência não é mais do que a ordenada do incentro:
\[r=\frc{ay_A+by_B+cy_C}{p}=\frc{8\times\frc{4\sqrt{3}}{3} }{8+\frc{16}{\sqrt{3}}}=8-4\sqrt{3}\]
Indo à calculadora
Sem nada disto, pensando como alguém que acabou de aprender trigonometria, e tem apenas uma calculadora científica, ou uma tabela(!), como se faz?
[Como prometido, abaixo está a resposta, dada em Dezembro de 2024 ]
Vou começar por redesenhar o triângulo.
(O desenho foi feito no geogebra)
Como $A\hat BC=120^0$ então $B\hat{C}A=B\hat{A}C=\displaystyle\frac{180^0-120^0}{2}=30^0$. Para facilitar a exposiçao vou desenhar os pontos $I$ (Incentro do triângulo $[ABC]$), $D$, ponto de tangência da circunferênca inscrita no triângulo com o lado $[AB]$ e $E$, ponto de tangência da circunferênca inscrita no triângulo com o lado $[AC]$.
Os triângulos $[AEI]$ e $[ADI]$ são semelhantes e têm as mesmas dimensões, por serem ambos rectângulos com a mesma hipotenusa e um cateto igual (ao raio da circunferência).
Isso significa que os ângulos $I\hat{A}E$ e $I\hat{A}D$ têm a mesma amplitude, que é $\displaystyle\frac{30^0}{2}=15^0$.
Então
\[ \tan 15^0 = \frac{{\overline {EI} }}{4} \Leftrightarrow 4\tan 15^0 = \overline {EI} \]
Ora, $\overline {EI} $ é o raio $r$ pedido.
Assim sendo $r=\overline {EI} = 4\tan 15^0\approx{1,07179676972}\approx{1,07}$
02/09/2024
Fórmulas de Viéte
Recentemente encontrei estas fórmulas na página "Math.magazine" no facebook.
A demostração é simples se recorrermos à identidade de Euler, fórmula de De Moivre e Binómio de Newton: \[ \cos (nx) + i\sin (nx) = e^{nxi} = \left( {\cos x + i\sin x} \right)^n = \sum\limits_{k = 0}^n {\left( {\begin{array}{c} n \\ k \end{array}} \right)} \left( {\cos x} \right)^k \left( {\sin x} \right)^{n - k} i^{n - k} \] Como \[ i = e^{i\frac{\pi }{2}} \] Então \begin{eqnarray*} { \sum\limits_{k = 0}^n {\left( {\begin{array}{c} n \\ k \end{array}} \right)} \left( {\cos x} \right)^k \left( {\sin x} \right)^{n - k} i^{n - k}}&{=}&{\sum\limits_{k = 0}^n {\left( {\begin{array}{c} n \\ k \end{array}} \right)} \left( {\cos x} \right)^k \left( {\sin x} \right)^{n - k} \left( {e^{i\frac{\pi }{2}} } \right)^{n - k} }\\ {}&{=}&{\sum\limits_{k = 0}^n {\left( {\begin{array}{c} n \\ k \end{array}} \right)} \left( {\cos x} \right)^k \left( {\sin x} \right)^{n - k} \left( {e^{i\frac{{(n - k)\pi }}{2}} } \right) }\\ {}&{=}&{ \sum\limits_{k = 0}^n {\left( {\begin{array}{c} n \\ k \end{array}} \right)} \left( {\cos x} \right)^k \left( {\sin x} \right)^{n - k} \left( {\cos \frac{{(n - k)\pi }}{2} + i\sin \frac{{(n - k)\pi }}{2}} \right)} \\ {}&{=}&{\sum\limits_{k = 0}^n {\left( {\begin{array}{c} n \\ k \\ \end{array}} \right)} \left( {\cos x} \right)^k \left( {\sin x} \right)^{n - k} \cos \frac{{(n - k)\pi }}{2}+i\sum\limits_{k = 0}^n {\left( {\begin{array}{c} n \\ k \end{array}} \right)} \left( {\cos x} \right)^k \left( {\sin x} \right)^{n - k} \sin \frac{{(n - k)\pi }}{2}} \end{eqnarray*} Assim sendo, tomando as partes reais e imaginárias de cada membro da igualdade, temos \[\cos (nx)=\sum\limits_{k = 0}^n {\left( {\begin{array}{c} n \\ k \end{array}} \right)} \left( {\cos x} \right)^k \left( {\sin x} \right)^{n - k} \cos \frac{{(n - k)\pi }}{2}\] \[\sin (nx)=\sum\limits_{k = 0}^n {\left( {\begin{array}{c} n \\ k \end{array}} \right)} \left( {\cos x} \right)^k \left( {\sin x} \right)^{n - k} \sin \frac{{(n - k)\pi }}{2}\]
PS: Deixei um documento na secção de material com estas fórmulas, e os desenvolvimentos de $n=2$ até $n=10$, gerados com o Mathematica 14.
22/08/2024
Uma fórmula para as coordenadas do foco de uma parábola
A foto é de um caderno meu de 1994. Um caderno de programas de calculadora.
O leitor não imagina a quantidade absurda de disparates que já ouvi sobre os meus programas. Como pode confirmar, ali não há informática1 . Apenas fórmulas... matemáticas.
Aquilo para mim era tão óbvio que nem escrevi as deduções (risos).
Escrevo este post porque algumas pessoas que começam a aprender a programar calculadoras (actualmente em python), de vez em quando pedem-me sugestões e eu costumo pedir as coordenadas do foco da parábola de equação $$y=ax^2+bx+c, \text{ }a\neq 0$$
Toda a gente dá-me as coordenadas do vértice, e não do foco.
Ó pessoal. Eu sou matemático! Eu sei o que pedi! Eu pedi O FOCO!
No meu tempo, as cónicas faziam parte do programa do ensino secundário, e ainda reapareciam no ensino superior.
Há várias formas fáceis de deduzir a fórmula do vértice. Deixo isso como exercício para o leitor interessado que ainda desconheça a fórmula.
Hoje só vamos deduzir a fórmula do foco, e já agora, uma fórmula para a directriz da parábola.
O que é uma directriz?
Vamos começar por rever a definição de parábola.
Considere-se uma recta $\mathcal{d}$ e um ponto $F$ exterior à recta.
Ao conjunto dos pontos $P$ do plano que são equidistantes do ponto $F$ e da recta $\mathcal{d}$ chamamos parábola.
O ponto $F$ chama-se foco e a recta $\mathcal{d}$ chama-se directriz.
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Vamos considerar $\mathcal{d}$ uma recta horizontal, com equação $y=y_d$ onde $y_d\in\R$, e $F$ o ponto de coordenadas $(x_F,y_F)$. $x_F$ e $y_F$ também são números reais, mas como pela definição não podemos ter $y_F=y_d$ vamos começar por considerar $y_F>y_d$.
De acordo com a definição, se $P(x,y)$ é um ponto da parábola então $$ d(P,F)=d(P,d)$$ Ou seja, \[\sqrt{(x-x_F)^2+(y-y_F)^2}=|y-y_d|\] Elevando ambos os termos da equação ao quadrado temos \[{(x-x_F)^2+(y-y_F)^2}=\left(y-y_d\right)^2\] que é equivalente a \[{(x-x_F)^2=\left(y-y_d\right)^2-(y-y_F)^2}\] e por sua vez, a \[{(x-x_F)^2=\left(y-y_d-y+y_F\right)\left(y-y_d+y-y_F\right)}\] e a \[{(x-x_F)^2=\left(y_F-y_d\right)\left(2y-y_d-y_F\right)}\] logo \[y=\frac{1}{2\left(y_F-y_d\right)}(x-x_F)^2+\frac{y_F+y_d}{2}\] ou, na versão que me vai dar mais jeito \[y=\frac{1}{2\left(y_F-y_d\right)}x^2-\frac{x_F}{\left(y_F-y_d\right)}x+\frac{x_F^2}{2\left(y_F-y_d\right)}+\frac{y_F+y_d}{2}\] Portanto, temos uma equação do tipo $y=ax^2+bx+c$ com \[ \left\{ {\begin{array}{*{20}l} {a = \frc{1}{{2\left( {y_F - y_d } \right)}}} \\ {b = - \frc{{x_F }}{{y_F - y_d }}} \\ {c = \frc{{x_F ^2 }}{{2\left( {y_F - y_d } \right)}} + \frc{{y_F + y_d }}{2}} \end{array}} \right. \] Agora é só resolver o sistema em ordem a $x_F,y_F$ e $y_d$. Como isto são só contas, vou colar aqui os meus cálculos, sem os explicar.
\[ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}l} {a = \frc{1}{{2\left( {y_F - y_d } \right)}}} \\ { - \frc{b}{{2a}} = x_F } \\ {c = \frc{{b^2}}{{4a}} + \frc{{y_F + y_d }}{2}} \end{array}} \right. \] \[ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}l} {y_F - y_d = \frc{1}{{2a}}} \\ {x_F = - \frc{b}{{2a}}} \\ {y_F + y_d = 2c - \frc{{b^2}}{{2a}}} \end{array}} \right. \] \[ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}l} {2y_d = 2c - \frc{{b^2}}{{2a}} - \frc{1}{{2a}}} \\ {x_F = - \frc{b}{{2a}}} \\ {2y_F = \frc{1}{{2a}} + 2c - \frc{{b^2}}{{2a}}} \end{array}} \right. \] \[ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}l} {y_d = \frc{{4ac - b^2 - 1}}{{4a}}} \\ {x_F = - \frc{b}{{2a}}} \\ {y_F = \frc{{1 + 4ac - b^2}}{{4a}}} \end{array}} \right. \] e fazendo \[\Delta=b^2-4ac\] temos \[ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}l} {y_d = - \frc{{1+\Delta}}{{4a}}} \\ {x_F = - \frc{b}{{2a}}} \\ {y_F = \frc{{1 - \Delta }}{{4a}}} \end{array}} \right. \] As fórmulas continuam válidas se $y_d>y_F$ (pode verificar como exercício)
Portanto, as coordenadas do foco são $$\left(-\frac{b}{2a},\frac{{1 - \Delta }}{{4a}}\right)$$ e uma equação da directriz é \[y = - \frac{{1 + \Delta}}{{4a}}\] Para a próxima que eu vos pedir um foco, é mesmo o foco! Está aqui a fórmula.
Como eu disse, há cerca de 30 anos, eu deduzi isto de uma forma (bem mais) simples, e correcta.
Alguém quer tentar chegar a essa dedução?
PS:
- Para ser mais preciso, o título devia ser 'uma fórmula para as coordenadas cartesianas do foco de uma parábola com uma equação do tipo $y=ax^2+bx+c$', mas permitam-me o abuso de linguagem
- Falta ali mais uma justificação no princípio do texto, que fica a cargo do leitor.
- Na foto do meu caderno, falta o ponto B. Isto porque um dia, há muitos muitos anos, o caderno, dentro da minha mochila, apanhou uma valente chuvada... alumas coisas ficaram borradas ou desapareceram. A cor verde parece ter sido a que mais sofreu.
- Por motivos a que sou alheio, alguns quadrados desapareceram das fórmulas durante a dedução (eu fiz a dedução directamente no LaTeX que escrevi aqui, e confirmei antes de postar, por isso não sei o que se passou). Já corrigi, mas é possível que ainda falte algum...
- Recentemente, alguém de Matemática perguntou-me o que é um foco. O que é que andam a ensinar nos cursos actuais?
- Texto escrito num Raspberry pi 4.
1 Nunca subestimem o poder da ignorância.
03/08/2024
Desenhos numa calculadora
Um dos meus (muitos) passatempos é o desenho.
Estive a converter um esboço meu da Kara In-Ze (supergirl/DCAU) numa versão digital.
Podem visitar a minha galeria DeviantArt clicando na imagem.
Em 1994, quando me ofereceram a minha primeira calculadora gráfica (Casio fx-6300G), explorei como poderia fazer desenhos na calculadora. Assim que aprendi a programar a calculadora numa versão muito elementar do Casio-BASIC (lendo o manual), foi um dos meus primeiros programas.
Em 1996, comprei uma Casio cfx-9800G. Esta calculadora tinha um ecrã maior e tinha matrizes. Matrizes permitiram-me rever os conceitos por detrás do meu programa de desenho.
Em 1997 comprei uma casio cfx-9950G. E nesta criei o meu terceiro programa de desenho.
(A versão final é de 1999, e ainda corre nas calculadoras actuais)
Qual é a Matemática por detrás disto?
O ecrã utilizável tem resolução 127 × 63 pixels. ( $x$ × $y$, não batam, é assim que está no manual da calculadora)
Assim, comecei por definir a janela $[1,127]×[1,63]$
A forma mais simples de desenhar é com traços. Matematicamente, um traço pode ser visto como um segmento de recta. Um segmento de recta era desenhado com o comando "Line", portanto, era possivel.
Então pensei numa forma de, recolhendo as coordenadas do ponto inicial $(x_i,y_i)$ e do ponto final $(x_f,y_f)$, codificá-las num único número através da fórmula:
\[s=100x_i+y_i+\frac{x_f}{1000}+\frac{y_f}{100000}\]
Por exemplo o segmento que une os pontos de coordenadas $(123,45)$ e $(10,60)$ é convertido no número $12345.01060$.
Com isto converti um desenho "sequência de traços" numa lista de números.
O programa da calculadora guarda as listas em colunas de uma matriz (a matriz L da calculadora).
Naturalmente, é fácil reverter o processo... a calculadora, além das operações básicas tem as funções "parte inteira" e "parte fraccionária".
Eu acabei por usar algumas das ideias por detrás deste programa para outras calculadoras. (Nomeadamente a Ti84plus)
PS:
- Inicialmente este post ia ser um vídeo "Aqui há Matemática". Os vídeos ficam para uma próxima oportunidade.
- Dedico este post a todos os meus ex-explicandos e ex-alunos dos últimos 28 anos.
(A dedicatória, deve-se ao facto de eu ter cessado funções) - Dedico este post também à MathGurl (duvido que ela vá ver isto, é só uma forma de eu vos mandar para o canal dela) .
- Eu mudei o desenho no dia 23 de Agosto de 2024. O original, está aqui.
13/06/2023
"A" Igualdade de Bézout? UMA igualdade de Bézout.
Eu não costumo dar explicações de Álgebra (pura) nem de Teoria dos Números.
Não me aparecem muitos pedidos, e por isso não se justifica perder muito tempo a rever esses assuntos. Mas, há coisas das quais ainda me lembro, sem ter de rever.
Recentemente apareceu-me um caso de um aluno que se referia "à" igualdade de Bézout como se fosse única.
O que é uma igualdade de Bézout?
Dados dois naturais $a$ e $b$, se $d=mdc(a,b)$, então existem inteiros $x$ e $y$ tais que
\[ax+by=d\]
E esta igualdade é uma igualdade de Bézout.
É única?
Não.
Por exemplo \[mdc(21,30)=3\]e
\begin{eqnarray*}
{21\times 3+30\times (-2)}&{=}&{3}\\
{21\times 13+30\times (-9)}&{=}&{3}\\
{21\times 23+30\times (-16)}&{=}&{3}\\
{21\times 33+30\times (-23)}&{=}&{3}\\
{21\times 43+30\times (-30)}&{=}&{3}
\end{eqnarray*}
São cinco exemplos distinto de igualdades de Bézout.
Quantas há?
Infinitas.
Neste caso particular, todos os pares
\[(x,y)=(3+10s,-2-7s) ; s\in\Z\]
tornam a igualdade
\[21x+30y=3\] numa proposição verdadeira.
Como obter todas as igualdades de Bézout referente a um par de naturais $(a,b)$?
Basta resolver a equação diofantina linear
\[ax+by=mdc(a,b)\]
Como se resolve isto? Bem... fica para um próximo post.
Ou, se tiver pressa, pesquise. Eu não me ofendo :)
09/06/2023
O Teorema fundamental do Cálculo e a regra de Leibnitz.
De há alguns anos para cá, o número de alunos que me pergunta "O que é o teorema fundamental do cálculo?" tem aumentado significativamente. Não sei se devido a excessivos powerpoints (Lamento, ler powerpoints, por mais bonitos que sejam, não é dar aulas, é perder tempo e fazer o público perder tempo...).
Mas também não ponho as mãos no fogo por toda a gente que me procura.
O teorema diz simplesmente que, num conjunto onde as coisas que constam da fórmula estão bem definidas (e fazem sentido), é válida a fórmula
\[ \frac{d}{{dx}}\left( {\int\limits_a^x {f\left( t \right)dt} } \right) = f(x) \]
Claro que se combinarmos isto com a regra de derivação da função composta, sai isto:
\[
\left( {\int\limits_{\varphi \left( x \right)}^{\psi \left( x \right)} {f\left( t \right)dt} } \right)^\prime = f(\psi \left( x \right))\psi '\left( x \right) - f(\varphi \left( x \right))\varphi '\left( x \right)
\]
Mas, dá para generalizar, e deduzir versões mais complicadas.
Por exemplo e se for este?
\[
\frac{d}{{dx}}\left( {\int\limits_a^x {f\left( {x,t} \right)dt} } \right)
\]
Também se deduz.
Começamos por definir:
\[
I(x,z) = \int\limits_a^x {f\left( {z,y} \right)dy}
\]
Calcular
\[
\frac{{\partial I}}{{\partial x}}(x,z) = \frac{d}{{dx}}\left( {\int\limits_a^x {f\left( {z,y} \right)dy} } \right) = f\left( {z,x} \right)
\]
e
\[
\frac{{\partial I}}{{\partial z}}(x,z) = \int\limits_a^x {\frac{\partial }{{\partial z}}\left( {f\left( {z,y} \right)} \right)dy} = \int\limits_a^x {\frac{\partial }{{\partial x}}\left( {f\left( {z,y} \right)} \right)\frac{{\partial x}}{{\partial z}}dy} = \int\limits_a^x {\frac{\partial }{{\partial x}}\left( {f\left( {z,y} \right)} \right)dy}
\]
E finalmente fazer
\[
\frac{d}{{dx}}\int\limits_a^x {f\left( {x,y} \right)dy} = \frac{d}{{dx}}I(x,x) = \frac{{\partial I}}{{\partial x}} + \frac{{\partial I}}{{\partial z}}\frac{{\partial x}}{{\partial x}} = f\left( {x,x} \right) + \int\limits_a^x {\frac{\partial }{{\partial x}}\left( {f\left( {x,y} \right)} \right)dy}
\]
Se percebeu este exemplo, espero que consiga chegar a este:
\[
\left( {\int\limits_{\varphi \left( x \right)}^{\psi \left( x \right)} {f\left( {x,y} \right)dy} } \right)^\prime = f(x,\psi \left( x \right))\psi '\left( x \right) - f(x,\varphi \left( x \right))\varphi '\left( x \right) + \int\limits_{\varphi \left( x \right)}^{\psi \left( x \right)} {\frac{\partial }{{\partial x}}\left( {f\left( {x,y} \right)} \right)dy}
\]
Por hoje é tudo.
14/02/2022
Uma dica no cálculo de derivadas de ordem $n$
Uma das causas da minha irregularidade a publicar neste blog, é que desde uns meses depois do ínicio da pandemia COVID-19 dou explicações online a uma média de 12 cadeiras por semestre sem falar das explicações ao ensino secundário
Em várias das cadeiras de Cálculo, Matemática e Análise Matemática ensinam-se derivadas de ordem $n$, polinómios e séries de Taylor (e MacLaurin).
Se para algumas pessoas é fácil e rápido detectar padrões, para outras, nem por isso.
Assim, eu acabo por sugerir a toda a gente que, ao calcular uma derivada de ordem $n$, "não simplifique as contas".
Passo a explicar: se $k$ for uma constante e $f$ uma função, então a derivada de $kf$ é $k$ vezes a derivada de $f$
Então, a derivada de, por exemplo ${5 \times f \times 10}$ também é ${5 \times f' \times 10}$.
Até perceberem o padrão, deixem o $5$ e o $10$ onde estão. Não convertam para $50 f'$
Exemplo: Este exemplo é simples, e até dava bem para fazer sem este truque, mas o objectivo é que percebam a onde quero chegar.
Considere-se a função $f(x)=\ln(1-x)$ então: \[ f'\left( x \right) = \frac{{ - 1}}{{1 - x}} = {\color{green} - \left( {1 - x} \right)^{ - 1} } \] \[ f''\left( x \right) = \left( {\color{green} - \left( {1 - x} \right)^{ - 1} } \right)' = {\color{green} -} {\color{red}\left( { - 1} \right)\left( {1 - x} \right)^{ - 2} ( - 1)} \] pois \[ \left( {u^n } \right)' = nu^{n - 1} u' \] continuando, \[ f'''\left( x \right) = {\color{green} -} {\color{red}\left( { - 1} \right)}{\color{blue}\left( { - 2} \right)\left( {1 - x} \right)^{ - 3} ( - 1)}{\color{red}\left( { - 1} \right)} \] \[ f''''\left( x \right) = {\color{green} -}{\color{red}\left( { - 1} \right)}{\color{blue}\left( { - 2} \right)} \left( { - 3} \right)\left( {1 - x} \right)^{ - 4} ( - 1){\color{blue}\left( { - 1} \right)}{\color{red}\left( { - 1} \right)} \] Ou seja, as constantes, vou deixando "quietas", onde aparecem. Será que depois disto, continua a ser difícil concluir que se $n\ge 1$
\[ f^{(n)} (x) = - \frac{{\left( {n - 1} \right)!}}{{\left( {1 - x} \right)^n }} \] ?
Claro que por mim, depois disto, o correcto ainda seria provar a fórmula, por exemplo, recorrendo, por exemplo, ao método de indução.
Sugestão: tente com alguns exemplos mais complicados... e depois tente obter as fórmulas de séries de Taylor/MacLaurin referentes a esses exemplos.
Em várias das cadeiras de Cálculo, Matemática e Análise Matemática ensinam-se derivadas de ordem $n$, polinómios e séries de Taylor (e MacLaurin).
Se para algumas pessoas é fácil e rápido detectar padrões, para outras, nem por isso.
Assim, eu acabo por sugerir a toda a gente que, ao calcular uma derivada de ordem $n$, "não simplifique as contas".
Passo a explicar: se $k$ for uma constante e $f$ uma função, então a derivada de $kf$ é $k$ vezes a derivada de $f$
Então, a derivada de, por exemplo ${5 \times f \times 10}$ também é ${5 \times f' \times 10}$.
Até perceberem o padrão, deixem o $5$ e o $10$ onde estão. Não convertam para $50 f'$
Exemplo: Este exemplo é simples, e até dava bem para fazer sem este truque, mas o objectivo é que percebam a onde quero chegar.
Considere-se a função $f(x)=\ln(1-x)$ então: \[ f'\left( x \right) = \frac{{ - 1}}{{1 - x}} = {\color{green} - \left( {1 - x} \right)^{ - 1} } \] \[ f''\left( x \right) = \left( {\color{green} - \left( {1 - x} \right)^{ - 1} } \right)' = {\color{green} -} {\color{red}\left( { - 1} \right)\left( {1 - x} \right)^{ - 2} ( - 1)} \] pois \[ \left( {u^n } \right)' = nu^{n - 1} u' \] continuando, \[ f'''\left( x \right) = {\color{green} -} {\color{red}\left( { - 1} \right)}{\color{blue}\left( { - 2} \right)\left( {1 - x} \right)^{ - 3} ( - 1)}{\color{red}\left( { - 1} \right)} \] \[ f''''\left( x \right) = {\color{green} -}{\color{red}\left( { - 1} \right)}{\color{blue}\left( { - 2} \right)} \left( { - 3} \right)\left( {1 - x} \right)^{ - 4} ( - 1){\color{blue}\left( { - 1} \right)}{\color{red}\left( { - 1} \right)} \] Ou seja, as constantes, vou deixando "quietas", onde aparecem. Será que depois disto, continua a ser difícil concluir que se $n\ge 1$
\[ f^{(n)} (x) = - \frac{{\left( {n - 1} \right)!}}{{\left( {1 - x} \right)^n }} \] ?
Claro que por mim, depois disto, o correcto ainda seria provar a fórmula, por exemplo, recorrendo, por exemplo, ao método de indução.
Sugestão: tente com alguns exemplos mais complicados... e depois tente obter as fórmulas de séries de Taylor/MacLaurin referentes a esses exemplos.
18/08/2021
Das séries de Fourier a uma fórmula recursiva para a Função zeta de números pares (positivos).
“The only way to learn mathematics is to do mathematics.” - Paul Halmos
Hoje, vou começar por rever ou mesmo introduzir, três conceitos: Arranjos, séries de Fourier e função zeta de Euler (A famosa zeta de Riemann é uma extensão desta função ao conjunto dos complexos). E com eles vou calcular a zeta de $2,4,6,8,...,2n,...$ de números pares positivos.
Sejam $n,p\in\N_1$ com $p\leq n$. Dado um conjunto de cardinal $n$, arranjos de $n$ elementos $p$ a $p$ (ou só "arranjos de $n$ $p$ a $p$") é o número de sequências de $p$ elementos distintos que é possível formar com elementos desse conjunto. Esse número representa-se por \[ \nPr{n}{p} \] Tem-se que \[ \nPr{n}{p} =n \times \left(n-1\right)\times\cdots\times \left(n-p+1\right)\] ou equivalentemente \[ \nPr{n}{p} =\frc{n!}{\left(n-p+1\right)!}\]
Note-se que o número $p$ é o número de factores do produto. Por exemplo $\nPr{2021}{3}$ é um produto com três factores: $$\nPr{2021}{3}=2021\times2020\times2019$$ (É por isso que esta definição está aqui! Esta observação vai ser útil no cálculo de um integral.)
A função zeta de Euler é a função de domínio $]1,+\infty[$ definida por \[ \zeta (s) = \sum\limits_{n = 1}^{ + \infty } {\frc{1}{{n^s }}} \text{ }\forall s\in]1,+\infty[ \] Note-se que como a função é definida em cada ponto por uma série de Dirichlet, a função está bem definida (também há quem lhes chame séries-p, mas acho esse nome péssimo, e portanto nos meus textos, essa designação está banida).
Uma série de Dirichlet é uma série da forma $\sum\limits_{n = n_0}^{ + \infty } {\frc{1}{{n^\alpha }}}$, para $n_0\in\N_1$, e converge se e só se $\alpha>1$ )
No texto de hoje, vou limitar-me à humilde tarefa de calcular o valor exacto de $\zeta (2k)$ para $k$ natural, no domínio da função. (Tenciono voltar a usar esta função em textos futuros, recorrendo a outras ferramentas, mas por hoje, isto é suficiente)
Seja $f:\R\to\R$ uma função seccionalmente diferenciável e periódica de período $2L$. Então a função possui uma representação em série de Fourier:
\[ \tilde{f}(x) = a_0 + \sum\limits_{n = 1}^{ + \infty } {\left[{a_n \cos \left( {\frc{{n\pi }}{L}x} \right) + b_n \sen \left( {\frc{{n\pi }}{L}x} \right)}\right]} \] em que \[ \tilde{f}\left( x \right) = \left\{ {\begin{array}{cl} {f\left( x \right)}&{ \text{se a função }f\text{ for contínua em }x} \\ {}&{} \\ {\frc{1}{2}\left( {\mathop {\lim }\limits_{t \to x^ - } f\left( t \right) + \mathop {\lim }\limits_{t \to x^ + } f\left( t \right)} \right)} &{ \text{se a função }f\text{ tiver uma descontinuidade em }x} \\ \end{array}} \right. \] Os coeficientes $a_n$ e $b_n$ calculam-se pelas fórmulas de Euler: \[ a_0 = \frc{1}{{2L}}\int\limits_{ - L}^L {f\left( x \right)dx} \] \[ a_n = \frc{1}{L}\int\limits_{ - L}^L {f\left( x \right)\cos \left( {\frac{{n\pi }}{L}x} \right)dx} \] \[ b_n = \frc{1}{L}\int\limits_{ - L}^L {f\left( x \right)\sen \left( {\frac{{n\pi }}{L}x} \right)dx} \]
A primeira parte deste texto costuma (ou costumava) ser um exercício comum em cadeiras onde se introduzem séries de Fourier.
Eu vou saltar algumas deduções, mas o leitor mais curioso pode consultar qualquer livro que introduza o assunto.
Exercício:
Considere-se a função $f$ de domínio $\R$, tal que $f(x)=x^2$ em $]-\pi,\pi]$, e $f$ é periódica de período $2\pi$.
Obtenha o desenvolvimento de $f$ em série de Fourier.
Uma possível resolução:
Se aplicarmos as fórmulas de Euler acima obtemos:
\[a_0=\frc{\pi^2}{3}\] \[a_n=\frc{4}{n^2}(-1)^n\] \[b_n=0 \text{ a função integranda é ímpar, e está a ser integrada num intervalo do tipo }[-L,L]\] E estes resultados permitem-nos escrever \[ f(x) = \frc{{\pi ^2 }}{3} + 4\sum\limits_{n = 1}^{ + \infty } {\left[{\frc{{( - 1)^n }}{{n^2 }}\cos \left( {nx} \right)}\right]} \]
Mas, sabemos que $f(\pi)=\pi^2$, logo, substituindo na fórmula obtida temos \[ \pi ^2 = \frac{{\pi ^2 }}{3} + 4\sum\limits_{n = 1}^{ + \infty } {\frac{1}{{n^2 }}} \] \[ \Leftrightarrow \frc{{2\pi ^2 }}{3} = 4\sum\limits_{n = 1}^{ + \infty } {\frc{1}{{n^2 }}} \] \[ \Leftrightarrow \frc{{\pi ^2 }}{6} = \sum\limits_{n = 1}^{ + \infty } {\frc{1}{{n^2 }}} \] Se recordarmos a definição da função zeta (de Euler), acabei de mostrar que \[\zeta\left(2\right)= \frc{{\pi ^2 }}{6}\]
Vamos a mais um exemplo. Considere-se agora a função $g$ de domínio $\R$, tal que $g(x)=x^{4}$ em $]-\pi,\pi]$, e $g$ é periódica de período $2\pi$.
Se aplicarmos as fórmulas de Euler obtemos: \[a_0=\frc{\pi^4}{5}\] \[a_n=8\left(\frc{\pi^2}{n^2}-\frc{6}{n^4}\right)(-1)^n\] \[b_n=0\] então \[ g(x) = \frc{\pi^4}{5} + 8\sum\limits_{n = 1}^{ + \infty } {\left[{\left(\frc{\pi^2}{n^2}-\frc{6}{n^4}\right)(-1)^n\cos \left( {nx} \right)}\right]} \] Como no exercício anterior, se fizermos $x=\pi$ temos \[ \pi^4 = \frc{\pi^4}{5} + 8\sum\limits_{n = 1}^{ + \infty } {\left[{\left(\frc{\pi^2}{n^2}-\frc{6}{n^4}\right)}\right]} \] \[\Leftrightarrow \frac{{4\pi ^4 }}{5} = 8\left( {\pi ^2 \sum\limits_{n = 1}^{ + \infty } {\frc{1}{{n^2 }}} - 6\sum\limits_{n = 1}^{ + \infty } {\frc{1}{{n^4 }}} } \right) \] Resolvendo em ordem a $\sum\limits_{n = 1}^{ + \infty } {\frac{1}{{n^4 }}}$ temos \[ \sum\limits_{n = 1}^{ + \infty } {\frac{1}{{n^4 }}} = \frac{{\pi ^4 }}{{90}} \] ou seja, \[ \zeta(4) = \frac{{\pi ^4 }}{{90}} \] Depois destes dois exemplos, consideremos um caso mais geral: Seja $k\in\N$, e considere-se a função $h$ de domínio $\R$, tal que $h(x)=x^{2k}$ em $]-\pi,\pi]$, e $h$ é periódica de período $2\pi$.
Se aplicarmos as fórmulas de Euler obtemos: \[ a_0 = \frc{\pi ^{2k}}{2k + 1} \] \[ b_{n} = \frc{1}{\pi}\int\limits_{ - \pi }^\pi {x^{2k} \sen \left( {nx} \right)dx}=0 \text { pois a função integranda é ímpar.} \] Quanto a uma expressão para $(a_n)$, a tarefa não é simples. Mas eu fiz as contas e tenho aqui uma expressão. \[ a_{n} = \frc{1}{\pi}\int\limits_{ - \pi }^\pi {x^{2k} \cos \left( {nx} \right)}dx = 2\sum\limits_{j = 1}^k {\left[ {\frc{{\left( { - 1} \right)^{n + j + 1} \pi ^{2k - 2j} }}{{n^{2j} }} \cdot\nPr{2k}{2j-1} } \right]} \] Se tiver curiosidade sobre o cálculo de $a_n$, utilize o botão que se segue.
A fórmula de primitivação por partes diz-nos que \[ \int {x^m \cos \left( {\alpha x} \right)} dx = \frc{{\sen \left( {\alpha x} \right)}}{\alpha }x^m - \frc{m}{\alpha }\int {x^{m - 1} \sen \left( {\alpha x} \right)} dx \] \[ \int {x^m \sen \left( {\alpha x} \right)} dx = - \frc{{\cos \left( {\alpha x} \right)}}{\alpha }x^m + \frc{m}{\alpha }\int {x^{m - 1} \cos \left( {\alpha x} \right)} dx \] As primitivas \[\int {x^{2k} \cos \left( {\alpha x} \right)} dx\] calculam-se alternando estas duas fórmulas. Para $k=1$ temos \[ \int {x^2 \cos \left( {\alpha x} \right)} dx = \left( {\frc{{x^2 }}{\alpha } - \frc{2}{{\alpha ^3 }}} \right)\sen \left( {\alpha x} \right) + \frc{{2x}}{{\alpha ^2 }}\cos \left( {\alpha x} \right) + C;C\in\R \] Para $k=2$ temos \[ \int {x^4 \cos \left( {\alpha x} \right)} dx = \left( {\frc{{x^4 }}{\alpha } - \frc{{4 \times 3x^2 }}{{\alpha ^3 }} + \frc{{4 \times 3 \times 2 \times 1}}{{\alpha ^5 }}} \right)\sen \left( {\alpha x} \right) + \left( {\frc{{4x^3 }}{{\alpha ^2 }} - \frc{{4 \times 3 \times 2 x}}{{\alpha ^4 }}} \right)\cos \left( {\alpha x} \right) + C;C\in\R \] Para $k=3$ temos \[ \int {x^6 \cos \left( {\alpha x} \right)} dx = \left( {\frc{{x^6 }}{\alpha } - \frc{{6 \times 5x^4 }}{{\alpha ^3 }} + \frc{{6 \times 5 \times 4 \times 3x^2}}{{\alpha ^5 }} - \frc{{6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}}{{\alpha ^7 }}} \right)\sen \left( {\alpha x} \right) \\ + \left( {\frc{{6x^5 }}{{\alpha ^2 }} - \frc{{6 \times 5 \times 4x^3 }}{{\alpha ^4 }} + \frc{{6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2x}}{{\alpha ^6 }}} \right)\cos \left( {\alpha x} \right) + C;C\in\R \] (Estas contas devem ser feitas à mão, sem recorrer a software de computação algébrica, ou perderão os detalhes que estão nas fórmulas que apresentei - Eu fiz as contas, tenho-as aqui comigo, só não partilho os passos todos, porque quero deixar parte da diversão para o leitor, e porque não me apetece passar umas horas a escrever $\LaTeX$ :) ) \[\cdots\] Começa a vislumbrar-se o padrão \[ \int {x^{2k} \cos \left( {\alpha x} \right)} dx = \left( {\sum\limits_{j = 0}^k {\frc{{\left( { - 1} \right)^j \nPr{2k}{2j}x^{2k - 2j} }}{{\alpha ^{2j + 1} }}} } \right)\sin \left( {\alpha x} \right) + \left( {\sum\limits_{j = 1}^k {\frc{{\left( { - 1} \right)^{j + 1} \nPr{2k}{2j-1}x^{2k - 2j + 1} }}{{\alpha ^{2j} }}} } \right)\cos \left( {\alpha x} \right) + C; C\in\R \] Depois, só para garantir a validade das fórmulas, devem provar-se por indução em $k$.
Agora basta recorrer a esta fórmula para calcular o integral \[a_{n} = \frc{1}{\pi}\int\limits_{ - \pi }^\pi {x^{2k} \cos \left( {nx} \right)}dx \] e o resultado é imediato.
Assim sendo, temos que
\[
h\left( x \right) = \frac{{\pi ^{2k} }}{{2k + 1}} + \sum\limits_{n = 1}^{ + \infty } {\left[ {2\sum\limits_{j = 1}^k {\left[ {\frac{{\left( { - 1} \right)^{n + j + 1} \pi ^{2k - 2j} }}{{n^{2j} }} \cdot \nPr{2k}{2j-1}} \right]} \left( { - 1} \right)^n \cos \left( {nx} \right)} \right]}
\]
Como $h(\pi)=\pi^{2k}$ temos então que
\[
\pi^{2k} = \frac{{\pi ^{2k} }}{{2k + 1}} + \sum\limits_{n = 1}^{ + \infty } {\left[ {2\sum\limits_{j = 1}^k {\left[ {\frac{{\left( { - 1} \right)^{ j + 1} \pi ^{2k - 2j} }}{{n^{2j} }} \cdot \nPr{2k}{2j-1}} \right]} } \right]}
\]
\[\Leftrightarrow
\frac{{2k\pi ^{2k} }}{{2k + 1}} = \sum\limits_{n = 1}^{ + \infty } {\left[ {2\sum\limits_{j = 1}^k {\left[ {\frac{{\left( { - 1} \right)^{ j + 1} \pi ^{2k - 2j} }}{{n^{2j} }} \cdot \nPr{2k}{2j-1}} \right]} } \right]}
\]
\[\Leftrightarrow
\frac{{k\pi ^{2k} }}{{2k + 1}} = \sum\limits_{j = 1}^k \sum\limits_{n = 1}^{ + \infty } { {\left[ {\frac{{\left( { - 1} \right)^{ j + 1} \pi ^{2k - 2j} }}{{n^{2j} }} \cdot \nPr{2k}{2j-1}} \right]} }
\]
\[\Leftrightarrow
\frac{k}{{2k + 1}} = \sum\limits_{j = 1}^k {\left[ {\frac{{\left( { - 1} \right)^{j + 1}\cdot \nPr{2k}{2j-1}}}{{\pi ^{2j} }}\sum\limits_{n = 1}^{ + \infty } {\frac{1}{{n^{2j} }}} } \right]}
\]
\[\Leftrightarrow
\frac{k}{{2k + 1}} = \sum\limits_{j = 1}^k {\left[ {\frac{{\left( { - 1} \right)^{j + 1} \cdot\nPr{2k}{2j-1}}}{{\pi ^{2j} }}\zeta\left(2j\right)} \right]}
\]
\[\Leftrightarrow
\frac{k}{{2k + 1}} = \sum\limits_{j = 1}^{k-1} {\left[ {\frac{{\left( { - 1} \right)^{j + 1} \cdot\nPr{2k}{2j-1}}}{{\pi ^{2j} }}\zeta\left(2j\right)} \right]} + {\left[ {\frac{{\left( { - 1} \right)^{k + 1}\cdot \nPr{2k}{2k-1}}}{{\pi ^{2k} }}\zeta\left(2k\right)} \right]}
\]
\[\Leftrightarrow
\zeta \left( {2k} \right) = \frac{{k\pi ^{2k} \left( { - 1} \right)^{k + 1} }}{{\left( {2k + 1} \right)!}} + \sum\limits_{j = 1}^{k - 1} {\frac{{\left( { - 1} \right)^{k + j + 1} \pi ^{2k-2j} }}{{\left( {2k - 2j + 1} \right)!}}\zeta \left( {2j} \right)}
\]
Seja $k\in\N_1$. Então, \[ \zeta \left( {2k} \right) = \frac{{k\pi ^{2k} \left( { - 1} \right)^{k + 1} }}{{\left( {2k + 1} \right)!}} + \sum\limits_{j = 1}^{k - 1} {\frac{{\left( { - 1} \right)^{k + j + 1} \pi ^{2k-2j} }}{{\left( {2k - 2j + 1} \right)!}}\zeta \left( {2j} \right)} \]
Exemplos:
$k=1$ \[ \zeta \left( 2 \right) = \frac{{\pi ^2 }}{{3!}} + \sum\limits_{j = 1}^0 {\frac{{\left( { - 1} \right)^{k + j + 1} \pi ^{2 - 2j} }}{{\left( {2k - 2j + 1} \right)!}}\zeta \left( {2j} \right)} = \frac{{\pi ^2 }}{6} + 0 = \frac{{\pi ^2 }}{6} \] $k=2$ \[ \zeta \left( 4 \right) = \frac{{2\pi ^4 \left( { - 1} \right)}}{{5!}} + \frac{{\pi ^2 }}{{3!}}\zeta \left( 2 \right) = \frac{{ - \pi ^4 }}{{60}} + \frac{{\pi ^4 }}{{36}} = \frac{{ - 3\pi ^4 + 5\pi ^4 }}{{180}} = \frac{{2\pi ^4 }}{{180}} = \frac{{\pi ^4 }}{{90}} \] $k=3$ \[ \zeta \left( 6 \right) = \frac{{3\pi ^6 }}{{7!}} + \sum\limits_{j = 1}^2 {\frac{{\left( { - 1} \right)^{3 + j + 1} \pi ^{6 - 2j} }}{{\left( {6 - 2j + 1} \right)!}}\zeta \left( {2j} \right)} = \frac{{3\pi ^6 }}{{7!}} - \frac{{\pi ^4 }}{{5!}}\zeta \left( 2 \right) + \frac{{\pi ^2 }}{{3!}}\zeta \left( 4 \right) = \frac{{\pi ^6 }}{{945}} \] $k=4$ \[ \zeta \left( 8 \right) = \frac{{4\pi ^8 \left( { - 1} \right)}}{{9!}} + \sum\limits_{j = 1}^3 {\frac{{\left( { - 1} \right)^{4 + j + 1} \pi ^{8 - 2j} }}{{\left( {8 - 2j + 1} \right)!}}\zeta \left( {2j} \right)} = - \frac{{4\pi ^8 }}{{9!}} + \frac{{\pi ^6 }}{{7!}}\zeta \left( 2 \right) - \frac{{\pi ^4 }}{{5!}}\zeta \left( 4 \right) + \frac{{\pi ^2 }}{{3!}}\zeta \left( 6 \right) = \frac{{\pi ^8 }}{{9450}} \] Os cálculos sugerem que há uma forma "mais bonita" para a fórmula... Será que existe mesmo? (nada de spoilers, a função zeta está convidada a voltar a este blog)
A fórmula é implementável em calculadoras com computação algébrica.
Abaixo partilho dois screenshots da minha TI-nspire CX CAS (Capturados com TILP2 para linux)
Se houver curiosidade, pressionando o botão abaixo, mostro os valores da função zeta para os pares de 2 a 100, obtidos com esta fórmula, em milissegundos, numa cópia do Mathematica 12 (para uso não comercial) num Raspberry Pi 4.
Por hoje é tudo. Até à próxima!
\begin{eqnarray*} {\zeta(2)}&{=}&{\frc{\pi^{2}}{6}}\\ {\zeta(4)}&{=}&{\frc{\pi^{4}}{90}}\\ {\zeta(6)}&{=}&{\frc{\pi^{6}}{945}}\\ {\zeta(8)}&{=}&{\frc{\pi^{8}}{9450}}\\ {\zeta(10)}&{=}&{\frc{\pi^{10}}{93555}}\\ {\zeta(12)}&{=}&{\frc{691 \pi^{12}}{638512875}}\\ {\zeta(14)}&{=}&{\frc{2 \pi^{14}}{18243225}}\\ {\zeta(16)}&{=}&{\frc{3617 \pi^{16}}{325641566250}}\\ {\zeta(18)}&{=}&{\frc{43867 \pi^{18}}{38979295480125}}\\ {\zeta(20)}&{=}&{\frc{174611 \pi^{20}}{1531329465290625}}\\ {\zeta(22)}&{=}&{\frc{155366 \pi^{22}}{13447856940643125}}\\ {\zeta(24)}&{=}&{\frc{236364091 \pi^{24}}{201919571963756521875}}\\ {\zeta(26)}&{=}&{\frc{1315862 \pi^{26}}{11094481976030578125}}\\ {\zeta(28)}&{=}&{\frc{6785560294 \pi^{28}}{564653660170076273671875}}\\ {\zeta(30)}&{=}&{\frc{6892673020804 \pi^{30}}{5660878804669082674070015625}}\\ {\zeta(32)}&{=}&{\frc{7709321041217 \pi^{32}}{62490220571022341207266406250}}\\ {\zeta(34)}&{=}&{\frc{151628697551 \pi^{34}}{12130454581433748587292890625}}\\ {\zeta(36)}&{=}&{\frc{26315271553053477373 \pi^{36}}{20777977561866588586487628662044921875}}\\ {\zeta(38)}&{=}&{\frc{308420411983322 \pi^{38}}{2403467618492375776343276883984375}}\\ {\zeta(40)}&{=}&{\frc{261082718496449122051 \pi^{40}}{20080431172289638826798401128390556640625}}\\ {\zeta(42)}&{=}&{\frc{3040195287836141605382 \pi^{42}}{2307789189818960127712594427864667427734375}}\\ {\zeta(44)}&{=}&{\frc{5060594468963822588186 \pi^{44}}{37913679547025773526706908457776679169921875}}\\ {\zeta(46)}&{=}&{\frc{103730628103289071874428 \pi^{46}}{7670102214448301053033358480610212529462890625}}\\ {\zeta(48)}&{=}&{\frc{5609403368997817686249127547 \pi^{48}}{4093648603384274996519698921478879580162286669921875}}\\ {\zeta(50)}&{=}&{\frc{39604576419286371856998202 \pi^{50}}{285258771457546764463363635252374414183254365234375}}\\ {\zeta(52)}&{=}&{\frc{123256264328536916515065383362 \pi^{52}}{8761982491474419367550817114626909562924278968505859375}}\\ {\zeta(54)}&{=}&{\frc{116599854539539449685672495250764 \pi^{54}}{81807125729900063867074959072425603825198823017351806640625}}\\ {\zeta(56)}&{=}&{\frc{708397979803779072481547354189494 \pi^{56}}{4905352087939496310826487207538302184255342959123162841796875}}\\ {\zeta(58)}&{=}&{\frc{11652912186052419567178865654349796 \pi^{58}}{796392368980577121745974726570063253238310542073919837646484375}}\\ {\zeta(60)}&{=}&{\frc{4860932561935022288161219976319280984165964 \pi^{60}}{3278777586273629598615520165380455583231003564645636125000418914794921875}}\\ {\zeta(62)}&{=}&{\frc{3174344628151447365665300608362164168 \pi^{62}}{21132271510899613925529439369536628424678570233931462891949462890625}}\\ {\zeta(64)}&{=}&{\frc{106783830147866529886385444979142647942017 \pi^{64}}{7016125464333780819415029165079856003277532103367584994756141174316406250}}\\ {\zeta(66)}&{=}&{\frc{133872729284212332186510857141084758385627191 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\pi^{94}}{11213200675690943223287032785929540201272600687465377745332153847964679254692602138023498144562090675557613372802734375}}\\ {\zeta(96)}&{=}&{\frc{211600449597266513097597728109824233673043954389060234150638733420050668349987259 \pi^{96}}{112694926530960148011367752417874063473378698369880587800838274234349237591647453413782021538312594164677406144702434539794921875}}\\ {\zeta(98)}&{=}&{\frc{2771765741751244719349025205975657371728252886877734184043835153060936614622 \pi^{98}}{14569479835935377894165191004250040526616509162234077285176247476968227225810918346966001491701692846112140419483184814453125}}\\ {\zeta(100)}&{=}&{\frc{189196075638244250590454866138987443745405683066133872266771392408622790830394495422 \pi^{100}}{9815205420757514710108178059369553458327392260750404049930407987933582359080767225644716670683512153512547802166033089160919189453125}} \end{eqnarray*}
Bibliografia sugerida
(Séries de Fourier)
Hoje, vou começar por rever ou mesmo introduzir, três conceitos: Arranjos, séries de Fourier e função zeta de Euler (A famosa zeta de Riemann é uma extensão desta função ao conjunto dos complexos). E com eles vou calcular a zeta de $2,4,6,8,...,2n,...$ de números pares positivos.
Sejam $n,p\in\N_1$ com $p\leq n$. Dado um conjunto de cardinal $n$, arranjos de $n$ elementos $p$ a $p$ (ou só "arranjos de $n$ $p$ a $p$") é o número de sequências de $p$ elementos distintos que é possível formar com elementos desse conjunto. Esse número representa-se por \[ \nPr{n}{p} \] Tem-se que \[ \nPr{n}{p} =n \times \left(n-1\right)\times\cdots\times \left(n-p+1\right)\] ou equivalentemente \[ \nPr{n}{p} =\frc{n!}{\left(n-p+1\right)!}\]
Note-se que o número $p$ é o número de factores do produto. Por exemplo $\nPr{2021}{3}$ é um produto com três factores: $$\nPr{2021}{3}=2021\times2020\times2019$$ (É por isso que esta definição está aqui! Esta observação vai ser útil no cálculo de um integral.)
A função zeta de Euler é a função de domínio $]1,+\infty[$ definida por \[ \zeta (s) = \sum\limits_{n = 1}^{ + \infty } {\frc{1}{{n^s }}} \text{ }\forall s\in]1,+\infty[ \] Note-se que como a função é definida em cada ponto por uma série de Dirichlet, a função está bem definida (também há quem lhes chame séries-p, mas acho esse nome péssimo, e portanto nos meus textos, essa designação está banida).
Uma série de Dirichlet é uma série da forma $\sum\limits_{n = n_0}^{ + \infty } {\frc{1}{{n^\alpha }}}$, para $n_0\in\N_1$, e converge se e só se $\alpha>1$ )
No texto de hoje, vou limitar-me à humilde tarefa de calcular o valor exacto de $\zeta (2k)$ para $k$ natural, no domínio da função. (Tenciono voltar a usar esta função em textos futuros, recorrendo a outras ferramentas, mas por hoje, isto é suficiente)
Seja $f:\R\to\R$ uma função seccionalmente diferenciável e periódica de período $2L$. Então a função possui uma representação em série de Fourier:
\[ \tilde{f}(x) = a_0 + \sum\limits_{n = 1}^{ + \infty } {\left[{a_n \cos \left( {\frc{{n\pi }}{L}x} \right) + b_n \sen \left( {\frc{{n\pi }}{L}x} \right)}\right]} \] em que \[ \tilde{f}\left( x \right) = \left\{ {\begin{array}{cl} {f\left( x \right)}&{ \text{se a função }f\text{ for contínua em }x} \\ {}&{} \\ {\frc{1}{2}\left( {\mathop {\lim }\limits_{t \to x^ - } f\left( t \right) + \mathop {\lim }\limits_{t \to x^ + } f\left( t \right)} \right)} &{ \text{se a função }f\text{ tiver uma descontinuidade em }x} \\ \end{array}} \right. \] Os coeficientes $a_n$ e $b_n$ calculam-se pelas fórmulas de Euler: \[ a_0 = \frc{1}{{2L}}\int\limits_{ - L}^L {f\left( x \right)dx} \] \[ a_n = \frc{1}{L}\int\limits_{ - L}^L {f\left( x \right)\cos \left( {\frac{{n\pi }}{L}x} \right)dx} \] \[ b_n = \frc{1}{L}\int\limits_{ - L}^L {f\left( x \right)\sen \left( {\frac{{n\pi }}{L}x} \right)dx} \]
A primeira parte deste texto costuma (ou costumava) ser um exercício comum em cadeiras onde se introduzem séries de Fourier.
Eu vou saltar algumas deduções, mas o leitor mais curioso pode consultar qualquer livro que introduza o assunto.
Exercício:
Considere-se a função $f$ de domínio $\R$, tal que $f(x)=x^2$ em $]-\pi,\pi]$, e $f$ é periódica de período $2\pi$.
Obtenha o desenvolvimento de $f$ em série de Fourier.
Uma possível resolução:
Se aplicarmos as fórmulas de Euler acima obtemos:
\[a_0=\frc{\pi^2}{3}\] \[a_n=\frc{4}{n^2}(-1)^n\] \[b_n=0 \text{ a função integranda é ímpar, e está a ser integrada num intervalo do tipo }[-L,L]\] E estes resultados permitem-nos escrever \[ f(x) = \frc{{\pi ^2 }}{3} + 4\sum\limits_{n = 1}^{ + \infty } {\left[{\frc{{( - 1)^n }}{{n^2 }}\cos \left( {nx} \right)}\right]} \]
$\blacksquare$
E pronto. O exercício está resolvido.:Mas, sabemos que $f(\pi)=\pi^2$, logo, substituindo na fórmula obtida temos \[ \pi ^2 = \frac{{\pi ^2 }}{3} + 4\sum\limits_{n = 1}^{ + \infty } {\frac{1}{{n^2 }}} \] \[ \Leftrightarrow \frc{{2\pi ^2 }}{3} = 4\sum\limits_{n = 1}^{ + \infty } {\frc{1}{{n^2 }}} \] \[ \Leftrightarrow \frc{{\pi ^2 }}{6} = \sum\limits_{n = 1}^{ + \infty } {\frc{1}{{n^2 }}} \] Se recordarmos a definição da função zeta (de Euler), acabei de mostrar que \[\zeta\left(2\right)= \frc{{\pi ^2 }}{6}\]
$\blacksquare$
Recorrendo a séries de Fourier, é possível calcular os valores exactos das somas de muitas outras séries, incluindo valores da função zeta.Vamos a mais um exemplo. Considere-se agora a função $g$ de domínio $\R$, tal que $g(x)=x^{4}$ em $]-\pi,\pi]$, e $g$ é periódica de período $2\pi$.
Se aplicarmos as fórmulas de Euler obtemos: \[a_0=\frc{\pi^4}{5}\] \[a_n=8\left(\frc{\pi^2}{n^2}-\frc{6}{n^4}\right)(-1)^n\] \[b_n=0\] então \[ g(x) = \frc{\pi^4}{5} + 8\sum\limits_{n = 1}^{ + \infty } {\left[{\left(\frc{\pi^2}{n^2}-\frc{6}{n^4}\right)(-1)^n\cos \left( {nx} \right)}\right]} \] Como no exercício anterior, se fizermos $x=\pi$ temos \[ \pi^4 = \frc{\pi^4}{5} + 8\sum\limits_{n = 1}^{ + \infty } {\left[{\left(\frc{\pi^2}{n^2}-\frc{6}{n^4}\right)}\right]} \] \[\Leftrightarrow \frac{{4\pi ^4 }}{5} = 8\left( {\pi ^2 \sum\limits_{n = 1}^{ + \infty } {\frc{1}{{n^2 }}} - 6\sum\limits_{n = 1}^{ + \infty } {\frc{1}{{n^4 }}} } \right) \] Resolvendo em ordem a $\sum\limits_{n = 1}^{ + \infty } {\frac{1}{{n^4 }}}$ temos \[ \sum\limits_{n = 1}^{ + \infty } {\frac{1}{{n^4 }}} = \frac{{\pi ^4 }}{{90}} \] ou seja, \[ \zeta(4) = \frac{{\pi ^4 }}{{90}} \] Depois destes dois exemplos, consideremos um caso mais geral: Seja $k\in\N$, e considere-se a função $h$ de domínio $\R$, tal que $h(x)=x^{2k}$ em $]-\pi,\pi]$, e $h$ é periódica de período $2\pi$.
Se aplicarmos as fórmulas de Euler obtemos: \[ a_0 = \frc{\pi ^{2k}}{2k + 1} \] \[ b_{n} = \frc{1}{\pi}\int\limits_{ - \pi }^\pi {x^{2k} \sen \left( {nx} \right)dx}=0 \text { pois a função integranda é ímpar.} \] Quanto a uma expressão para $(a_n)$, a tarefa não é simples. Mas eu fiz as contas e tenho aqui uma expressão. \[ a_{n} = \frc{1}{\pi}\int\limits_{ - \pi }^\pi {x^{2k} \cos \left( {nx} \right)}dx = 2\sum\limits_{j = 1}^k {\left[ {\frc{{\left( { - 1} \right)^{n + j + 1} \pi ^{2k - 2j} }}{{n^{2j} }} \cdot\nPr{2k}{2j-1} } \right]} \] Se tiver curiosidade sobre o cálculo de $a_n$, utilize o botão que se segue.
A fórmula de primitivação por partes diz-nos que \[ \int {x^m \cos \left( {\alpha x} \right)} dx = \frc{{\sen \left( {\alpha x} \right)}}{\alpha }x^m - \frc{m}{\alpha }\int {x^{m - 1} \sen \left( {\alpha x} \right)} dx \] \[ \int {x^m \sen \left( {\alpha x} \right)} dx = - \frc{{\cos \left( {\alpha x} \right)}}{\alpha }x^m + \frc{m}{\alpha }\int {x^{m - 1} \cos \left( {\alpha x} \right)} dx \] As primitivas \[\int {x^{2k} \cos \left( {\alpha x} \right)} dx\] calculam-se alternando estas duas fórmulas. Para $k=1$ temos \[ \int {x^2 \cos \left( {\alpha x} \right)} dx = \left( {\frc{{x^2 }}{\alpha } - \frc{2}{{\alpha ^3 }}} \right)\sen \left( {\alpha x} \right) + \frc{{2x}}{{\alpha ^2 }}\cos \left( {\alpha x} \right) + C;C\in\R \] Para $k=2$ temos \[ \int {x^4 \cos \left( {\alpha x} \right)} dx = \left( {\frc{{x^4 }}{\alpha } - \frc{{4 \times 3x^2 }}{{\alpha ^3 }} + \frc{{4 \times 3 \times 2 \times 1}}{{\alpha ^5 }}} \right)\sen \left( {\alpha x} \right) + \left( {\frc{{4x^3 }}{{\alpha ^2 }} - \frc{{4 \times 3 \times 2 x}}{{\alpha ^4 }}} \right)\cos \left( {\alpha x} \right) + C;C\in\R \] Para $k=3$ temos \[ \int {x^6 \cos \left( {\alpha x} \right)} dx = \left( {\frc{{x^6 }}{\alpha } - \frc{{6 \times 5x^4 }}{{\alpha ^3 }} + \frc{{6 \times 5 \times 4 \times 3x^2}}{{\alpha ^5 }} - \frc{{6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}}{{\alpha ^7 }}} \right)\sen \left( {\alpha x} \right) \\ + \left( {\frc{{6x^5 }}{{\alpha ^2 }} - \frc{{6 \times 5 \times 4x^3 }}{{\alpha ^4 }} + \frc{{6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2x}}{{\alpha ^6 }}} \right)\cos \left( {\alpha x} \right) + C;C\in\R \] (Estas contas devem ser feitas à mão, sem recorrer a software de computação algébrica, ou perderão os detalhes que estão nas fórmulas que apresentei - Eu fiz as contas, tenho-as aqui comigo, só não partilho os passos todos, porque quero deixar parte da diversão para o leitor, e porque não me apetece passar umas horas a escrever $\LaTeX$ :) ) \[\cdots\] Começa a vislumbrar-se o padrão \[ \int {x^{2k} \cos \left( {\alpha x} \right)} dx = \left( {\sum\limits_{j = 0}^k {\frc{{\left( { - 1} \right)^j \nPr{2k}{2j}x^{2k - 2j} }}{{\alpha ^{2j + 1} }}} } \right)\sin \left( {\alpha x} \right) + \left( {\sum\limits_{j = 1}^k {\frc{{\left( { - 1} \right)^{j + 1} \nPr{2k}{2j-1}x^{2k - 2j + 1} }}{{\alpha ^{2j} }}} } \right)\cos \left( {\alpha x} \right) + C; C\in\R \] Depois, só para garantir a validade das fórmulas, devem provar-se por indução em $k$.
Agora basta recorrer a esta fórmula para calcular o integral \[a_{n} = \frc{1}{\pi}\int\limits_{ - \pi }^\pi {x^{2k} \cos \left( {nx} \right)}dx \] e o resultado é imediato.
$\blacksquare$
Seja $k\in\N_1$. Então, \[ \zeta \left( {2k} \right) = \frac{{k\pi ^{2k} \left( { - 1} \right)^{k + 1} }}{{\left( {2k + 1} \right)!}} + \sum\limits_{j = 1}^{k - 1} {\frac{{\left( { - 1} \right)^{k + j + 1} \pi ^{2k-2j} }}{{\left( {2k - 2j + 1} \right)!}}\zeta \left( {2j} \right)} \]
Exemplos:
$k=1$ \[ \zeta \left( 2 \right) = \frac{{\pi ^2 }}{{3!}} + \sum\limits_{j = 1}^0 {\frac{{\left( { - 1} \right)^{k + j + 1} \pi ^{2 - 2j} }}{{\left( {2k - 2j + 1} \right)!}}\zeta \left( {2j} \right)} = \frac{{\pi ^2 }}{6} + 0 = \frac{{\pi ^2 }}{6} \] $k=2$ \[ \zeta \left( 4 \right) = \frac{{2\pi ^4 \left( { - 1} \right)}}{{5!}} + \frac{{\pi ^2 }}{{3!}}\zeta \left( 2 \right) = \frac{{ - \pi ^4 }}{{60}} + \frac{{\pi ^4 }}{{36}} = \frac{{ - 3\pi ^4 + 5\pi ^4 }}{{180}} = \frac{{2\pi ^4 }}{{180}} = \frac{{\pi ^4 }}{{90}} \] $k=3$ \[ \zeta \left( 6 \right) = \frac{{3\pi ^6 }}{{7!}} + \sum\limits_{j = 1}^2 {\frac{{\left( { - 1} \right)^{3 + j + 1} \pi ^{6 - 2j} }}{{\left( {6 - 2j + 1} \right)!}}\zeta \left( {2j} \right)} = \frac{{3\pi ^6 }}{{7!}} - \frac{{\pi ^4 }}{{5!}}\zeta \left( 2 \right) + \frac{{\pi ^2 }}{{3!}}\zeta \left( 4 \right) = \frac{{\pi ^6 }}{{945}} \] $k=4$ \[ \zeta \left( 8 \right) = \frac{{4\pi ^8 \left( { - 1} \right)}}{{9!}} + \sum\limits_{j = 1}^3 {\frac{{\left( { - 1} \right)^{4 + j + 1} \pi ^{8 - 2j} }}{{\left( {8 - 2j + 1} \right)!}}\zeta \left( {2j} \right)} = - \frac{{4\pi ^8 }}{{9!}} + \frac{{\pi ^6 }}{{7!}}\zeta \left( 2 \right) - \frac{{\pi ^4 }}{{5!}}\zeta \left( 4 \right) + \frac{{\pi ^2 }}{{3!}}\zeta \left( 6 \right) = \frac{{\pi ^8 }}{{9450}} \] Os cálculos sugerem que há uma forma "mais bonita" para a fórmula... Será que existe mesmo? (nada de spoilers, a função zeta está convidada a voltar a este blog)
A fórmula é implementável em calculadoras com computação algébrica.
Abaixo partilho dois screenshots da minha TI-nspire CX CAS (Capturados com TILP2 para linux)
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Por hoje é tudo. Até à próxima!
\begin{eqnarray*} {\zeta(2)}&{=}&{\frc{\pi^{2}}{6}}\\ {\zeta(4)}&{=}&{\frc{\pi^{4}}{90}}\\ {\zeta(6)}&{=}&{\frc{\pi^{6}}{945}}\\ {\zeta(8)}&{=}&{\frc{\pi^{8}}{9450}}\\ {\zeta(10)}&{=}&{\frc{\pi^{10}}{93555}}\\ {\zeta(12)}&{=}&{\frc{691 \pi^{12}}{638512875}}\\ {\zeta(14)}&{=}&{\frc{2 \pi^{14}}{18243225}}\\ {\zeta(16)}&{=}&{\frc{3617 \pi^{16}}{325641566250}}\\ {\zeta(18)}&{=}&{\frc{43867 \pi^{18}}{38979295480125}}\\ {\zeta(20)}&{=}&{\frc{174611 \pi^{20}}{1531329465290625}}\\ {\zeta(22)}&{=}&{\frc{155366 \pi^{22}}{13447856940643125}}\\ {\zeta(24)}&{=}&{\frc{236364091 \pi^{24}}{201919571963756521875}}\\ {\zeta(26)}&{=}&{\frc{1315862 \pi^{26}}{11094481976030578125}}\\ {\zeta(28)}&{=}&{\frc{6785560294 \pi^{28}}{564653660170076273671875}}\\ {\zeta(30)}&{=}&{\frc{6892673020804 \pi^{30}}{5660878804669082674070015625}}\\ {\zeta(32)}&{=}&{\frc{7709321041217 \pi^{32}}{62490220571022341207266406250}}\\ {\zeta(34)}&{=}&{\frc{151628697551 \pi^{34}}{12130454581433748587292890625}}\\ {\zeta(36)}&{=}&{\frc{26315271553053477373 \pi^{36}}{20777977561866588586487628662044921875}}\\ {\zeta(38)}&{=}&{\frc{308420411983322 \pi^{38}}{2403467618492375776343276883984375}}\\ {\zeta(40)}&{=}&{\frc{261082718496449122051 \pi^{40}}{20080431172289638826798401128390556640625}}\\ {\zeta(42)}&{=}&{\frc{3040195287836141605382 \pi^{42}}{2307789189818960127712594427864667427734375}}\\ {\zeta(44)}&{=}&{\frc{5060594468963822588186 \pi^{44}}{37913679547025773526706908457776679169921875}}\\ {\zeta(46)}&{=}&{\frc{103730628103289071874428 \pi^{46}}{7670102214448301053033358480610212529462890625}}\\ {\zeta(48)}&{=}&{\frc{5609403368997817686249127547 \pi^{48}}{4093648603384274996519698921478879580162286669921875}}\\ {\zeta(50)}&{=}&{\frc{39604576419286371856998202 \pi^{50}}{285258771457546764463363635252374414183254365234375}}\\ {\zeta(52)}&{=}&{\frc{123256264328536916515065383362 \pi^{52}}{8761982491474419367550817114626909562924278968505859375}}\\ {\zeta(54)}&{=}&{\frc{116599854539539449685672495250764 \pi^{54}}{81807125729900063867074959072425603825198823017351806640625}}\\ {\zeta(56)}&{=}&{\frc{708397979803779072481547354189494 \pi^{56}}{4905352087939496310826487207538302184255342959123162841796875}}\\ {\zeta(58)}&{=}&{\frc{11652912186052419567178865654349796 \pi^{58}}{796392368980577121745974726570063253238310542073919837646484375}}\\ {\zeta(60)}&{=}&{\frc{4860932561935022288161219976319280984165964 \pi^{60}}{3278777586273629598615520165380455583231003564645636125000418914794921875}}\\ {\zeta(62)}&{=}&{\frc{3174344628151447365665300608362164168 \pi^{62}}{21132271510899613925529439369536628424678570233931462891949462890625}}\\ {\zeta(64)}&{=}&{\frc{106783830147866529886385444979142647942017 \pi^{64}}{7016125464333780819415029165079856003277532103367584994756141174316406250}}\\ {\zeta(66)}&{=}&{\frc{133872729284212332186510857141084758385627191 \pi^{66}}{86812790293146213360651966604262937105495141563588806888204273501373291015625}}\\ {\zeta(68)}&{=}&{\frc{125235502160125163977598011460214000388469 \pi^{68}}{801528196428242695121010267455843804062822357897831858125102407684326171875}}\\ {\zeta(70)}&{=}&{\frc{86021791276192400217318660993020411914939323442 \pi^{70}}{5433748964547053581149916185708338218048392402830337634114958370880742156982421875}}\\ {\zeta(72)}&{=}&{\frc{5827954961669944110438277244641067365282488301844260429 \pi^{72}}{3633348205269879230856840004304821536968049780112803650817771432558560793458452606201171875}}\\ {\zeta(74)}&{=}&{\frc{1846076610228171244017841823322845145226395015302 \pi^{74}}{11359005221796317918049302062760294302183889391189419445133951612582060536346435546875}}\\ {\zeta(76)}&{=}&{\frc{2595272507993197127124968004272126305722659771459558 \pi^{76}}{157606197452423911112934066120799083442801465302753194801233578624576089941806793212890625}}\\ {\zeta(78)}&{=}&{\frc{127645035561661793321593549399859099536061346268430917996 \pi^{78}}{76505736228426953173738238352183101801688392812244485181277127930109049138257655704498291015625}}\\ {\zeta(80)}&{=}&{\frc{4603784299479457646935574969019046849794257872751288919656867 \pi^{80}}{27233582984369795892070228410001578355986013571390071723225259349721067988068852863296604156494140625}} \end{eqnarray*} \begin{eqnarray*} {\zeta(82)}&{=}&{\frc{81805568252933943259666073648110726839401757442451386091786 \pi^{82}}{4776089171877348057451105924101750653118402745283825543113171217116857704024700607798175811767578125}}\\ {\zeta(84)}&{=}&{\frc{4049152391870580720462262320223462019979834782396181754562167864954 \pi^{84}}{2333207846470426678843707227616712214909162634745895349325948586531533393530725143500144033328342437744140625}}\\ {\zeta(86)}&{=}&{\frc{61461825062109642192916078830349906630495877828222226210418324 \pi^{86}}{349538086043843717584559187055386621548470304913596772372737435524697231069047713981709496784210205078125}}\\ {\zeta(88)}&{=}&{\frc{238441179758912274181002077094420335153772777376732480781258161922554 \pi^{88}}{13383510964174348021497060628653950829663288548327870152944013988358928114528962242087062453152690410614013671875}}\\ {\zeta(90)}&{=}&{\frc{943245823216866239907298680999372067020203959735717692985236172582338028 \pi^{90}}{522532651330971490226753590247329744050384290675644135735656667608610471400391047234539824350830981313610076904296875}}\\ {\zeta(92)}&{=}&{\frc{225319295340441309215552665832795956462494171081640894438837622057381956 \pi^{92}}{1231931818039911948327467370123161265684460571086659079080437659781065743269173212919832661978537311246395111083984375}}\\ {\zeta(94)}&{=}&{\frc{207798094736977782060817307134161907056767389821735595138079166856961608 \pi^{94}}{11213200675690943223287032785929540201272600687465377745332153847964679254692602138023498144562090675557613372802734375}}\\ {\zeta(96)}&{=}&{\frc{211600449597266513097597728109824233673043954389060234150638733420050668349987259 \pi^{96}}{112694926530960148011367752417874063473378698369880587800838274234349237591647453413782021538312594164677406144702434539794921875}}\\ {\zeta(98)}&{=}&{\frc{2771765741751244719349025205975657371728252886877734184043835153060936614622 \pi^{98}}{14569479835935377894165191004250040526616509162234077285176247476968227225810918346966001491701692846112140419483184814453125}}\\ {\zeta(100)}&{=}&{\frc{189196075638244250590454866138987443745405683066133872266771392408622790830394495422 \pi^{100}}{9815205420757514710108178059369553458327392260750404049930407987933582359080767225644716670683512153512547802166033089160919189453125}} \end{eqnarray*}
Bibliografia sugerida
(Séries de Fourier)
- Kreyszig, Erwin, "Advanced Engineering Mathematics, 10th Edition",wiley
- Braun,M, "Diferential Equations and their applications, fourth edition",Springer
- Agudo, F.R.Dias, "Análise Real, Volume 2",Escolar editora
- Barreira, Luis, "Análise complexa e equações diferenciais, 4ª edição",IST Press
- Girão, Pedro Martins, "Introdução à Análise complexa, séries de Fourier e equações diferenciais",IST Press
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